大家做做这个

[（ヅ）]

这就是“2是primitive root mod 2N-1”的定义，就是说2至少要phi(2N-1)次幂才等于1 mod 2N-1。注意2的phi(2N-1)次幂肯定等于1 mod 2N-1（欧拉定理），这是你一楼洗牌题证明的关键。

你是对的，一回家脑袋就糊涂了!

[（ヅ）]

没有直接关系但又间接关系。“2是primitive root mod 2N-1”是说需要至少phi(2N-1)次（欧拉数）才能还原。注意phi(2N-1)小于等于2N-2。所以，“需要最少洗2N-2次才能还原”的充要条件是“phi(2N-1) = 2N-2而且2是primitive root mod 2N-1”。但phi(2N-1) = 2N-2当且仅当2N-1等于一个奇素数。所以“需要最少洗2N-2次才能还原”的充要条件是“2N-1是奇素数而且2是primitive root mod 2N-1”。这样，“N = (p+1)/2 where p is an odd prime”是必要条件，“2是primitive root mod 2N-1”也是必要条件。还有，通过考虑二次剩余，“2是primitive root mod p”的必要条件是“p = 3 or 5 mod 8”。所以“需要最少洗2N-2次才能还原”的必要条件是“N = (p+1)/2 where p is an odd prime and p = 3 or 5 mod 8”。

想明白了，很赞的分析

"2是primitive root mod p”的必要条件是“p = 3 or 5 mod 8"只能是必要条件，充分条件不能满足，有一反例p = 43

[YWY]

想明白了，很赞的分析

"2是primitive root mod p”的必要条件是“p = 3 or 5 mod 8"只能是必要条件，充分条件不能满足，有一反例p = 43

一楼的题很棒，证明方法也很赞，很开阔人的思路。

[FoxMe]

根据wiki的提示，
https://en.wikipedia.org/wiki/Faro_shuffle#cite_note-7
搞明白该怎么做。考虑另一种洗牌：
1 2 3 4 5 6 7 8
5 1 6 2 7 3 8 4
这种的2N张牌和楼主的2N+2张牌是一一对应。

然后只需要观察到一个现象：洗一次牌后，n号牌到达2n mod (2N+1)的位置。

这种洗牌方法的次数最多是phi(2N+1) <= 2N。

排列组合的题，不给点提示很难做，可能是为什么要群论的原因。

[FoxMe]

想明白了，很赞的分析

"2是primitive root mod p”的必要条件是“p = 3 or 5 mod 8"只能是必要条件，充分条件不能满足，有一反例p = 43

看来充分必要条件不好推，有人做了一张表：

http://oeis.org/A001122/b001122.txt

[（ヅ）]

研究了一下，一个充分条件是

如果N-1是Sophie Germain 质数，即N-1和2N-1同为质数，那么2是prm 2N - 1.

这个办法会漏掉不少，在3-100里面，通过这个条件能找到满足2是prm 2N-1的2N-1有11, 59, 83。

实际上满足2是prm2N-1的有3,5,11,13,19,29,37,53,59,61,67,83