Re: 掷骰子的几率计算题
发表于 ： 2023年 2月 5日 17:10
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我的递推公式就是投n次出现三连7的概率（出现后停不停止不影响，出不出现4连7也无所谓）。
基本思路应该是可以的。YWY 写了： 2023年 2月 5日 17:33 我的递推公式就是投n次出现三连7的概率（出现后停不停止不影响，出不出现4连7也无所谓）。
按递推公式算p(100)即可。当然了，我的考虑有没有漏洞，还请大家把关。
我算了你的数值，发现你的数值和网上的一个计算器的结果是相同的 [p(100)=31.886%]，另外一个计算器的解稍微小一点。 Wonderful! 你的数值如下：YWY 写了： 2023年 2月 5日 16:38 Suppose the probability of an experiment to succeed is r (e.g., r = 1/6). Question: if we conduct n experiments, what is the probability of getting 3 consecutive successes? Let this probability be p(n). Then p(1) = p(2) = 0, p(3) = r^3, p(n) = r^3 + (1-r)p(n-1) + r(1-r)p(n-2) + r^2(1-r)p(n-3) for n > 3.
Using matrix, we can express the recursive formula asYWY 写了： 2023年 2月 5日 16:38 Suppose the probability of an experiment to succeed is r (e.g., r = 1/6). Question: if we conduct n experiments, what is the probability of getting 3 consecutive successes? Let this probability be p(n). Then p(1) = p(2) = 0, p(3) = r^3, p(n) = r^3 + (1-r)p(n-1) + r(1-r)p(n-2) + r^2(1-r)p(n-3) for n > 3.
| 1-r | 1 | 0 | 0 |
| r(1-r) | 0 | 1 | 0 |
| r^2(1-r) | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
Great!CalCat 写了： 2023年 2月 5日 18:03 我算了你的数值，发现你的数值和网上的一个计算器的结果是相同的 [p(100)=31.886%]，另外一个计算器的解稍微小一点。 Wonderful! 你的数值如下：
p(3)=0.46296%
p(4)=0.84877%
p(5)=1.23457%
p(6)=1.62037%
...
p(99)=31.61917%
p(100)=31.88610%
p(101)=32.15199%
...
p(257)=63.14014%
p(258)=63.28403%
p(259)=63.42735%
...
你能给出在修改前的那个（考虑4连7）问题的列值表吗？CalCat 写了： 2023年 2月 5日 18:03 我算了你的数值，发现你的数值和网上的一个计算器的结果是相同的 [p(100)=31.886%]，另外一个计算器的解稍微小一点。 Wonderful! 你的数值如下：
p(3)=0.46296%
p(4)=0.84877%
p(5)=1.23457%
p(6)=1.62037%
...
p(99)=31.61917%
p(100)=31.88610%
p(101)=32.15199%
...
p(257)=63.14014%
p(258)=63.28403%
p(259)=63.42735%
...
不允许4连7的话（投满n次，考虑出现三连7但没有4连7的概率），（我感觉）有如下递推公式：p(1) = p(2) = 0, p(3) = r^3, p(4) = r^3(1-r) + (1-r)p(3) + r(1-r)p(2) + r^2(1-r)p(1) = 2r^3(1-r), p(n) = (1-r)p(n-1) + r(1-r)p(n-2) + r^2(1-r)p(n-3) + r^3(1-r)p(n-4) for n > 4.
如我前面所述，那个问题复杂多了。必须把4连7的情况沿着树反馈回去。CalCat 写了： 2023年 2月 5日 18:27 我自己摸索着提问的，既然YWY已经给出了答案，我就认为这个问题解决了。至于7-7-7-7在YWY的答案里面考虑与否，这个还得细究。我还没有完全搞懂。
YWY 写了： 2023年 2月 5日 16:38 Suppose the probability of an experiment to succeed is r (e.g., r = 1/6). Question: if we conduct n experiments, what is the probability of getting 3 consecutive successes? Let this probability be p(n). Then p(1) = p(2) = 0, p(3) = r^3, p(n) = r^3 + (1-r)p(n-1) + r(1-r)p(n-2) + r^2(1-r)p(n-3) for n > 3.
这个递推公式就是投n次出现三连7的概率（出现后停不停止不影响，出不出现4连7也无所谓）。换句话说，投n次，出现（至少）三连7就算成功，这当然允许4连7。CalCat 写了： 2023年 2月 5日 18:27 我自己摸索着提问的，既然YWY已经给出了答案，我就认为这个问题解决了。至于7-7-7-7在YWY的答案里面考虑与否，这个还得细究。我还没有完全搞懂。
Matrix is powerful!YWY 写了： 2023年 2月 5日 18:09 Using matrix, we can express the recursive formula as
[p(n), p(n-1), p(n-2), r^3] = [p(n-1), p(n-2), p(n-3), r^3] A = ... = [p(3), p(2), p(1), r^3] A^{n-3}, where A is the following 4 x 4 matrix
1-r 1 0 0 r(1-r) 0 1 0 r^2(1-r) 0 0 0 1 0 0 1
yes!
我自己对这个问题有所发展，让我先考虑一段时间，看看。感谢你们的帮助！