为什么三维空间的旋转是qvq^{-1}, 二维平面只需要rv?

[苍井吱]

你妈的，都怎么学的

前者是矩阵相似变换，从几何学上说，是空间中的矢量不变但是改变坐标系，

后者是坐标系不变，但是旋转矢量

效果一样吗？你妈的，当然可以一样，相似变换矩阵可以对应一个unique的旋转矩阵（or if use euler角，对应3个旋转矩阵）

啧啧啧

不考虑矩阵形式(上面欧拉角的视角)

qvq^{-1}这个旋转q = \cos{\theta\over2} + \sin{\theta\over2}(xi + yj + zk), x² + y² + z² = 1的一个单位四元数，跟复平面上的旋转r = \cos\theta + i\sin\theta是一样的

v = ai + bj + ck就是表示3维坐标里面的(a, b, c)，对应二维平面上的v = a + bi

这两个形式不能统一让我很迷惑

[webdriver]

完了完了，将军们都如此抽象
看来退休后有必要重修下mit mathmatics

[苍井吱]

回答一下楼主，就是你用qvq^{-1}表示的时候，中间的V不是一个普通的实数vector, 而是一个四元数，或者一个2x2复数矩阵，

站内帖子：从reflection和rotation为例看clifford algebra

完美错过了clifford algebra的讨论，最近在研究图形学才开始看quaternion

v = ai + bj + ck，表示3维空间的点/向量(a, b, c)

矩阵表示也可以，

1 = I_{2x2}
i =
j = [0 1
-1 0]
k = [0 i
i 0]

[zeami]

不考虑矩阵形式(上面欧拉角的视角)

qvq^{-1}这个旋转q = \cos{\theta\over2} + \sin{\theta\over2}(xi + yj + zk), x² + y² + z² = 1的一个单位四元数，跟复平面上的旋转r = \cos\theta + i\sin\theta是一样的

v = ai + bj + ck就是表示3维坐标里面的(a, b, c)，对应二维平面上的v = a + bi

这两个形式不能统一让我很迷惑

全用rv算不就得了，为毛纠结。。

[苍井吱]

全用rv算不就得了，为毛纠结。。

二维里面是rv做旋转

三维就必须用qvq^{-1}了

我在op的问题就是想知道为什么形式不统一

[zeami]

二维里面是rv做旋转

三维就必须用qvq^{-1}了

我在op的问题就是想知道为什么形式不统一

rv能算三维啊。你算啥？

[弃婴千枝]

全用rv算不就得了，为毛纠结。。

计算速度快啊，矩阵只需要乘2次，要是用欧拉角，得乘3次，

[苍井吱]

rv能算三维啊。你算啥？

用欧拉角旋转会很怪异

奇点附近还会抖

一般都不用吧

[zeami]

计算速度快啊，矩阵只需要乘2次，要是用欧拉角，得乘3次，

丫肯定是写脚本算的吧？？

[弃婴千枝]

不考虑矩阵形式(上面欧拉角的视角)

qvq^{-1}这个旋转q = \cos{\theta\over2} + \sin{\theta\over2}(xi + yj + zk), x² + y² + z² = 1的一个单位四元数，跟复平面上的旋转r = \cos\theta + i\sin\theta是一样的

v = ai + bj + ck就是表示3维坐标里面的(a, b, c)，对应二维平面上的v = a + bi

这两个形式不能统一让我很迷惑

就是利用SO(3)与SU(2)的 isomorphic，即SU(2)/Z2≅SO(3)

你找本群论看看就明白了
https://courses.physics.ucsd.edu/2016/S ... THEORY.pdf

[zeami]

用欧拉角旋转会很怪异

奇点附近还会抖

一般都不用吧

晕，搞计算莫要带情绪好伐。时间是资本家付了钱的。。

[弃婴千枝]

丫肯定是写脚本算的吧？？

显卡全是这种运算，一个图像几百万个点，旋转了你不找个快点的算法要卖不出去的

[苍井吱]

丫肯定是写脚本算的吧？？

丫肯定是写脚本算的

[zeami]

显卡全是这种运算，一个图像几百万个点，旋转了你不找个快点的算法要卖不出去的

噢这个意思，那先要找对称性质来简化。把结构先转过去，细节照原始相对关系来复原。。

[苍井吱]

就是利用SO(3)与SU(2)的 isomorphic，即SU(2)/Z2≅SO(3)

你找本群论看看就明白了
https://courses.physics.ucsd.edu/2016/S ... THEORY.pdf

超出我的理解范围了

这两个的关系不是quaternion的那组基底跟旋转的关系吗？没看到跟复平面上的旋转有什么关系

[弃婴千枝]

超出我的理解范围了

这两个的关系不是quaternion的那组基底跟旋转的关系吗？没看到跟复平面上的旋转有什么关系

复平面就是把4x4 or 3x3矩阵的运算切换到2x2矩阵的运算上来

[苍井吱]

噢这个意思，那先要找对称性质来简化。把结构先转过去，细节照原始相对关系来复原。。

你们的讨论大概是这个

[zeami]

超出我的理解范围了

这两个的关系不是quaternion的那组基底跟旋转的关系吗？没看到跟复平面上的旋转有什么关系

还是转坐标系，这样恢复原细节快。。

[Caravel]

二维里面是rv做旋转

三维就必须用qvq^{-1}了

我在op的问题就是想知道为什么形式不统一

RV也可以，就是3x3矩阵，这就是两种不同的表象，

[苍井吱]

复平面就是把4x4 or 3x3矩阵的运算切换到2x2矩阵的运算上来

复平面的旋转不是吧2x2矩阵运算[a -b;b a][x;y]切换到1维(a + bi)(x + iy)上吗