新未名空间

你说的对，我改一下

wsnren 写了： 2022年 10月 19日 19:29What if m=6?

3整除m。还得往下分。

初等方法就是用同余往下分叉研究吧？而且对什么同余还有很多选择。

你给个证明吧。

TheMatrix2 写了： 2022年 10月 22日 13:09 3整除m。还得往下分。

初等方法就是用同余往下分叉研究吧？而且对什么同余还有很多选择。

你给个证明吧。

哦。这个可以这么证：
假设x有p素因子，p>2，那么x^3-1=-1 mod p。
而y^2不可能 mod p余-1，只能余+1，这是二次剩余的结论。

那么只剩x是偶数的情况，则x^3-1=-1 mod 4。
而y^2不可能 mod 4余-1，只能余+1。

TheMatrix2 写了： 2022年 10月 22日 22:00 哦。这个可以这么证：
假设x有p素因子，p>2，那么x^3-1=-1 mod p。
而y^2不可能 mod p余-1，只能余+1，这是二次剩余的结论。

那么只剩x是偶数的情况，则x^3-1=-1 mod 4。
而y^2不可能 mod 4余-1，只能余+1。

哦这个我记错了。
二次剩余理论说y^2 mod p 可以余-1，但是p必须是4k+1类型的素数。

所以这个还要再加一步，说明x或x^3必然存在p=4k+3类型的素因子。
然后用这样的p做二次剩余，说明不可能余-1。

没证出来。

zzsxt 写了： 2022年 10月 19日 14:27
若有 m*(m^2+3m+3)为完全平方数，则k 和 (3k^2+3k+1)皆为完全平方数，设

很好。我也走到上面这一步。接下来还没走通。

你后面的太长了。我follow不下去了。

zzsxt 写了： 2022年 10月 19日 14:27
若有 m*(m^2+3m+3)为完全平方数，则k 和 (3k^2+3k+1)皆为完全平方数，设

实际上这一步已经很好了。
看第二项：(3k^2+3k+1) 为完全平方数。

列一个新的方程
y^2 = 3x^2+3x+1
求它的整数解。

这已经把三次方程降为二次方程了。我觉得这里应该是有结论的吧？

当然，还可以再加上 x=z^2，也就是x本身也必须是一个完全平方数。

TheMatrix2 写了： 2022年 10月 25日 21:17 实际上这一步已经很好了。
看第二项：(3k^2+3k+1) 为完全平方数。

列一个新的方程
y^2 = 3x^2+3x+1
求它的整数解。

这已经把三次方程降为二次方程了。我觉得这里应该是有结论的吧？

当然，还可以再加上 x=z^2，也就是x本身也必须是一个完全平方数。

嗯。这个叫Pell方程。是初等数论里的。

直接用二次方程求根公式：
3x^2+3x+(1-y^2)=0

x= (-3+- sqrt(3(4y^2-1)))/6

所以3(4y^2-1)必须是完全平方数，也就是
4y^2-1=3z^2
(2y)^2-3z^2=1
u^2-3z^2=1
这是标准的Pell方程with D=3。其解要看sqrt(D)也就是sqrt(3)的连分数表达。

这个表达能查到，循环项为2。也就是u=2y=2，所以y=1，x=0,-1。
再代回原来的方程，3x+1-->x
x=1,y=0
x=-2,y=3i discard.

TheMatrix2 写了： 2022年 10月 22日 13:09 3整除m。还得往下分。

初等方法就是用同余往下分叉研究吧？而且对什么同余还有很多选择。

你给个证明吧。

沉下去让你拱出来了，呵呵。本来是想看看大家有没有初等证明。zzsxt的证明我check到了最后一步。前面我都能follow而且都是对的，只是最后一种情况我有点疑问，不知道他怎么从(14)得到矛盾的。

用点稍微高级点的知识的话，这题挺简单的。假设(x, y)是曲线上一整点。从x^3=(y+i)(y-i) 出发，注意到Q(i)是理想类数1的数域，所以其整数环上唯一分解定理成立。因为y必须是偶数，所以y+i和y-i互素。因此y+i和y-i分别为Q(i)上整数的三次方。设y+i=(a+bi)^3 (where a and b are rational integers)。展开并equalize虚部，得到 (3a^2-b^2)b=1。所以b=-1, a=0，从而得到y=0。所以y=0, x=1是唯一整数解。

wsnren 写了： 2022年 10月 25日 22:05 沉下去让你拱出来了，呵呵。本来是想看看大家有没有初等证明。zzsxt的证明我check到了最后一步。前面我都能follow而且都是对的，只是最后一种情况我有点疑问，不知道他怎么从(14)得到矛盾的。

用点稍微高级点的知识的话，这题挺简单的。假设(x, y)是曲线上一整点。从x^3=(y+i)(y-i) 出发，注意到Q(i)是理想类数1的数域，所以其整数环上唯一分解定理成立。因为y必须是偶数，所以y+i和y-i互素。因此y+i和y-i分别为Q(i)上整数的三次方。设y+i=(a+bi)^3 (where a and b are rational integers)。展开并equalize虚部，得到 (3a^2-b^2)b=1。所以b=-1, a=0，从而得到y=0。所以y=0, x=1是唯一整数解。

漂亮。

数学之美啊。一个不存在的数（虚数），一个不存在的结构（环），生生的被造出来，再迂回回来解决问题。这就是数学之美啊。

我觉得迂回越长越远就越美。

y^2 = x^3 -1;
y^2 = (x -1 )(x^2 + x + 1)
y^2 = (x-1)[(x-1)^2 +3x]

1. if x -1 = 0, we have x =1, y = 0;
2. if x - 1 !=0, we have
y^2 = (x-1)^2[x-1 + 3x/(x-1)]
y^2 = (x-1)^2 [x -1 +3(x-1 + 1)/(x-1)]
y^2 = (x-1)^2[x+2 + 3/(x-1)]
since y is an integer and x^3 -1 >=0, we have 3/(x-1) must be an integer as well, then x = 2 or 4,
plug x=2 or 4 back to the above equation, we have y^2 = 1^2*5 or 3^2*7, and y could not be an integer.

so the only solution would be x = 1, y = 0.

easypath 写了： 2022年 10月 25日 22:53 since y is an integer and x^3 -1 >=0, we have 3/(x-1) must be an integer as well,

这句话成立吗？

y^2 = (x-1)^2 [x+2 +3/(x-1)] , and we have x +2 + 3/(x-1) should be the square of some integer; x +2 is an integer; as a result, 3/(x-1) must be an integer as well.

easypath 写了： 2022年 10月 25日 23:31 y^2 = (x-1)^2 [x+2 +3/(x-1)] , and we have x +2 + 3/(x-1) should be the square of some integer; x +2 is an integer; as a result, 3/(x-1) must be an integer as well.

No, x +2 + 3/(x-1) does not need to be an integer.

TheMatrix2 写了： 2022年 10月 25日 22:01 嗯。这个叫Pell方程。是初等数论里的。

直接用二次方程求根公式：
3x^2+3x+(1-y^2)=0

x= (-3+- sqrt(3(4y^2-1)))/6

所以3(4y^2-1)必须是完全平方数，也就是
4y^2-1=3z^2
(2y)^2-3z^2=1
u^2-3z^2=1
这是标准的Pell方程with D=3。其解要看sqrt(D)也就是sqrt(3)的连分数表达。

这个表达能查到，循环项为2。也就是u=2y=2，所以y=1，x=0,-1。
再代回原来的方程，3x+1-->x
x=1,y=0
x=-2,y=3i discard.

u^2-3z^2=1 has infinitely many integer solutions. They are all generated from the powers of the fundamental unit (2+sqrt(3))^n. Taking n=2, for example, you get 7+4sqrt(3) and 7^2-3x4^2=1.

wsnren 写了： 2022年 10月 26日 00:20 u^2-3z^2=1 has infinitely many integer solutions. They are all generated from the powers for the fundamental unit (2+sqrt(3))^n. Taking n=2, for example, you get 7+4sqrt(3) and 7^2-3x4^2=1.

谢谢。

连分数解Pell方程这里我也没有仔细看，在Wolfram上找到一个表。刚才仔细看了一下，的确是说列出的是最小整数解。无穷多解make sense。

现在
y^2=3x^2+3x+1
有无穷多有理数解。

但是x本身也必须是完全平方数。看来还得用到这一条。这也不容易，因为它没有一个直接的表达式。

我猜没有非平凡解。

TheMatrix2 写了： 2022年 10月 26日 09:29 谢谢。

连分数解Pell方程这里我也没有仔细看，在Wolfram上找到一个表。刚才仔细看了一下，的确是说列出的是最小整数解。无穷多解make sense。

现在
y^2=3x^2+3x+1
有无穷多有理数解。

但是x本身也必须是完全平方数。看来还得用到这一条。这也不容易，因为它没有一个直接的表达式。

Pell方程的方法也走不下去了。
令 z=(2+sqrt(3))^n中sqrt(3)的系数，
然后要求 k=(z-1)/2为平方数。
这里还是涉及到代数数域的问题。
初等的方法很难找到。

楼上诸位大侠，既然有答案了，能不能给个(1, 0)以外的解示范一下。

wsnren 写了： 2022年 10月 25日 22:05 沉下去让你拱出来了，呵呵。本来是想看看大家有没有初等证明。zzsxt的证明我check到了最后一步。前面我都能follow而且都是对的，只是最后一种情况我有点疑问，不知道他怎么从(14)得到矛盾的。

用点稍微高级点的知识的话，这题挺简单的。假设(x, y)是曲线上一整点。从x^3=(y+i)(y-i) 出发，注意到Q(i)是理想类数1的数域，所以其整数环上唯一分解定理成立。因为y必须是偶数，所以y+i和y-i互素。因此y+i和y-i分别为Q(i)上整数的三次方。设y+i=(a+bi)^3 (where a and b are rational integers)。展开并equalize虚部，得到 (3a^2-b^2)b=1。所以b=-1, a=0，从而得到y=0。所以y=0, x=1是唯一整数解。

还是你这个好。

初等方法可能有，但是可能绕来绕去很长。相当于在一个狭小的空间中辗转腾挪，虽然每一步都是初等的，但是费的步数很多。突破这个空间走到外面去，绕一圈再回来，问题解决了，还增广了人类认识。所以这样好。

mass 写了： 2022年 10月 26日 14:43 楼上诸位大侠，既然有答案了，能不能给个(1, 0)以外的解示范一下。

除(1,0)以外无解 - 大家都在证明这个问题。