掷骰子的几率计算题

[meiyoumajia]

。

[meiyoumajia]

。

[meiyoumajia]

。

[YWY]

我对改动的问题没有细想。
但是
必须考虑第100次时的特殊情况。

也就是说n=100必须反映在递推关系里。

对吧？

我的递推公式就是投n次出现三连7的概率（出现后停不停止不影响，出不出现4连7也无所谓）。

按递推公式算p(100)即可。当然了，我的考虑有没有漏洞，还请大家把关。

[meiyoumajia]

我的递推公式就是投n次出现三连7的概率（出现后停不停止不影响，出不出现4连7也无所谓）。

按递推公式算p(100)即可。当然了，我的考虑有没有漏洞，还请大家把关。

基本思路应该是可以的。

我今天还没吃饭。（几个月来一直在减肥。每天吃两顿。）吃完饭后再重新考虑两个新问题。

[CalCat]

Suppose the probability of an experiment to succeed is r (e.g., r = 1/6). Question: if we conduct n experiments, what is the probability of getting 3 consecutive successes? Let this probability be p(n). Then p(1) = p(2) = 0, p(3) = r^3, p(n) = r^3 + (1-r)p(n-1) + r(1-r)p(n-2) + r^2(1-r)p(n-3) for n > 3.

我算了你的数值，发现你的数值和网上的一个计算器的结果是相同的 [p(100)=31.886%]，另外一个计算器的解稍微小一点。 Wonderful! 你的数值如下：
p(3)=0.46296%
p(4)=0.84877%
p(5)=1.23457%
p(6)=1.62037%
...
p(99)=31.61917%
p(100)=31.88610%
p(101)=32.15199%
...
p(257)=63.14014%
p(258)=63.28403%
p(259)=63.42735%
...

[YWY]

Suppose the probability of an experiment to succeed is r (e.g., r = 1/6). Question: if we conduct n experiments, what is the probability of getting 3 consecutive successes? Let this probability be p(n). Then p(1) = p(2) = 0, p(3) = r^3, p(n) = r^3 + (1-r)p(n-1) + r(1-r)p(n-2) + r^2(1-r)p(n-3) for n > 3.

Using matrix, we can express the recursive formula as

[p(n), p(n-1), p(n-2), r^3] = [p(n-1), p(n-2), p(n-3), r^3] A = ... = [p(3), p(2), p(1), r^3] A^{n-3}, where A is the following 4 x 4 matrix

1-r	1	0	0
r(1-r)	0	1	0
r^2(1-r)	0	0	0
1	0	0	1

[YWY]

我算了你的数值，发现你的数值和网上的一个计算器的结果是相同的 [p(100)=31.886%]，另外一个计算器的解稍微小一点。 Wonderful! 你的数值如下：
p(3)=0.46296%
p(4)=0.84877%
p(5)=1.23457%
p(6)=1.62037%
...
p(99)=31.61917%
p(100)=31.88610%
p(101)=32.15199%
...
p(257)=63.14014%
p(258)=63.28403%
p(259)=63.42735%
...

Great!

[meiyoumajia]

我算了你的数值，发现你的数值和网上的一个计算器的结果是相同的 [p(100)=31.886%]，另外一个计算器的解稍微小一点。 Wonderful! 你的数值如下：
p(3)=0.46296%
p(4)=0.84877%
p(5)=1.23457%
p(6)=1.62037%
...
p(99)=31.61917%
p(100)=31.88610%
p(101)=32.15199%
...
p(257)=63.14014%
p(258)=63.28403%
p(259)=63.42735%
...

你能给出在修改前的那个（考虑4连7）问题的列值表吗？

[CalCat]

我自己摸索着提问的，既然YWY已经给出了答案，我就认为这个问题解决了。至于7-7-7-7在YWY的答案里面考虑与否，这个还得细究。我还没有完全搞懂。

[YWY]

你能给出在修改前的那个（考虑4连7）问题的列值表吗？

不允许4连7的话（投满n次，考虑出现三连7但没有4连7的概率），（我感觉）有如下递推公式：p(1) = p(2) = 0, p(3) = r^3, p(4) = r^3(1-r) + (1-r)p(3) + r(1-r)p(2) + r^2(1-r)p(1) = 2r^3(1-r), p(n) = (1-r)p(n-1) + r(1-r)p(n-2) + r^2(1-r)p(n-3) + r^3(1-r)p(n-4) for n > 4.

[meiyoumajia]

我自己摸索着提问的，既然YWY已经给出了答案，我就认为这个问题解决了。至于7-7-7-7在YWY的答案里面考虑与否，这个还得细究。我还没有完全搞懂。

如我前面所述，那个问题复杂多了。必须把4连7的情况沿着树反馈回去。

你修改过的问题本质应该是：
在最多投100次的条件下，以第一个出现的777结束的概率是多大？

[YWY]

Suppose the probability of an experiment to succeed is r (e.g., r = 1/6). Question: if we conduct n experiments, what is the probability of getting 3 consecutive successes? Let this probability be p(n). Then p(1) = p(2) = 0, p(3) = r^3, p(n) = r^3 + (1-r)p(n-1) + r(1-r)p(n-2) + r^2(1-r)p(n-3) for n > 3.

我自己摸索着提问的，既然YWY已经给出了答案，我就认为这个问题解决了。至于7-7-7-7在YWY的答案里面考虑与否，这个还得细究。我还没有完全搞懂。

这个递推公式就是投n次出现三连7的概率（出现后停不停止不影响，出不出现4连7也无所谓）。换句话说，投n次，出现（至少）三连7就算成功，这当然允许4连7。

[meiyoumajia]

是不是可以这样考虑？

在最多投100次的条件下，以第一个4连7结束的概率是q
前面算的修改后的题目答案是r

r-q

[meiyoumajia]

因此修改前的问题也被解决了

[CalCat]

Using matrix, we can express the recursive formula as

[p(n), p(n-1), p(n-2), r^3] = [p(n-1), p(n-2), p(n-3), r^3] A = ... = [p(3), p(2), p(1), r^3] A^{n-3}, where A is the following 4 x 4 matrix

1-r	1	0	0
r(1-r)	0	1	0
r^2(1-r)	0	0	0
1	0	0	1

Matrix is powerful!

[meiyoumajia]

所有的问题都被解决了。

试看楼主还有什么所有问题之外的所有问题。lol

[YWY]

是不是可以这样考虑？

在最多投100次的条件下，以第一个4连7结束的概率是q
前面算的修改后的题目答案是r

r-q

yes!

[CalCat]

所有的问题都被解决了。

试看楼主还有什么所有问题之外的所有问题。lol

我自己对这个问题有所发展，让我先考虑一段时间，看看。感谢你们的帮助！