新未名空间

FoxMe 写了： 2024年 11月 1日 18:32 sheaf是解析函数的解析延拓概念的推广，它只能局部定义。代数几何的问题是概念太多。这里有几个概念：

sheaf, 束。把一些麦秆捆起来得到一束。
stalk, 秆。一束麦子的其中一根秆，很形象。
germ, 胚。胚芽发育成麦秆？两个函数局部相同，叫作同胚？

还有纤维从finer bundle,这里bundle也是捆，不知道和sheaf有关吗？

FoxMe 写了： 2024年 11月 1日 18:32 sheaf是解析函数的解析延拓概念的推广，它只能局部定义。代数几何的问题是概念太多。这里有几个概念：

sheaf, 束。把一些麦秆捆起来得到一束。
stalk, 秆。一束麦子的其中一根秆，很形象。
germ, 胚。胚芽发育成麦秆？两个函数局部相同，叫作同胚？

还有纤维从finer bundle,这里bundle也是捆，不知道和sheaf有关吗？

TheMatrix 写了： 2024年 10月 30日 13:41 Sheaf就是functor。Sheaf是 contravariant functor on a topological space。一个空间X的拓扑可以看作是一个category T：object是开集，morphism是开集之间的inclusion关系。

Sheaf是T上的functor。但是它没说这个functor的target是哪。Target可以是module of functions，这是一个category。也就是每一个开集上的全部function，这是一个module。这种情况可以说sheaf of module，或者sheaf of function。Target还可以是group。还可以是ring。可以说Sheaf of group, sheaf of ring。

为什么要有sheaf这个概念呢？我觉得是为了研究每个点local的性质：一个点“附近”有多少种函数。所以就有了stalk的概念：一个点 x ∈ X，找到一个sequence of open sets：x ∈ ... U₃ ⊆ U₂ ⊆ U₁ ⊆ U₀=X。每一个开集都对应一个module of functions，然后求极限，这跟函数的极限也很像，就得到 sheaf stalk at x。

Sheaf就是为了研究stalk，意思是说sheaf之间的关系是从stalk来定义的。比如两个sheaf S₁ --> S₂，它的injection定义为在所有stalk上为injection。

TheMatrix 写了： 2024年 11月 4日 17:13 sheaf是“束”，一束麦秆的束，我觉得不怎么形象。我把它想象成草席的“席”。

FoxMe 写了： 2024年 11月 5日 17:11 把Sheaf看成functor有啥好处？

代数几何中，sheaf似乎是用来研究variety的，基本上是代数簇上的性质好的函数的集合，它们可能形成环，也可能是模。好像没看出有啥把Sheaf看成functor的必要。

FoxMe 写了： 2024年 11月 5日 17:16 此话怎讲？“席”和秆是什么关系？“席”和“层”意义相近。翻译成“层”是什么理由？

TheMatrix 写了： 2024年 11月 5日 20:38 搜了一下sheaf的翻译，应该是“层”，不是“束”。我说的“席”和“层”可能比较接近。

这是我想象中的sheaf：

FoxMe 写了： 2024年 11月 6日 13:46 “席”和“层”是什么意思？不懂。

我的理解是这样的：sheaf是一捆水稻（函数），它包括很多株水稻; stalk是一株水稻，但是你仔细看，一株水稻有好几棵；germ是一棵水稻，有好几片叶子，但只有一根茎(stalk),它们都是由一粒种子的胚胎(germ)发育出来的。

发明这些术语的人肯定是个农民

FoxMe 写了： 2024年 11月 6日 17:11 Sheaf (of rings)的例子：

1. 代数簇上的sheaf of regular functions，这个稍好理解;
2. sheaf over Spec(A)，这里Spec(A)是环A的spectrum，这个很难理解。

Spec(A) = {prime ideals}, 它可以构成拓扑空间。这里还没有打通，但它又是定义scheme的关键：spectrum -> sheaf -> scheme.

spectrum翻译成素谱，很糟糕。sheaf翻译成为层，scheme翻译为概型，狗屁不通。

forecasting 写了： 2024年 11月 7日 04:59
可考虑实现如下思路

forecasting 写了： 2024年 11月 7日 04:59 𝑦^2=𝑥^3+𝑎𝑥+𝑏, 其中 𝑎 和𝑏 是整数。
通过在整数环 𝑍上构造的椭圆曲线概形，能够在不同模数下系统地研究方程的性质。

TheMatrix 写了： 2024年 11月 6日 17:30 Spec(A) = {prime ideals} 这个集合上可以定义拓扑，也就是可以定义开集或者闭集。这个不难理解吧。这个怎么定义来的？

spectrum就翻译成“谱”，光谱的谱，应该是形象的，但是我也没有仔细想。

prime ideal能够成为拓扑空间，这还是挺神奇的。

我感觉这些概念本来是一种收纳，把事情tidy up的一种容器。但是收纳到这么优美，还有自己的结构，还能有发展的空间，这不容易。

我也没打通，还只是在抽象的层面理解。

FoxMe 写了： 2024年 11月 7日 17:30 Spec(R)的闭集为有限个prime ideal的集合，反之为开集，其拓扑空间为Zariski拓扑。

Sheaf在开集上定义为R_f, 这里f属于R对应于开集D_f。R_f说是环R的局部化，我没见过。

Stalk就比较好理解了：在素理想p的stalk就是局部环R_p, 这个我知道。但是和代数簇上的函数已经差十万八千里了。

TheMatrix 写了： 2024年 11月 7日 15:34 你说的这些我感觉自己都“懂”。但是“懂”和懂还不一样。你能不能就这个例子，说一说概型(scheme)和sheaf在这里的用途？

forecasting 写了： 2024年 11月 7日 21:27 你一脚把问题踢给我，你知道我上这里来就是图个随心所欲，不愿意太细致克制或者太动脑子，岂不是为难人也么哥？
而且你们的讨论，成了我们的讨论。
还是随心所欲地说两句：

第一步，找出整数环Z的素理想, 素理想就是素数了。即是其素谱Spec[Z]，赋予其Zariski拓扑。问题有二，为啥用素理想做点构造点集，二，什么是Zariski拓扑。
Zariski拓扑：
https://en.wikipedia.org/wiki/Zariski_topology
https://math.uchicago.edu/~may/REU2019/ ... Michel.pdf

为啥选素理想做点？一起来思考。

第二步，构造交换环层（sheaf of commutative ring），在此Zariski拓扑空间上给出拓扑开集与环之间的映射或对应。综合第一步，即构造概形（scheme）
如何将交换对应于拓扑空间开集，或者反过来，将拓扑空间开集对应于交换环？就是如何将交换环和拓扑开集关联起来。什么交换环？目的是什么？
这里，概形是层，一种特殊的层。其特殊之处是，1，拓扑空间是Zariski拓扑，而且以素理想为元素构造，2，层为交换环。

然后，第三步，第四步........，结合上面那个小纲要，大家考虑下面做什么？

TheMatrix 写了： 2024年 11月 7日 21:11 Spec(R)我查了一下，是对所有ideal I，取闭集 V(I) = {p | I ⊆ p}。

这个还不能说是有限个prime ideal的集合。只有在一维的情况下，才是有限个prime ideal的集合。

闭集 V(I)的取法，是从kⁿ空间中，I 对应的variety V(I)中来的。

FoxMe 写了： 2024年 11月 8日 09:48 我对二维情况不熟。有例子说明在二维情况下会是无穷多个prime ideal的集合吗？