Sheaf and Functor demystified

[FoxMe]

代数几何里的有些术语的单词很简单，除了上面几个，还有functor, place, spectrum等等。

而代数里的单词往往很复杂，比如cohomology, homomorphism等等。

不知道是什么原因？

sheaf是解析函数的解析延拓概念的推广，它只能局部定义。代数几何的问题是概念太多。这里有几个概念：

sheaf, 束。把一些麦秆捆起来得到一束。
stalk, 秆。一束麦子的其中一根秆，很形象。
germ, 胚。胚芽发育成麦秆？两个函数局部相同，叫作同胚？

还有纤维从finer bundle,这里bundle也是捆，不知道和sheaf有关吗？

[TheMatrix]

sheaf是解析函数的解析延拓概念的推广，它只能局部定义。代数几何的问题是概念太多。这里有几个概念：

sheaf, 束。把一些麦秆捆起来得到一束。
stalk, 秆。一束麦子的其中一根秆，很形象。
germ, 胚。胚芽发育成麦秆？两个函数局部相同，叫作同胚？

还有纤维从finer bundle,这里bundle也是捆，不知道和sheaf有关吗？

sheaf是“束”，一束麦秆的束，我觉得不怎么形象。我把它想象成草席的“席”。

[FoxMe]

把Sheaf看成functor有啥好处？

代数几何中，sheaf似乎是用来研究variety的，基本上是代数簇上的性质好的函数的集合，它们可能形成环，也可能是模。好像没看出有啥把Sheaf看成functor的必要。

Sheaf就是functor。Sheaf是 contravariant functor on a topological space。一个空间X的拓扑可以看作是一个category T：object是开集，morphism是开集之间的inclusion关系。

Sheaf是T上的functor。但是它没说这个functor的target是哪。Target可以是module of functions，这是一个category。也就是每一个开集上的全部function，这是一个module。这种情况可以说sheaf of module，或者sheaf of function。Target还可以是group。还可以是ring。可以说Sheaf of group, sheaf of ring。

为什么要有sheaf这个概念呢？我觉得是为了研究每个点local的性质：一个点“附近”有多少种函数。所以就有了stalk的概念：一个点 x ∈ X，找到一个sequence of open sets：x ∈ ... U₃ ⊆ U₂ ⊆ U₁ ⊆ U₀=X。每一个开集都对应一个module of functions，然后求极限，这跟函数的极限也很像，就得到 sheaf stalk at x。

Sheaf就是为了研究stalk，意思是说sheaf之间的关系是从stalk来定义的。比如两个sheaf S₁ --> S₂，它的injection定义为在所有stalk上为injection。

[FoxMe]

此话怎讲？“席”和秆是什么关系？“席”和“层”意义相近。翻译成“层”是什么理由？

sheaf是“束”，一束麦秆的束，我觉得不怎么形象。我把它想象成草席的“席”。

[TheMatrix]

把Sheaf看成functor有啥好处？

代数几何中，sheaf似乎是用来研究variety的，基本上是代数簇上的性质好的函数的集合，它们可能形成环，也可能是模。好像没看出有啥把Sheaf看成functor的必要。

sheaf看成functor是一种扩展，因为sheaf是拓扑上的functor，而functor不一定都是拓扑上的functor。

etale cohomology，说是一种sheaf cohomology，但实际上是sheaf的一种扩展，广义sheaf，是一种functor。

不过我没有打通。只是在大的步骤上了解了。

[TheMatrix]

此话怎讲？“席”和秆是什么关系？“席”和“层”意义相近。翻译成“层”是什么理由？

搜了一下sheaf的翻译，应该是“层”，不是“束”。我说的“席”和“层”可能比较接近。

这是我想象中的sheaf：

[FoxMe]

“席”和“层”是什么意思？不懂。

我的理解是这样的：sheaf是一捆水稻（函数），它包括很多株水稻; stalk是一株水稻，但是你仔细看，一株水稻有好几棵；germ是一棵水稻，有好几片叶子，但只有一根茎(stalk),它们都是由一粒种子的胚胎(germ)发育出来的。

发明这些术语的人肯定是个农民

搜了一下sheaf的翻译，应该是“层”，不是“束”。我说的“席”和“层”可能比较接近。

这是我想象中的sheaf：

[TheMatrix]

“席”和“层”是什么意思？不懂。

我的理解是这样的：sheaf是一捆水稻（函数），它包括很多株水稻; stalk是一株水稻，但是你仔细看，一株水稻有好几棵；germ是一棵水稻，有好几片叶子，但只有一根茎(stalk),它们都是由一粒种子的胚胎(germ)发育出来的。

发明这些术语的人肯定是个农民

又查了一下germ，看来它相当于stalk。sheaf/stalk是比germ稍微新一点的名词。形象化理解我也说不清楚。

[FoxMe]

Sheaf (of rings)的例子：

1. 代数簇上的sheaf of regular functions，这个稍好理解;
2. sheaf over Spec(A)，这里Spec(A)是环A的spectrum，这个很难理解。

Spec(A) = {prime ideals}, 它可以构成拓扑空间。这里还没有打通，但它又是定义scheme的关键：spectrum -> sheaf -> scheme.

spectrum翻译成素谱，很糟糕。sheaf翻译成为层，scheme翻译为概型，狗屁不通。

[TheMatrix]

Sheaf (of rings)的例子：

1. 代数簇上的sheaf of regular functions，这个稍好理解;
2. sheaf over Spec(A)，这里Spec(A)是环A的spectrum，这个很难理解。

Spec(A) = {prime ideals}, 它可以构成拓扑空间。这里还没有打通，但它又是定义scheme的关键：spectrum -> sheaf -> scheme.

spectrum翻译成素谱，很糟糕。sheaf翻译成为层，scheme翻译为概型，狗屁不通。

Spec(A) = {prime ideals} 这个集合上可以定义拓扑，也就是可以定义开集或者闭集。这个不难理解吧。这个怎么定义来的？

spectrum就翻译成“谱”，光谱的谱，应该是形象的，但是我也没有仔细想。

prime ideal能够成为拓扑空间，这还是挺神奇的。

我感觉这些概念本来是一种收纳，把事情tidy up的一种容器。但是收纳到这么优美，还有自己的结构，还能有发展的空间，这不容易。

我也没打通，还只是在抽象的层面理解。

[forecasting]

你们讨论一下sheaf在算术几何/数论里，微分几何/拓扑里的简单应用实例，就会很快弄明白啥是sheaf吧。本来这个概念就是从代数几何里来的，与其猜测是啥意思，不如直接看其简单应用。多少句说明，也不如一个简单实例。

可考虑实现如下思路
转：以下代数方程：
𝑦^2=𝑥^3+𝑎𝑥+𝑏, 其中 𝑎 和𝑏 是整数，并且曲线光滑无奇点。这个方程定义了一个椭圆曲线，则不仅可以在复数域上考虑它，还可以在不同的数域（如有理数域或有限域）上考虑它。
通过在整数环 𝑍上构造的椭圆曲线概形，能够在不同模数下系统地研究方程的性质。这种概形方法能够将代数几何的方法应用于数论问题中，如研究整除性、同余问题、有理点的计数等，从而帮助分析椭圆曲线在不同数域上的行为。这种方法不仅应用于椭圆曲线，也适用于其他更复杂的代数方程，因此概形理论是算术几何的一个基本工具

[forecasting]

或者把下面这论文弄懂，解读一下：

https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... ltings.pdf

[TheMatrix]

可考虑实现如下思路

你说的这些我感觉自己都“懂”。但是“懂”和懂还不一样。你能不能就这个例子，说一说概型(scheme)和sheaf在这里的用途？

𝑦^2=𝑥^3+𝑎𝑥+𝑏, 其中 𝑎 和𝑏 是整数。
通过在整数环 𝑍上构造的椭圆曲线概形，能够在不同模数下系统地研究方程的性质。

[FoxMe]

Spec(R)的闭集为有限个prime ideal的集合，反之为开集，其拓扑空间为Zariski拓扑。

Sheaf在开集上定义为R_f, 这里f属于R对应于开集D_f。R_f说是环R的局部化，我没见过。

Stalk就比较好理解了：在素理想p的stalk就是局部环R_p, 这个我知道。但是和代数簇上的函数已经差十万八千里了。

Spec(A) = {prime ideals} 这个集合上可以定义拓扑，也就是可以定义开集或者闭集。这个不难理解吧。这个怎么定义来的？

spectrum就翻译成“谱”，光谱的谱，应该是形象的，但是我也没有仔细想。

prime ideal能够成为拓扑空间，这还是挺神奇的。

我感觉这些概念本来是一种收纳，把事情tidy up的一种容器。但是收纳到这么优美，还有自己的结构，还能有发展的空间，这不容易。

我也没打通，还只是在抽象的层面理解。

[TheMatrix]

Spec(R)的闭集为有限个prime ideal的集合，反之为开集，其拓扑空间为Zariski拓扑。

Sheaf在开集上定义为R_f, 这里f属于R对应于开集D_f。R_f说是环R的局部化，我没见过。

Stalk就比较好理解了：在素理想p的stalk就是局部环R_p, 这个我知道。但是和代数簇上的函数已经差十万八千里了。

Spec(R)我查了一下，是对所有ideal I，取闭集 V(I) = {p | I ⊆ p}。

这个还不能说是有限个prime ideal的集合。只有在一维的情况下，才是有限个prime ideal的集合。

闭集 V(I)的取法，是从kⁿ空间中，I 对应的variety V(I)中来的。

[forecasting]

你说的这些我感觉自己都“懂”。但是“懂”和懂还不一样。你能不能就这个例子，说一说概型(scheme)和sheaf在这里的用途？

你一脚把问题踢给我，你知道我上这里来就是图个随心所欲，不愿意太细致克制或者太动脑子，岂不是为难人也么哥？
而且你们的讨论，成了我们的讨论。
还是随心所欲地说两句：

第一步，找出整数环Z的素理想, 素理想就是素数了。即是其素谱Spec[Z]，赋予其Zariski拓扑。问题有二，为啥用素理想做点构造点集，二，什么是Zariski拓扑。
Zariski拓扑：
https://en.wikipedia.org/wiki/Zariski_topology
https://math.uchicago.edu/~may/REU2019/ ... Michel.pdf

为啥选素理想做点？一起来思考。

第二步，构造交换环层（sheaf of commutative ring），在此Zariski拓扑空间上给出拓扑开集与环之间的映射或对应。综合第一步，即构造概形（scheme）
如何将交换对应于拓扑空间开集，或者反过来，将拓扑空间开集对应于交换环？就是如何将交换环和拓扑开集关联起来。什么交换环？目的是什么？
这里，概形是层，一种特殊的层。其特殊之处是，1，拓扑空间是Zariski拓扑，而且以素理想为元素构造，2，层为交换环。

然后，第三步，第四步........，结合上面那个小纲要，大家考虑下面做什么？

此乃拍砖，请以玉石接之。

[TheMatrix]

你一脚把问题踢给我，你知道我上这里来就是图个随心所欲，不愿意太细致克制或者太动脑子，岂不是为难人也么哥？
而且你们的讨论，成了我们的讨论。
还是随心所欲地说两句：

第一步，找出整数环Z的素理想, 素理想就是素数了。即是其素谱Spec[Z]，赋予其Zariski拓扑。问题有二，为啥用素理想做点构造点集，二，什么是Zariski拓扑。
Zariski拓扑：
https://en.wikipedia.org/wiki/Zariski_topology
https://math.uchicago.edu/~may/REU2019/ ... Michel.pdf

为啥选素理想做点？一起来思考。

第二步，构造交换环层（sheaf of commutative ring），在此Zariski拓扑空间上给出拓扑开集与环之间的映射或对应。综合第一步，即构造概形（scheme）
如何将交换对应于拓扑空间开集，或者反过来，将拓扑空间开集对应于交换环？就是如何将交换环和拓扑开集关联起来。什么交换环？目的是什么？
这里，概形是层，一种特殊的层。其特殊之处是，1，拓扑空间是Zariski拓扑，而且以素理想为元素构造，2，层为交换环。

然后，第三步，第四步........，结合上面那个小纲要，大家考虑下面做什么？

不错。是要这么思考。其实任何学科，站在门前，只要开始认真思考，就已经站在学科的前沿了 - 两三步就不仅入门，而且是深入，应该已经有很多前沿暴露出来了。

整数环Z中，素理想等于素数。Spec(Z)是素理想做点，也就是以素数做点。。。

不对，应该是研究R=Z[X]，或者R=Z[X,Y,...]，的spectrum，Spec(R)。

[FoxMe]

我对二维情况不熟。有例子说明在二维情况下会是无穷多个prime ideal的集合吗？

Spec(R)我查了一下，是对所有ideal I，取闭集 V(I) = {p | I ⊆ p}。

这个还不能说是有限个prime ideal的集合。只有在一维的情况下，才是有限个prime ideal的集合。

闭集 V(I)的取法，是从kⁿ空间中，I 对应的variety V(I)中来的。

[TheMatrix]

我对二维情况不熟。有例子说明在二维情况下会是无穷多个prime ideal的集合吗？

我也记得Zariski拓扑是finite complement。你这么说应该也可以。

二维的情况就是R=k[X,Y]，二元变量，k是algebraic closed field。

这里的prime ideal对应的variety有两种，一种是k²空间中的点，一种是代数曲线，比如y²=x³+x+2。这些在Zariski拓扑中都是闭集。

如果考虑Spec(R)的话，比如 f = x³+x+2-y²，I = Rf，由f产生的ideal，这是一个prime ideal，但不是maximal ideal。这个曲线上的点，对应maximal ideal，比如 ideal m₁= {x-1,y-2}。有无穷多个这样的maximal ideal。

那么有闭集 V(I) = {f,m₁,...}。

当然它们从variety来看，都包含在f产生的variety之内。所以直观上看，也可以说是finite prime ideal。

[forecasting]

发现有一些概念稍微具体一点，那例子就太特殊了，不符合通例，没法多说。

Riemann的一个思想就是用函数的零点，奇点描述函数而不是用解析形式。

用这想法看多项式，就是零点集合，或者代数集，也就是理想对应于代数集。
用素理想构造Zariski拓扑，也就相当于用素理想对应的集合的补集（闭集的补集是开集）构造拓扑。这些开集一一对应于代表素理想的集合（一个开集对应于一个闭集，即闭集对应于其补集-开集，不考虑闭开集）。再往下说就觉得这地方不容易说得简单严密明白。

整数环Z的素理想有无数个，没问题，就是素数。