找多个矩阵的共同不变子空间有没有什么经典算法？

[Caravel]

一个方阵，无论能不能对角化，其特征空间的子空间都是不变子空间。

这不是先考虑最简单的情形。而且根据unitary theorem，有限群必有unitary matrix representation

[FoxMe]

这个不麻烦吧
step 1, 算出特征值,顺便算出代数乘数
step 2, 每个不同的特征值检查eigenspace的维数，如果跟代数乘数不同则断言A不可相似对角化
step 3, 所有特征值都检查完了，断言A可以相似对角化

对，代数重数 = 几何重数，则可相似对角化。

但是几何重数有可能小于代数重数，这种情形下特征向量（特征子空间）撑不起整个空间。

[rgg]

之前我问过一个相关的问题：矩阵的约当标准型和不变子空间是什么关系？

正规矩阵能酉对角化，即特征分解；
什么矩阵能相似对角化？判断比较麻烦。
一般矩阵只能相似于约当标准型，看上去像是一些不变子空间的直和（分块对角矩阵）。

矩阵的约当标准型就是不可约不变子空间的分解啊。到这一步已经做完了。
对有限群的正则表示做特征标表格，也就找到了全部的不可约不变子空间/不可约表示，也是做完了。

至随便给n个形状相同的矩阵， 找他们的共同不变子空间，是个valid question，比上面两个难。
另一个讨论学习的方向是物理上用的，给一个李群，怎么找它的任意有限维表示/不变子空间？

[FoxMe]

矩阵的约当标准型就是不可约不变子空间的分解啊。到这一步已经做完了。

多谢，高人啊。有什么参考资料吗？

[FoxMe]

一个方阵，无论能不能对角化，其特征空间的子空间都是不变子空间。

如果不能对角化，特征子空间不能组成整个空间。

一般情况下，需要用到所谓的广义特征向量和广义特征子空间（也叫根子空间）：

https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_eigenvector

广义特征向量构成约当标准型的相似矩阵。这些广义特征子空间都是不变子空间，并且刚好能组成整个空间。

[YWY]

如果不能对角化，特征子空间不能组成整个空间。

一般情况下，需要用到所谓的广义特征向量和广义特征子空间（也叫根子空间）：

https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_eigenvector

广义特征向量构成约当标准型的相似矩阵。这些广义特征子空间都是不变子空间，并且刚好能组成整个空间。

这个维基网页倒是提醒我了，对于一个给定的n x n方阵A，可以把n维向量空间R^n看作是R[X]上的模（X是未定元，具体运算时相当于A），这样，找不变子空间就等价于找R[X]子模。如果考虑复数的话，就用C^n和C[X]。我只是有这么个印象，具体怎么找，容不容易找，我就不清楚了。

[TheMatrix]

矩阵的约当标准型就是不可约不变子空间的分解啊。到这一步已经做完了。
对有限群的正则表示做特征标表格，也就找到了全部的不可约不变子空间/不可约表示，也是做完了。

做出character table就能得到任意不可约表示的matrix形式吗？

我正在做这件事。我感觉这中间还差一步。character table和regular representation的确有很大帮助，至少知道了有多少个不可约表示，每个不可约表示的维度。但是具体写出来matrix，还是要找整个群共同的不变子空间。

比如说Symm(5)吧。这里有character table，怎么找到6维不可约表示的matrix呢？

[TheMatrix]

如果能对角化，所有的或者额部分eigen vector span的space都是不变子空间。给定一个子空间，就看别的矩阵乘以这个子空间的基会不会出去。找到那些闭合的基集合就是不变子空间

对。但是A矩阵乘以B矩阵的不变子空间的基，一般都会出去。

[TheMatrix]

对，代数重数 = 几何重数，则可相似对角化。

但是几何重数有可能小于代数重数，这种情形下特征向量（特征子空间）撑不起整个空间。

你们说的都是一个矩阵吧？多个矩阵共同的不变子空间不好找。

[TheMatrix]

这个维基网页倒是提醒我了，对于一个给定的n x n方阵A，可以把n维向量空间R^n看作是R[X]上的模（X是未定元，具体运算时相当于A），这样，找不变子空间就等价于找R[X]子模。如果考虑复数的话，就用C^n和C[X]。我只是有这么个印象，具体怎么找，容不容易找，我就不清楚了。

R^n不能看成R[X]上的模吧？能吗？

[YWY]

R^n不能看成R[X]上的模吧？能吗？

能，而且是证明约当型存在的方法之一。一个多项式f(X)和R^n中一个列向量v的乘积（scalar product）就定义为f(A)和v的矩阵乘积，所以这个R[X]上的模结构紧密依赖于A。

[TheMatrix]

能，而且是证明约当型存在的方法之一。一个多项式f(X)和R^n中一个列向量v的乘积（scalar product）就定义为f(A)和v的矩阵乘积，所以这个R[X]上的模结构紧密依赖于A。

嗯。对。这个构造挺好。

[Caravel]

对。但是A矩阵乘以B矩阵的不变子空间的基，一般都会出去。

出去一个基没有关系，比如对三个基 e1, e2, e3闭合， 还是不变子空间

[（ヅ）]

对，代数重数 = 几何重数，则可相似对角化。

但是几何重数有可能小于代数重数，这种情形下特征向量（特征子空间）撑不起整个空间。

这不就对称矩阵的优点吗，全部可以对角化，而且eigenspace相互正交

[TheMatrix]

出去一个基没有关系，比如对三个基 e1, e2, e3闭合， 还是不变子空间

嗯，就是A的不变子空间组合一下，用B试，看哪个组合也是B的不变子空间。我觉得这样可以。

[takaoka]

另外，如果预先知道了不变子空间的维度了，应该有所帮助吧？

先正交化，然后算A_j和A_k的Stiefle或Grassmann manifold distance.

[TheMatrix]

之前我问过一个相关的问题：矩阵的约当标准型和不变子空间是什么关系？

正规矩阵能酉对角化，即特征分解；
什么矩阵能相似对角化？判断比较麻烦。
一般矩阵只能相似于约当标准型，看上去像是一些不变子空间的直和（分块对角矩阵）。

嗯。找约当标准型虽然是对一个矩阵找，但是它可以找到高维的不可约不变子空间，群的高维不可约表示应该就是从这些中来。

[rgg]

做出character table就能得到任意不可约表示的matrix形式吗？

我正在做这件事。我感觉这中间还差一步。character table和regular representation的确有很大帮助，至少知道了有多少个不可约表示，每个不可约表示的维度。但是具体写出来matrix，还是要找整个群共同的不变子空间。

比如说Symm(5)吧。这里有character table，怎么找到6维不可约表示的matrix呢？

你说得对。explicitly 写出矩阵表示，还是挺难。

[FoxMe]

至随便给n个形状相同的矩阵， 找他们的共同不变子空间，是个valid question，比上面两个难。
另一个讨论学习的方向是物理上用的，给一个李群，怎么找它的任意有限维表示/不变子空间？

第一个问题：如果是可交换矩阵，有一些结论：
https://en.wikipedia.org/wiki/Commuting_matrices
在群表示论中，可换群的正则表示可对角化，那么就是一组矩阵可同时对角化A_i = P D P^{-1}。P就给出了它们的共同不变子空间。
可是非可换群怎么办呢？

第二个问题：我找了本书看：Brian C. Hall，Quantum Theory for Mathematicians。可是没看出来给一个李群，怎么找它的任意有限维表示。

16 Lie Groups, Lie Algebras, and Representations 333
16.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
16.2 Matrix Lie Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
16.3 Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
16.4 The Matrix Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
16.5 The Lie Algebra of a Matrix Lie Group . . . . . . . . . . . 342
16.6 Relationships Between Lie Groups and Lie Algebras . . . . 344
16.7 Finite-Dimensional Representations of Lie Groups
and Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
16.8 New Representations from Old . . . . . . . . . . . . . . . . 358
16.9 Infinite-Dimensional Unitary Representations . . . . . . . 360
16.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
17 Angular Momentum and Spin 367
17.1 The Role of Angular Momentum
in Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
17.2 The Angular Momentum Operators in R3 . . . . . . . . . 368
17.3 Angular Momentum from the Lie Algebra Point
of View . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
17.4 The Irreducible Representations of so(3) . . . . . . . . . . 370
17.5 The Irreducible Representations of SO(3) . . . . . . . . . . 375
17.6 Realizing the Representations Inside L2(S2) . . . . . . . . 376

[Caravel]

第一个问题：如果是可交换矩阵，有一些结论：
https://en.wikipedia.org/wiki/Commuting_matrices

of View . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
17.4 The Irreducible Representations of so(3) . . . . . . . . . . 370
17.5 The Irreducible Representations of SO(3) . . . . .

李群玩法不一样了，一般通过生成元李代数来构造，升降算子，你这里SO(3)里面应该有这种介绍，李代数搞定了，再take exponential