Z_p一问

[forecasting]

我发现我不懂Hensel Lemma。这里应该要用到它。

那咋办？敲敲脑袋？

找出定理，看它证明，或者找几个简单例子，能不能解决问题？

[TheMatrix]

那咋办？敲敲脑袋？

找出定理，看它证明，或者找几个简单例子，能不能解决问题？

已经看过了wiki了。表述太复杂。我得消化消化。

[TheMatrix]

ring homomorphism Φ: R --> S 可以推出
1，代数方程 f=0 over R 可以看作代数方程 f=0 over S。
2，代数方程 f=0 over R 有解 (x,y)，那么代数方程 f=0 over S 一定有解 (Φ(x),Φ(y))。

但是反过来不行，代数方程 f=0 over S 有解，不一定能推出代数方程 f=0 over R 有解。

反过来叫lift。也就是代数方程 f=0 over S 的解，什么情况下能lift到代数方程 f=0 over R 的解。

如果Φ不是surjective的话，如果over S的解不在Φ的image当中，那肯定不能lift回去。

所以简单情况：Φ是surjective ring homomorphism。

比如 Φ: Z/p²Z --> Z/pZ。这就是Hensel Lemma要考虑的问题。

也就是考虑 f(x)=0 mod pⁿ，先考虑单变量x。

已知 f(x₁)=0 mod p （x₁是 mod p 的解）。

要找到 f(x₂)=0 mod p² （x₂是 mod p² 的解），并且 x₂=x₁ mod p。

据说条件应该是 f'(x₁) != 0 mod p，也就是导数不等于0。

[TheMatrix]

也就是考虑 f(x)=0 mod pⁿ，先考虑单变量x。

已知 f(x₁)=0 mod p （x₁是 mod p 的解）。

要找到 f(x₂)=0 mod p² （x₂是 mod p² 的解），并且 x₂=x₁ mod p。

据说条件应该是 f'(x₁) != 0 mod p，也就是导数不等于0。

mod p --> mod p²可以了。

设 f(x) = c₀+c₁x+c₂x²+c₃x³。

先考虑到3阶，这样能看出趋势。2阶太少。

f(x₁)=0 mod p

x₂是x₁的lift，也就是x₂=x₁ mod p。

那么 x₂=np+x₁，n=[0,1,...,p-1]。

x₂还得是f=0 mod p²的解，所以 f(x₂)=f(np+x₁)=0 mod p²。

要解的是n。

展开之后发现条件是对的：f'(x₁) != 0 mod p。这样就可以解出n，也就可以解出x₂=np+x₁。

然后还要继续往上lift：

现在已知 f(x₂)=0 mod p²。要求一个x₃是f=0 mod p³的解，也就是f(x₃)=0 mod p³，而且x₃=x₂ mod p²。

按照同样的展开，得到条件应该是：f'(x₂) != 0 mod p²。

。。。

所以一个mod p的解，要想能一级一级lift到mod pⁿ的解，条件应该是：

f'(x₁) != 0 mod p
f'(x₂) != 0 mod p²
f'(x₃) != 0 mod p³
....

这里又有一个问题：x₂, x₃,... 是从x₁递推一步一步得到的mod pⁿ的解，它们不是最开始一个条件就能得到的，必须一步一步递推，然后每一步check f'(x_k) != 0 mod p^k。怎么能保证一直推到无穷呢？

[TheMatrix]

所以一个mod p的解，要想能一级一级lift到mod pⁿ的解，条件应该是：

f'(x₁) != 0 mod p
f'(x₂) != 0 mod p²
f'(x₃) != 0 mod p³
....

不对。检查了一下，发现条件应该是这样的：

f'(x₁) != 0 mod p
f'(x₂) != 0 mod p
f'(x₃) != 0 mod p
...

[TheMatrix]

不对。检查了一下，发现条件应该是这样的：

f'(x₁) != 0 mod p
f'(x₂) != 0 mod p
f'(x₃) != 0 mod p
...

x₁ --> x₂得到的是：
npf'(x₁)+f(x₁)=0 mod p²

注意f(x₁)=0 mod p，但是f(x₁)不一定等于0 mod p²，也就是f(x₁)有p因子但是不一定有p²因子。所以上面式子可以解出n：

n = - (f(x₁)/p) / f'(x₁)

这是在Z/pZ中，也就是在一个域中解出。然后，x₂=np+x₁。

x₂ --> x₃得到的是：
np²f'(x₂)+f(x₂)=0 mod p³

可以解出n in [0,1,...,p-1]：
n = - (f(x₂)/p²) / f'(x₂)
这还是在Z/pZ中解出。然后x₃=np²+x₂

...

似乎还是要递归，并不能一下子得出可以lift到所有mod pⁿ的结论。

[TheMatrix]

x₁ --> x₂得到的是：
npf'(x₁)+f(x₁)=0 mod p²

注意f(x₁)=0 mod p，但是f(x₁)不一定等于0 mod p²，也就是f(x₁)有p因子但是不一定有p²因子。所以上面式子可以解出n：

n = - (f(x₁)/p) / f'(x₁)

这是在Z/pZ中，也就是在一个域中解出。然后，x₂=np+x₁。

x₂ --> x₃得到的是：
np²f'(x₂)+f(x₂)=0 mod p³

可以解出n in [0,1,...,p-1]：
n = - (f(x₂)/p²) / f'(x₂)
这还是在Z/pZ中解出。然后x₃=np²+x₂

...

似乎还是要递归，并不能一下子得出可以lift到所有mod pⁿ的结论。

就是wiki上的这一小段：

[TheMatrix]

不对。检查了一下，发现条件应该是这样的：

f'(x₁) != 0 mod p
f'(x₂) != 0 mod p
f'(x₃) != 0 mod p
...

有了。

因为x₂是x₁的lift，意思是x₂=x₁ mod p，所以
f'(x₁) != 0 mod p ===> f'(x₂) != 0 mod p

同理，f'(x₃) != 0 mod p 也成立，....

这就能够lift到无穷。

take limit，就到了Z_p。

哦这么回事啊！

这是wiki上这一小段：

[FoxMe]

Hensel's lemma就是牛顿法求根。它是否说明多项式方程在Z₇有解等价于其在F₇上有解？

Hensel's lemma与顶楼的问题有关吗？

“给定素数p，比如p=7。一个代数方程，比如 x2+y2=5，如果mod 任意 7n有解，那么就在Z7（7-adic integer）下有解。这个对吧？”

[FoxMe]

这个问题应该这么问：

对于二次方程，local-global principle说在Q上有解当且仅当在所有Q_p上有解。

那么对于二次方程，“在Z上有解当且仅当在所有Z_p上有解”是否成立？为什么？

这就是local-global principle，我们知道其结论 - 是否定的，正在朝这个方向走。

[TheMatrix]

Hensel's lemma就是牛顿法求根。它是否说明多项式方程在Z₇有解等价于其在F₇上有解？

Hensel's lemma与顶楼的问题有关吗？

“给定素数p，比如p=7。一个代数方程，比如 x2+y2=5，如果mod 任意 7n有解，那么就在Z7（7-adic integer）下有解。这个对吧？”

我顶楼的问题是：一个代数方程，在任意 mod pⁿ 下有解，那么就在 Z_p 有解。

我觉得这个问题的答案不一定是肯定的，似乎有缺失的链条。

在任意 mod pⁿ 下有解，那么首先就在 mod p 下有解。多元函数的话，把其它变量都代入数，变成单变量x，也就是说 f(x)=0 mod p 有解。

接下来要往上lift，也就是找
f(x)=0 mod p²
f(x)=0 mod p³
...
的解。而且每一个解都必须是前一个的lift，也就是 x₂=x₁ mod p，x₃=x₂ mod p²...

这就需要 Hensel lemma 了。

如果不是lift，而只是说 f(x)=0 mod pⁿ 有解，但是解之间没有lift关系的话，我觉得不一定能说 f(x)=0 在 Z_p 下有解。随着n变大，每次的解都不是前一个的lift。这个可能性或者反例构造可能不太容易，但是似乎不能排除。

[TheMatrix]

这个问题应该这么问：

对于二次方程，local-global principle说在Q上有解当且仅当在所有Q_p上有解。

那么对于二次方程，“在Z上有解当且仅当在所有Z_p上有解”是否成立？为什么？

我看到的表述是：二次方程在Z上有解当且仅当在所有Z_p上有解以及在实数域上有解。

[FoxMe]

有的书上偷懒，就把实数域写作Z_p for p=infinity.

在哪儿看到的？这是不对的，local-global在Q上成立，Z上不一定：

https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/g ... global.pdf

Example 3.1. Consider x2 + 11y2 = 3. It obviously has no integer solutions, but has a solution in R and each Zp. Solvability in R is clear, and solvability in Zp for p ̸= 2 or 11 follows from solving the congruence x2 ≡ 3 − 11y2 mod p using the pigeonhole principle (as in the proof of Theorem 2.4) and then applying Hensel’s lemma.
To prove solvability in Z2, from 3/11 ≡ 1 mod 8 we see that 3/11 is a square in Z2, so we can solve 02 + 11y2 = 3 in Z2.
InZ11,since3≡52 mod11wecansolvex2+11·02 =3inZ11.

但是为啥会不成立呢？按理说，根据中国余数定理，Z上是否成立等同于模p^m是否成立。是不是在中国余数定理中，素因子的个数是有限的，而这里p的个数是无限的？

我看到的表述是：二次方程在Z上有解当且仅当在所有Z_p上有解以及在实数域上有解。

[TheMatrix]

有的书上偷懒，就把实数域写作Z_p for p=infinity.

在哪儿看到的？这是不对的，local-global在Q上成立，Z上不一定：

https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/g ... global.pdf

Example 3.1. Consider x2 + 11y2 = 3. It obviously has no integer solutions, but has a solution in R and each Zp. Solvability in R is clear, and solvability in Zp for p ̸= 2 or 11 follows from solving the congruence x2 ≡ 3 − 11y2 mod p using the pigeonhole principle (as in the proof of Theorem 2.4) and then applying Hensel’s lemma.
To prove solvability in Z2, from 3/11 ≡ 1 mod 8 we see that 3/11 is a square in Z2, so we can solve 02 + 11y2 = 3 in Z2.
InZ11,since3≡52 mod11wecansolvex2+11·02 =3inZ11.

但是为啥会不成立呢？按理说，根据中国余数定理，Z上是否成立等同于模p^m是否成立。是不是在中国余数定理中，素因子的个数是有限的，而这里p的个数是无限的？

我是在ChatGPT上看到的。ChatGPT在较真的时候确实不是特别可信。

这是我前几天查到的：

[TheMatrix]

有的书上偷懒，就把实数域写作Z_p for p=infinity.

在哪儿看到的？这是不对的，local-global在Q上成立，Z上不一定：

https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/g ... global.pdf

Example 3.1. Consider x2 + 11y2 = 3. It obviously has no integer solutions, but has a solution in R and each Zp. Solvability in R is clear, and solvability in Zp for p ̸= 2 or 11 follows from solving the congruence x2 ≡ 3 − 11y2 mod p using the pigeonhole principle (as in the proof of Theorem 2.4) and then applying Hensel’s lemma.
To prove solvability in Z2, from 3/11 ≡ 1 mod 8 we see that 3/11 is a square in Z2, so we can solve 02 + 11y2 = 3 in Z2.
InZ11,since3≡52 mod11wecansolvex2+11·02 =3inZ11.

但是为啥会不成立呢？按理说，根据中国余数定理，Z上是否成立等同于模p^m是否成立。是不是在中国余数定理中，素因子的个数是有限的，而这里p的个数是无限的？

那按你的说法，这个方程 x²+11y²=3 在Q上有解，也就是有有理数解。你找到有理数解了吗？

[TheMatrix]

那按你的说法，这个方程 x²+11y²=3 在Q上有解，也就是有有理数解。你找到有理数解了吗？

嗯。x=y=1/2是一个解。