数学中的结构和属性

[TheMatrix]

所以category从定义的方式看有两种：

1，以图论和组合论的方式完全给出的定义。这是toy category。

2，“有用的”category，比如“群”，“环”，这样的category。要先有群和环的定义，然后才能给出它们的category。这个的目的，主要是以另外一种角度，来看一个概念。可以说是一种统一的角度，也可以说是一种局部的角度。比如kernel和cokernel的概念，看一个object附近的局部连接方式就可以定义。这是局部的角度。而这种局部角度又对群和环是统一的，所以又是统一的角度。

toy category的复杂度如果能发展到“有用的”category，那将是很有用的。

练习一下。看看kernel在这个点和线的category中怎么定义。

kernel的motivation是在群，环，module，的homomorphism中，映射到0（或者1）的元素集合：
f: A --> B
ker(f) = {a ∈ A: f(a)=0}

[TheMatrix]

练习一下。看看kernel在这个点和线的category中怎么定义。

kernel的motivation是在群，环，module，的homomorphism中，映射到0（或者1）的元素集合：
f: A --> B
ker(f) = {a ∈ A: f(a)=0}

首先要有0元，或者1元，也就是单位元，（在环和module中叫0元，因为加法可交换，在群中叫1元，因为唯一的二元运算可以不交换）。

category中的object是不能打开看元素的，所以单位元不是一个object内部的一个元素，要想其他办法描述。

在群环module中，都有一个单元素的群环module，它到其他群环module只有唯一一个homomorphism。这个单元素的群环module就是{0}或者{1}，又叫trivial的群环module。这样一个东西存在而且是唯一的。

所以等价的点和线的描述就是，有那么一个点，它到所有其他点都只有一条线。或者有那么一个object，它到所有其他object都只有一个morphism。

这个object如果存在，就叫0元。它到每一个其他object都有唯一一个morphism - 这是包含在定义里的。

在“集合”这个category中，它不存在，因为集合之间的映射没有要求，一个点可以映射到另一个集合中的任意点。只有在群环module这样的范畴中它存在。因为群环module的范畴对什么是morphism有要求。

所以这个定义，在需要的地方有，在不需要的地方不存在，这就好用了。

[TheMatrix]

首先要有0元，或者1元，也就是单位元，（在环和module中叫0元，因为加法可交换，在群中叫1元，因为唯一的二元运算可以不交换）。

category中的object是不能打开看元素的，所以单位元不是一个object内部的一个元素，要想其他办法描述。

在群环module中，都有一个单元素的群环module，它到其他群环module只有唯一一个homomorphism。这个单元素的群环module就是{0}或者{1}，又叫trivial的群环module。这样一个东西存在而且是唯一的。

所以等价的点和线的描述就是，有那么一个点，它到所有其他点都只有一条线。或者有那么一个object，它到所有其他object都只有一个morphism。

这个object如果存在，就叫0元。它到每一个其他object都有唯一一个morphism - 这是包含在定义里的。

在“集合”这个category中，它不存在，因为集合之间的映射没有要求，一个点可以映射到另一个集合中的任意点。只有在群环module这样的范畴中它存在。因为群环module的范畴对什么是morphism有要求。

所以这个定义，在需要的地方有，在不需要的地方不存在，这就好用了。

而且这个单位元O，从任意其他object到它，也只有唯一一个morphism。

这个描述需不需要加到定义的描述中呢？目前似乎不需要。往后走再看。

[TheMatrix]

首先要有0元，或者1元，也就是单位元，（在环和module中叫0元，因为加法可交换，在群中叫1元，因为唯一的二元运算可以不交换）。

category中的object是不能打开看元素的，所以单位元不是一个object内部的一个元素，要想其他办法描述。

在群环module中，都有一个单元素的群环module，它到其他群环module只有唯一一个homomorphism。这个单元素的群环module就是{0}或者{1}，又叫trivial的群环module。这样一个东西存在而且是唯一的。

所以等价的点和线的描述就是，有那么一个点，它到所有其他点都只有一条线。或者有那么一个object，它到所有其他object都只有一个morphism。

这个object如果存在，就叫0元。它到每一个其他object都有唯一一个morphism - 这是包含在定义里的。

在“集合”这个category中，它不存在，因为集合之间的映射没有要求，一个点可以映射到另一个集合中的任意点。只有在群环module这样的范畴中它存在。因为群环module的范畴对什么是morphism有要求。

所以这个定义，在需要的地方有，在不需要的地方不存在，这就好用了。

然后就要定义映射到0的子集了。也就是{a ∈ A: f(a)=0}。

category的object不能打开看内部，没有子集这个概念，必须用点和线的关系来描述。

子集就是有一个object K，以单射映射入A。也就是在category中 i: K --> A 为单射。

那就要定义在category，以点和线的方式，什么是单射，也就是什么样的morphism是单射，叫monomorphism。

这个还有点不好定义哩。我查了一下，是这样定义的：

如果任意另外一个object B，和任意两个 f,g: B --> K，i∘f=i∘g ==> f=g，那么 i: K --> A 为单射。

这个自己想出来不容易，但是看到了就是“of course”。单射的特征是，两个元素不能映射到同一个元素。翻译回morphism也是这个特征。

最重要的，它是以点和线来定义的。不需要打开object看内部。也就是这个定义是外部的。

还有一点：这个定义是局部的。只需要看周围几个点（和线）就可以了。当然，这个是看“任意”周围，但它还是有局部的特征。

[TheMatrix]

然后就要定义映射到0的子集了。也就是{a ∈ A: f(a)=0}。

category的object不能打开看内部，没有子集这个概念，必须用点和线的关系来描述。

子集就是有一个object K，以单射映射入A。也就是在category中 i: K --> A 为单射。

那就要定义在category，以点和线的方式，什么是单射，也就是什么样的morphism是单射，叫monomorphism。

这个还有点不好定义哩。我查了一下，是这样定义的：

如果任意另外一个object B，和任意两个 f,g: B --> K，i∘f=i∘g ==> f=g，那么 i: K --> A 为单射。

这个自己想出来不容易，但是看到了就是“of course”。单射的特征是，两个元素不能映射到同一个元素。翻译回morphism也是这个特征。

最重要的，它是以点和线来定义的。不需要打开object看内部。也就是这个定义是外部的。

还有一点：这个定义是局部的。只需要看周围几个点（和线）就可以了。当然，这个是看“任意”周围，但它还是有局部的特征。

然后就要说 f∘i=0了。也就是K进入A之后，再通过f到B，会映射到0。

但是直接这么说还不行。因为不能说“B里有0元素”。不能打开B看内部。

不过通过category中唯一的0元转接一下就行了。（因为我们有了点和线的思维，就知道应该这么弄了）。

有唯一的 0_KO: K --> O，也有唯一的 0_OB: O --> B，这都是0元自带的。（看来前面那个0元的定义的描述中确实需要加上 K --> O的存在唯一性）。

所以f∘i=0定义为 f∘i= 0_OB∘0_KO

[TheMatrix]

然后就要说 f∘i=0了。也就是K进入A之后，再通过f到B，会映射到0。

但是直接这么说还不行。因为不能说“B里有0元素”。不能打开B看内部。

不过通过category中唯一的0元转接一下就行了。（因为我们有了点和线的思维，就知道应该这么弄了）。

有唯一的 0_KO: K --> O，也有唯一的 0_OB: O --> B，这都是0元自带的。（看来前面那个0元的定义的描述中确实需要加上 K --> O的存在唯一性）。

所以f∘i=0定义为 f∘i= 0_OB∘0_KO

还没完。

这个只是说了K作为A的子集，会全部映射到B中的0。而没有说K是A中能映射到0的全部。

这个看看怎么说明。

这个就是说K是最大的。可以这么说明：如果有monomorphism i': K' --> A such that f∘i'=0，那么存在 K' --> K的monomorphism。

所以最后，f: A --> B 的kernel就这么定义：

ker(f) is an object K with an monomorphism i: K --> A such that f∘i=0, and for any other such K' (with monomorphism i': K' --> A and f∘i'=0) there is a monomorphism K' --> K。

这里用到的词语（monomorphism，0，f∘i=0）全部都有点和线的定义。

[TheMatrix]

还没完。

这个只是说了K作为A的子集，会全部映射到B中的0。而没有说K是A中能映射到0的全部。

这个看看怎么说明。

这个就是说K是最大的。可以这么说明：如果有monomorphism i': K' --> A such that f∘i'=0，那么存在 K' --> K的monomorphism。

所以最后，f: A --> B 的kernel就这么定义：

ker(f) is an object K with an monomorphism i: K --> A such that f∘i=0, and for any other such K' (with monomorphism i': K' --> A and f∘i'=0) there is a monomorphism K' --> K。

这里用到的词语（monomorphism，0，f∘i=0）全部都有点和线的定义。

查了一下，书上的定义和我这里有好几处不同。

通用的定义是这样：
an object K with a morphism i: K --> A，or the pair (K,i)，is the kernel of f: A --> B，if f∘i=0 and for any other such pair (K',i'), that is, i': K' --> A and f∘i'=0, there is a unique u: K' --> K such that i'=u∘i.

主要的不同在于对monomorphism的要求。

通用的定义不要求monomorphism，但是用了universal property （也就是定义的后半段）之后，可以证明 K --> A 最终是monomorphism。而 K' --> A 不必是monomorphism。u: K' --> K 也不必是monomorphism。

而我要求 K --> A，K' --> A，以及 K' --> K 都是monomorphism。要求的多了一些，但是得到的 (K,i) 是一样的。

但是我忘了 i'=u∘i，这是 universal property commutative diagram的条件。按照我的定义可能不需要。但是没有这个条件的话 u: K' --> K 不是unique。当然，最后的 (K,i) 还是一样的。当然，这个条件应该加上。

最后一点是，我没有强调 (K,i) 这是一个pair。光有K不行，必须要告诉如何进入，也就是 i: K --> A。

[TheMatrix]

查了一下，书上的定义和我这里有好几处不同。

通用的定义是这样：
an object K with a morphism i: K --> A，or the pair (K,i)，is the kernel of f: A --> B，if f∘i=0 and for any other such pair (K',i'), that is, i': K' --> A and f∘i'=0, there is a unique u: K' --> K such that i'=u∘i.

这个定义写短一点就是：
A pair (K,i) of an object K and a morphism i: K --> A is the kernel of f: A --> B，if f∘i=0 and for any other such pair (K',i') there is a unique u: K' --> K such that i'=u∘i.

这好像有点歧义。这样写：
for a morphism f: A --> B, a pair (K,i) of an object K and a morphism i: K --> A with f∘i=0 is the kernel of f if for any other such pair (K',i') there is a unique u: K' --> K such that i'=u∘i.

[TheMatrix]

查了一下，书上的定义和我这里有好几处不同。

通用的定义是这样：
an object K with a morphism i: K --> A，or the pair (K,i)，is the kernel of f: A --> B，if f∘i=0 and for any other such pair (K',i'), that is, i': K' --> A and f∘i'=0, there is a unique u: K' --> K such that i'=u∘i.

主要的不同在于对monomorphism的要求。

通用的定义不要求monomorphism，但是用了universal property （也就是定义的后半段）之后，可以证明 K --> A 最终是monomorphism。而 K' --> A 不必是monomorphism。u: K' --> K 也不必是monomorphism。

而我要求 K --> A，K' --> A，以及 K' --> K 都是monomorphism。要求的多了一些，但是得到的 (K,i) 是一样的。

但是我忘了 i'=u∘i，这是 universal property commutative diagram的条件。按照我的定义可能不需要。但是没有这个条件的话 u: K' --> K 不是unique。当然，最后的 (K,i) 还是一样的。当然，这个条件应该加上。

最后一点是，我没有强调 (K,i) 这是一个pair。光有K不行，必须要告诉如何进入，也就是 i: K --> A。

universal property可以理解为某个新的category的"maxmial" element：

固定 f: A --> B，构建一个新的category D：

object 为 (K,i) pair，such that i: K --> A and f∘i=0。
morphism u: (K',i') --> (K,i) 为 if u: K' --> K and i'=u∘i。

D中定义一个 maximal object，或者叫 terminal object，或者叫 sink，或者叫汇聚点：
an object T such that every other object X has a unique morphism t_X: X --> T。

f的kernel定义为D的terminal object.

[TheMatrix]

universal property可以理解为某个新的category的"maxmial" element：

固定 f: A --> B，构建一个新的category D：

object 为 (K,i) pair，such that i: K --> A and f∘i=0。
morphism u: (K',i') --> (K,i) 为 if u: K' --> K and i'=u∘i。

D中定义一个 maximal object，或者叫 terminal object，或者叫 sink，或者叫汇聚点：
an object T such that every other object X has a unique morphism t_X: X --> T。

f的kernel定义为D的terminal object.

这样定义看似多了一步，但是逻辑阶段更清晰。

0点就是这么定义的 - 0点就是一个terminal object，在群，环，module的category中都有这个terminal object，唯一。“集合”这个category也有terminial object，就是单元素集合。也唯一，up to isomorphism。

把箭头反向还可以定义 initial object，也可以叫 source，或者源点。

0点在群，环，module的category中也是 initial object。但在“集合”这个category中不是initial object，因为单元素集合到其它集合的映射不唯一。

[TheMatrix]

universal property可以理解为某个新的category的"maxmial" element：

固定 f: A --> B，构建一个新的category D：

object 为 (K,i) pair，such that i: K --> A and f∘i=0。
morphism u: (K',i') --> (K,i) 为 if u: K' --> K and i'=u∘i。

D中定义一个 maximal object，或者叫 terminal object，或者叫 sink，或者叫汇聚点：
an object T such that every other object X has a unique morphism t_X: X --> T。

f的kernel定义为D的terminal object.

这里还有functor。

从原来的category C，到导出的新的category D。这是一个functor吗？F: C --> D？

好像不是。因为不是每一个object都有对应。应该是反过来：F: D --> C。

第一步是对C中的object做限定，{ K in C such that ∃ i: K --> A and f∘i=0 }。这是一个subcategory，D'，这是functor， F': D' --> C。

第二步是对D'扩张，{K} --> {(K,i)}，i 不是唯一的，所以应该反过来，{(K,i)} --> {K}，叫projection functor：P: D --> D'。

所以 F = F'∘P.

[TheMatrix]

练习一下。看看kernel在这个点和线的category中怎么定义。

kernel的motivation是在群，环，module，的homomorphism中，映射到0（或者1）的元素集合：
f: A --> B
ker(f) = {a ∈ A: f(a)=0}

image的定义反而不是很容易。

对于集合映射 f: A --> B，image of f就定义为 {b ∈ B: b = f(a)}。它是B的子集。

它不像kernel只对群环module这种有定义，它对更多的结构有定义。所以它是一个更通用的概念。但是，surprisingly，它的定义更不容易。我说的是category的定义，也就是只用点和线的方式定义。

我们的目标是定义一个object，I，以及一个进入B的方式 i: I --> B。这个 i 应该是一个monomorphism。但是我们先不要求，因为从universal property的使用经验来看，monomorphism经常能推出来。限定条件越少越好。

I的特点是，f全部映射进I，然后再通过 i 进入B，可以完全替代原来的f。也就是说有一个 e: f --> I，such that，f = i ∘ e，也叫f factor through I。

能够factor f的 I 很多，从集合映射来想的话，这样的 I 应该都比目标的image大一些 - 小了不行，要大一些。所以目标image应该是所以这些 I 中最小的。如果把目标符号固定为 I，而其他的能factor f的叫 I'，那么 I 是 I' 中最小的。

最小的还有两种方式，一种是 I --> I' injection，作为子集那种，另一种是 I' --> I projection，作为商集那种。这需要试一下。

然后出来第一个版本：

the image of f: A --> B is a pair (I,i) with i: I --> B and f factor through I (meaning there exists an e: A --> I such that f = i ∘ e), such that the pair has the universal property, that is, for any other such (I',i'), there is a unique u: I --> I' such that i = i' ∘ u.

这个版本有点问题，就是不能证明 i 是 monomorphism。这应该暗示更深的问题，可能它就不对。

想要 monomorphism也简单，直接加到定义的条件里去就好了。因为monomorphism也是合法的category的定义，也就是符合点和线的方式。

所以出来第二版本：

the image of f: A --> B is a pair (I,i) with a monomorphism i: I --> B and f factor through I, such that the pair has the universal property, that is, for any other such (I',i'), there is a unique u: I --> I' such that i = i' ∘ u.

这个是wiki上的版本。

但是这个版本也有一点问题，就是不能证明 e 是 epimorphism，也就是满射。e 应该是满射。e不是满射，或者不能推出是满射的话，也暗示着定义有某种问题。

wiki上为了证明 e 是满射，绕了很大一圈。关键是，里面引入了新的假设。

我觉得绕那么大一圈，不如把满射也放到定义里去。

所以出来第三个版本：

the image of f: A --> B is a pair (I,i) with a monomorphism i: I --> B and there exists an epimorphism e: A --> I such that f = i ∘ e, and, the pair (I,i) has the universal property.

这个定义要求比较多。但是你最后想要的单射和满射，都在定义里了。几乎可以把univeral property去掉了，因为能factor through单射加满射的I似乎只能有一个。但是去掉universal property的话，又证明不了唯一性。所以就保留吧。

最后的最后，这个定义是category合法的，因为全部都是点和线的方式。

[FoxMe]

我一开始不大理解universal property，现在逐步明白了。还有个例子是tensor product也具有universal property.

universal property可以理解为某个新的category的"maxmial" element：

固定 f: A --> B，构建一个新的category D：

object 为 (K,i) pair，such that i: K --> A and f∘i=0。
morphism u: (K',i') --> (K,i) 为 if u: K' --> K and i'=u∘i。

D中定义一个 maximal object，或者叫 terminal object，或者叫 sink，或者叫汇聚点：
an object T such that every other object X has a unique morphism t_X: X --> T。

f的kernel定义为D的terminal object.

[TheMatrix]

我一开始不大理解universal property，现在逐步明白了。还有个例子是tensor product也具有universal property.

我在想tensor product的category定义。不容易。关键是bilinear怎么用点和线来表达。f(A,B)，因为它不是一根线，对于每一个B中的元素b，f(A,b)都是一根线，总体是一个family of morphism。

[TheMatrix]

我在想tensor product的category定义。不容易。关键是bilinear怎么用点和线来表达。f(A,B)，因为它不是一根线，对于每一个B中的元素b，f(A,b)都是一根线，总体是一个family of morphism。

tensor product是两个module得到一个module，满足某些条件。听起来完全是能够在一个category中表达的。关键是这个条件（bilinear）没有办法在一个category中以点和线的方式表达。

类似的情况是group action，(G,V) --> V。V是另一个category的object。或者更一般的，(G,V) --> U，三个东西都是不同category的。这种需要用functor来表达，还要product category。感觉很笨重。

[TheMatrix]

tensor product是两个module得到一个module，满足某些条件。听起来完全是能够在一个category中表达的。关键是这个条件（bilinear）没有办法在一个category中以点和线的方式表达。

类似的情况是group action，(G,V) --> V。V是另一个category的object。或者更一般的，(G,V) --> U，三个东西都是不同category的。这种需要用functor来表达，还要product category。感觉很笨重。

感觉这两种情况都不适合用category来处理。因为它们都需要打开object看它的内部元素。

比如group action (G,V) --> V，它要求对于每一个 g ∈ G，V --> V是一个线性变换，也就是一个“线性空间”category里的一个object的自morphism。但是g ∈ G在“群”这个category里无法表达。

bilinear map (V,V) --> V，要求每一个 v ∈ V （左边的或者右边的）决定一个 V --> V的线性变换。同样，v ∈ V 这个描述也无法表达。

也许可以把 G 或者 V 本身弄出一个category，里面的元素变成object。但是又涉及到不同层次的category之间的关系。

而用传统数学语言描述很容易。