有限群表示理论的核心定理

[Caravel]

你这个问题问的对。我也有这个疑问。再往后看一点，好像是这么回事（只考虑不可约表示）。

我看懂了这个对应关系，

离散的频率 —— 不可约表示的矩阵

x,k —— g g^-1

这个广义变换的出来的谱是一系列矩阵。反变换则要取trace

不知道这个广义的傅里叶有什么别的应用？

[FoxMe]

外积u^v用张量表示，这个不是表示论。外代数是张量代数的商空间，商去什么呢？就是uv=-vu的关系。按照这个关系把张量空间分成等价类，等价类的集合就是外代数。或者在每个等价类中找一个representative，1/2(uv-vu) 就是这个representative。

噢，外代数和张量代数的关系我还没有搞懂。

[FoxMe]

不知道这个广义的傅里叶有什么别的应用？

数论里有个著名的Selberg trace formula，是Poisson sum formula在群上的傅立叶变换的推广。

[TheMatrix]

数论里有个著名的Selberg trace formula，是Poisson sum formula在群上的傅立叶变换的推广。

抽象空间上的傅里叶变换我主要是从抽象的意义上欣赏：
1，两个空间大相径庭，但是可以建立联系。
2，一系列数，可以以某种方式合并，变成一个数，或者另一系列数。这是广义积分变换的特征。这种思路是很有用的。把一个问题带到另一个空间中去，增加了很多攻击点位。

[verdelite]

你们忘了问chat GPT 了吧。我来问问看，虽然你们说的我基本上不懂。



问：下面的定理和傅里叶分解有什么关系？“有限群G的所有不可约表示的矩阵元构成群函数一组正交完备的基”

答：这个定理描述的是有限群的不可约表示的矩阵元之间的关系。它和傅里叶分解有关系，因为傅里叶分解可以用来表示群函数的基。

在数学中，群函数是满足群的性质的函数。例如，在有限群G中，群函数可以表示为矩阵元的线性组合。而傅里叶分解是一种将群函数分解为若干个基函数（称为频率分量）的技术，这些基函数之间是正交的。

因此，这个定理描述的是有限群G中的群函数可以用不可约表示的矩阵元构成的一组正交完备的基来表示，这与傅里叶分解的概念有关。

[Caravel]

你们忘了问chat GPT 了吧。我来问问看，虽然你们说的我基本上不懂。



问：下面的定理和傅里叶分解有什么关系？“有限群G的所有不可约表示的矩阵元构成群函数一组正交完备的基”

答：这个定理描述的是有限群的不可约表示的矩阵元之间的关系。它和傅里叶分解有关系，因为傅里叶分解可以用来表示群函数的基。

在数学中，群函数是满足群的性质的函数。例如，在有限群G中，群函数可以表示为矩阵元的线性组合。而傅里叶分解是一种将群函数分解为若干个基函数（称为频率分量）的技术，这些基函数之间是正交的。

因此，这个定理描述的是有限群G中的群函数可以用不可约表示的矩阵元构成的一组正交完备的基来表示，这与傅里叶分解的概念有关。

尼玛，说的非常清楚，比我说的更好。

[TheMatrix]

尼玛，说的非常清楚，比我说的更好。

有限群的群函数空间就是C^N，其中N=|G|，群元素的个数。每个不可约表示的矩阵entry（每个群元素一个数）就是C^N空间中的一个向量。这些向量正交。而且不可约表示的矩阵的entry数加起来正好等于N - 这个是很强的结论 - 所以这些向量还完备。这个定理还是挺厉害的。

[TheMatrix]

有限群的群函数空间就是C^N，其中N=|G|，群元素的个数。每个不可约表示的矩阵entry（每个群元素一个数）就是C^N空间中的一个向量。这些向量正交。而且不可约表示的矩阵的entry数加起来正好等于N - 这个是很强的结论 - 所以这些向量还完备。这个定理还是挺厉害的。

但是以群函数的观点看更好。因为可能可以扩展到李群上去。

[FoxMe]

有限群的群函数空间就是C^N，其中N=|G|，群元素的个数。每个不可约表示的矩阵entry（每个群元素一个数）就是C^N空间中的一个向量。这些向量正交。而且不可约表示的矩阵的entry数加起来正好等于N - 这个是很强的结论 - 所以这些向量还完备。这个定理还是挺厉害的。

既然有了这个矩阵表示，为啥还要搞character？character有什么优点？是更方便吗？

历史上，先有character，后有矩阵表示。Dirichlet character应该是最早的，乘法群Z^*_n的表示。张益唐研究的西格尔零点猜想，是关于Dirichlet character确定的L函数的性质。

[TheMatrix]

既然有了这个矩阵表示，为啥还要搞character？character有什么优点？是更方便吗？

历史上，先有character，后有矩阵表示。Dirichlet character应该是最早的，乘法群Z^*_n的表示。张益唐研究的西格尔零点猜想，是关于Dirichlet character确定的L函数的性质。

Dirichlet character和群表示的character啥关系？Dirichlet character就是cyclic group的群表示的character？但是Dirichlet character有乘法性，而一般群表示的character没有乘法性。Tr(gh) != Tr(g)Tr(h).

[Caravel]

既然有了这个矩阵表示，为啥还要搞character？character有什么优点？是更方便吗？

历史上，先有character，后有矩阵表示。Dirichlet character应该是最早的，乘法群Z^*_n的表示。张益唐研究的西格尔零点猜想，是关于Dirichlet character确定的L函数的性质。

矩阵表示都是七拼八凑弄出来的，其中就要依靠character，同一等价类的群元素高度相似，比如三个数1，2，3，交换1，2和交换1，3，基本就是一回事，character是等价类的函数，也有正交完备关系。

[rgg]

既然有了这个矩阵表示，为啥还要搞character？character有什么优点？是更方便吗？

历史上，先有character，后有矩阵表示。Dirichlet character应该是最早的，乘法群Z^*_n的表示。张益唐研究的西格尔零点猜想，是关于Dirichlet character确定的L函数的性质。

矩阵表示取决于基底选择，而特征标是不变量。想了一下，矩阵特征多项式的系数都是不变量，为什么单单trace，那是因为trace是唯一一个在群代数底下的线性不变量。例如determint就不好用。至于为什么trace就够用了，难道就没有信息丢失，我还没有直观。
----看来没有直观认识是对的： 特征标并不包含全部信息。“ it's quite possible for two nonisomorphic finite groups to have the same character table. (The dihedral and quaternion groups of order 8 should be an example, but I don't have references at hand.) ”

[FoxMe]

Dirichlet character和群表示的character啥关系？Dirichlet character就是cyclic group的群表示的character？但是Dirichlet character有乘法性，而一般群表示的character没有乘法性。Tr(gh) != Tr(g)Tr(h).

Dirichlet character是乘法群Z^*_n(模n的剩余类)的character，不是循环群。因为Z^*_n是可换群，其character都是一维的，所以具有乘法性。

在代数数论中，如果是abelian extension, 其伽罗华群是可换的，Dedekind zeta function可表示为Dirichlet L function的乘积,即由Dirichlet character决定的L函数之积。

如果伽罗华群不可换，就需要Artin L function，需要矩阵表示，取其行列式。

[FoxMe]

矩阵表示取决于基底选择，而特征标是不变量。

有道理。

[TheMatrix]

Dirichlet character是乘法群Z^*_n(模n的剩余类)的character，不是循环群。因为Z^*_n是可换群，其character都是一维的，所以具有乘法性。

哦。对。这个是n-coprime组成的群。不是循环群。

[FoxMe]

Dirichlet character是乘法群Z^*_n(模n的剩余类)的character，不是循环群。因为Z^*_n是可换群，其character都是一维的，所以具有乘法性。

在代数数论中，如果是abelian extension, 其伽罗华群是可换的，Dedekind zeta function可表示为Dirichlet L function的乘积,即由Dirichlet character决定的L函数之积。

如果伽罗华群不可换，就需要Artin L function，需要矩阵表示，取其行列式。

群表示论大概就设这些人加上Frobenius发展起来的。

[Caravel]

群表示论大概就设这些人加上Frobenius发展起来的。

Jancsi considered my group theory problem for about half an hour’s time. Then he said, “Jen¨o, this involves representation theory.” Jancsi gave me a reprint of a decisive 1905 article by Frobenius and Schur. . . . He said, “. . . it’s one of the things on which old Frobenius made his reputation. So it can’t be easy.”

—Wigner’s autobiography

Jancsi是冯诺伊曼

[FoxMe]

Jancsi considered my group theory problem for about half an hour’s time. Then he said, “Jen¨o, this involves representation theory.” Jancsi gave me a reprint of a decisive 1905 article by Frobenius and Schur. . . . He said, “. . . it’s one of the things on which old Frobenius made his reputation. So it can’t be easy.”

—Wigner’s autobiography

Jancsi是冯诺伊曼

群表示论是Dedekind给Frobenius出的练习题，Schur是Frobenius的学生。

[FoxMe]

通过这段时间的学习，理解了共轭这个概念。以前这个概念在线性代数（相似变换）和群论（对称群的置换表示）里面都出现过，但是不明所以。

共轭的东西在本质上是一样的。比如共轭置换，其实是重新排列一下，执行相同的操作，然后再排列回去。

而线性代数里，共轭矩阵支撑的线性空间是一样的。

[FoxMe]

矩阵表示取决于基底选择，而特征标是不变量。想了一下，矩阵特征多项式的系数都是不变量，为什么单单trace，那是因为trace是唯一一个在群代数底下的线性不变量。例如determint就不好用。至于为什么trace就够用了，难道就没有信息丢失，我还没有直观。
----看来没有直观认识是对的： 特征标并不包含全部信息。“ it's quite possible for two nonisomorphic finite groups to have the same character table. (The dihedral and quaternion groups of order 8 should be an example, but I don't have references at hand.) ”

关于trace，我在前面有个解释。似乎从trace可以恢复所有的特征值（特征多项式）。

我也知道D8和Q8这个例子，它们的character table相同。这一点我很困惑，即character和regular representation到底是啥关系？既然character会丢失信息，为啥还要用？