新未名空间

FGH 写了： 2024年 5月 11日 22:18 两个信封里面各放着一些钱。只知道一个是另一个的两倍。
你任选一个，里面的钱归你。你打开一个信封，发现里面是10元钱。
主持说你可以选择是否换成另一个信封。
你是否应该换？如果换信封，获益期望是多少？

dalaofu 写了： 2024年 5月 14日 13:03 没有啥悖论。

与这个题相关的样本空间是：{5,10}, {10,20}。在没有其他信息的条件下，可以认为这个两个的可能性是0.5，0.5
你随机抽取一个信封的期待值是 0.25*(5+10+10+20) = 11.25块钱。

现在你打开一个信封看见10块钱。另外一个信封里的钱是5或者20，概率是一半一半。期待值是12.5块。该换另外一个信封。

总体来说，期待值还是 0.5*(10 + 12.5) = 11.25块钱。

nk 写了： 2024年 5月 14日 14:31 这个题和三门Monty Hall problem不一样，这个信封题里打不打开信封，主持人都没有去参与从而改变概率，或者提供有用信息

而在Monty Hall problem里，由于主持人根据你的选择去显示了一个不是答案的门，这个参与（把门打开）改变了概率的情况，或者说提供了有用的信息。

Yellen 写了： 2024年 5月 14日 15:03 这个不是三门问题，三门还有三个死囚问题用条件概率容易解释，还能用频率验证，确实是概率问题。这个问题按说不是概率问题。如果你一开始拿A信封，我拿B信封，如果换更好的话，你我都愿意换。如果换不换一样的话，你我也都觉得一样，其实都不矛盾。

Yellen 写了： 2024年 5月 14日 14:56 这个不是老问题吗？当年还是Barry Nalebuff亲自教的。这个按说不是概率问题，而是用来质疑decision theory的基础的问题。

Smullyan认为是logic问题，这个本人不太懂，因为没有本人没有数理逻辑的训练。

https://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem

https://pubs.aeaweb.org/doi/pdfplus/10.1257/jep.3.1.171

nk 写了： 2024年 5月 14日 13:04 没有重复试验，无从讨论随机。

随机要从重复试验来讨论，也许我的第一句要修改一下，以后有时间再来仔细讨论，我的第一句的严格的讨论，需要用条件概率

justChat 写了： 2024年 5月 14日 15:29 “没有重复试验，无从讨论随机。” 那是很久之前的理论。
随机（或说概率）理论早就不依赖重复试验了。
例如，天气预报，明天70%概率下雨

justChat 写了： 2024年 5月 14日 15:29 “没有重复试验，无从讨论随机。” 那是很久之前的理论。
随机（或说概率）理论早就不依赖重复试验了。
例如，天气预报，明天70%概率下雨

nk 写了： 2024年 5月 14日 15:42 条件概率的叙述：

记 p(x) 为主持人的手中拿的两个信封是(x,2x) 的概率

记 L1 为观众取出的第一个信封的钱， L2 的观众的第二个信封的钱.

可以假定观众从主持人的两个信封是等概率50% 的取出。

这个题讨论的是条件期望 E（L2 |L1=10) ？

用Bayes 公式，可以算出 P（L2=20|L1=10)= p(10)/[(p(10)+p(5)]
P（L2=5|L1=10)=p(5)/[(p(10)+p(5)]

因此 Y= E（L2 |L1=10) = [5*p(5)+20*p(10)] /[(p(10)+p(5)]=(5+20*r)/(1+r) where r=p(10)/p(5)

如果 r>0.5, 则 Y>10
如果 r<0.5, 则 Y<10

也就是说，换是否有好处，和 r 有关， 我们不能假定 r=1 或者其他数。

因此这个题的结论是 换信封 有时有好处 （r>0.5）, 有时有坏处 （r<0.5), 哈哈

注意有的人想用 non-informative prior 的假定，即p(x) 都是相等的， 这个无法做到 sum_x [ p(x) ] =1, 无法构造有效的概率。

FoxMe 写了： 2024年 5月 14日 17:17 这个答案与你之前的答案不同，是怎么回事？

nk 写了： 2024年 5月 14日 18:36 这个涉及到不同的概率建模。

6楼的第一句话 “因为当你选定了一个信封之后，另一个信封的钱要么是100%的20块，要么是100%的5块，而不是50%的20块和5块。”， 一点没有用任何概率建模，其实也是说明了不知道换之后是好还是坏。

6楼的第二部分 没有考虑 10块钱的那个信息，虽然这个信息并没有多少用处

相对来讲，28楼考虑所有的步骤的概率建模。

所以我在前面提到如何重复和建立随机变量的问题，不同的重复方式（不同的随机变量）会给出不同的答案，但没有任何一个会认为交换了之后的期望值一定会变好。

24楼的逻辑推理严格来说应该是 “A和B不是交换不会改变，而是交换的期望值不可能都会变好"

因此这个题的结论，换信封之后可能变好，可能变坏，看情况而定，呵呵。

FoxMe 写了： 2024年 5月 15日 13:36 概率建模很有意思，不同的模型有不同的答案。

让人很难理解，哪个才是真理？还是没有真理？