掷骰子的几率计算题

[meiyoumajia]

只考虑part 1
看k反向增大时的发展
把k的情况分成两种情况：
一：k情况的第一次是0，k+1时/前面再有一个就会是a；新的几率与之前相同
二：k情况的第一次时1，k+1时/前面再有一个就必须是0；乘因子5/6得到新几率

虽然开始k*pk在增大，但当k足够大时，k*pk的比降比比5/6大，但比1小，因此那个和是收敛的。

应该可以计算出比较精确的数值答案。就只是比较繁琐。懒得去做了。

[YWY]

the two parts can be solved similarly

1.
the following are possibilities of the first appearances of 1 1(1 meaning a two-dice-number-sum of 7, 0 otherwise) which ends the tossing
1 1: p2=6/36*6/36 = 1/36

0 1 1: p3= 1/36* 30/36 = 5/216. if we look backward

a 0 1 1: p4 = 5/216. The same as the previous case, if we look backward

0 a 0 1 1: p5_1 = 5/216* 5/6 (looking backward)
1 0 0 1 1 : p5_2 = 5/216* 5/6 * 1/6
p5 = p5_1 + p5_2

...

the weighted sum 2*p2+ 3*p3 + k*pk + ... is the answer to the part

Yes, p(2) = 1/36, p(3) = 5/216.

For n > 3, we have p(n) = (5/6)p(n-1) + (1/6)(5/6)p(n-2).

From the above, we can show that the weighted sum is convergent/finite. In fact, as n goes to infinity, the limit of p(n)/p(n+1) is [sqrt(1620) - 30]/10 > 1.

[meiyoumajia]

前面的最后一帖是对k>=5叙述的。自那以后，第一次是0和1都会一直出现。那样推不需要继续看k-1或k-2等等更小的情况

每次推出，用完后，要重新归类到那种0和1的情况，继续用同样的叙述推k+2。。。如此下去

那也是做它的数值计算的可行思路。因此很繁。

但我前面有一点不严格。是根据一个感觉特别可靠（lol）的直觉。那就是5/6那部分相对不变的那部分能保持同数量级的关系。（否则答案就会发散。）

因为这个问题的实用性，如果有，会特别窄，所以我就不继续下去了。

[meiyoumajia]

Yes, p(2) = 1/36, p(3) = 5/216.

For n > 3, we have p(n) = (5/6)p(n-1) + (1/6)(5/6)p(n-2).

From the above, we can show that the weighted sum is convergent/finite. In fact, as n goes to infinity, the limit of p(n)/p(n+1) is [sqrt(1620) - 30]/10 > 1.

好！！！

n是
0 （n-1）
与
1 0 （n-2）
的结合

可以算出p（n）的解析公式了。最后再考虑那个平均值。。。

[YWY]

好！！！

n是
0 （n-1）
与
1 0 （n-2）
的结合

可以算出p（n）的解析公式了。最后再考虑那个平均值。。。

Yes, p(2) = 1/36, p(3) = 5/216.

For n > 3, we have p(n) = (5/6)p(n-1) + (1/6)(5/6)p(n-2).

From the above, we can show that the weighted sum is convergent/finite. In fact, as n goes to infinity, the limit of p(n)/p(n+1) is [sqrt(1620) - 30]/10 > 1.

According to my deduction, the expected value is E = 2p(2) + 3p(3) + ... = 42. The deduction takes advantage of the relation p(n) = (5/6)p(n-1) + (1/6)(5/6)p(n-2), which allows us to solve E precisely. If you are interested in double checking my deduction, you can start with E - 2p(2) - 3p(3), which is sum_{n=4}^{infinity} np(n). Then plug in p(n) = (5/6)p(n-1) + (1/6)(5/6)p(n-2), and try to express it in term of E and some constants. Then solve E out of the equation.

[YWY]

不可能是发散的。我估计第一种的平均次数是36， 第二次的平均次数是42.

看来我算对了，我推导出来的第二次平均次数就是42。

[CalCat]

看来我算对了，我推导出来的第二次平均次数就是42。

Wonderful! I need some time to digest this.

[meiyoumajia]

看来我算对了，我推导出来的第二次平均次数就是42。

他说你做的第一种情况会是36。

第二种应该比第一种明显更大。如果你的part1的答案42正确（我相信是正确的），那么第二种的答案应该至少大2。

[CalCat]

According to my deduction, the expected value is E = 2p(2) + 3p(3) + ... = 42. The deduction takes advantage of the relation p(n) = (5/6)p(n-1) + (1/6)(5/6)p(n-2), which allows us to solve E precisely. If you are interested in double checking my deduction, you can start with E - 2p(2) - 3p(3), which is sum_{n=4}^{infinity} np(n). Then plug in p(n) = (5/6)p(n-1) + (1/6)(5/6)p(n-2), and try to express it in term of E and some constants. Then solve E out of the equation.

I used your "the expected value is E = 2p(2) + 3p(3) + ... = 42" to calculate it, The number is 42. Great! But this situation fits perfectly to the second case, "2. 平均来说，需要投掷多少次使得这个结果发生，但是不让点数是12 的结果在此之前发生？", but we still need some work for the first case.

[CalCat]

他说你做的第一种情况会是36。

第二种应该比第一种明显更大。如果你的part1的答案42正确（我相信是正确的），那么第二种的答案应该至少大2。

第一种情况，完全可以搞个模拟，但是， 我自己不会编程序， 但是， 我估计，答案应该在 18.5， 或者36.5 左右。我有想了想，还不能肯定第二种情况答案是不是42。

[meiyoumajia]

I used your "the expected value is E = 2p(2) + 3p(3) + ... = 42" to calculate it, The number is 42. Great! But this situation fits perfectly to the second case, "2. 平均来说，需要投掷多少次使得这个结果发生，但是不让点数是12 的结果在此之前发生？", but we still need some work for the first case.

你可按他说的方法解决验证。
（利用所有pk和等于1，可以得出E的方程式。）

你题目的第二种情况应该也可以类似做。不过，pk的递推公式可能会涉及4项。

[YWY]

他说你做的第一种情况会是36。

第二种应该比第一种明显更大。如果你的part1的答案42正确（我相信是正确的），那么第二种的答案应该至少大2。

I used your "the expected value is E = 2p(2) + 3p(3) + ... = 42" to calculate it, The number is 42. Great! But this situation fits perfectly to the second case, "2. 平均来说，需要投掷多少次使得这个结果发生，但是不让点数是12 的结果在此之前发生？", but we still need some work for the first case.

刚刚去看了下“第一种”和“第二种”的区别。确实，我做的是第一种的情况（不管之前是否出现和为12的情况）。大家一起把关，希望没有错。

[meiyoumajia]

好吧，那我就验证一下

e-p2-p3
=4 p4 + 5 p5 +...+k p(k) + (k+1 ) p(k+1) + ...
=...+
(k) (5/36* p(k-2) + 30/36 * p(k-1)) +
(k+1) (5/36* p(k-1) + 30/36 * p(k) + ...
= 4*5/36 * p2 +
35/36 * 3*p3 + 40/36 * p3 +
35/36 * 4*p4 + 40/36 * p4 +
...+
35/36 * (k-1) * p(k-1) + (35/36 + 5/36) * p(k-1)
+ ...
=20/36 * p2 + 35/36 * (e - 2*p2) + 40/36 * (1-p2)


e = 36*(2*p2+3*p3) + 20*p2 -70 *p2 + 40 - 40 * p2
= 40 + 108*p3 - 18*p2
=40 + 108*5/216-18*1/36
=40+5/2-1/2
= 42

[YWY]

首先感谢帮助。同时，我把原来的问题捎作改动，你看怎么解决。感谢在先。

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 一直投掷，直到两次点数是7 的结果接连发生。请问，
1. 平均来说，需要投掷多少次使得这个结果发生？
2. 平均来说，需要投掷多少次使得这个结果发生，但是不让点数是12 的结果在此之前发生？

按此设定，第二种情况下，投掷次数的平均值（期望值）应该比第一种情况小。就好比投硬币，如果问“平均来说需要投掷多少次使得正面出现，但是不让反面的结果在此之前发生”，那答案是一次，因为在“不让反面的结果在此之前发生”的条件下，只能出现正面。

回到掷两个骰子的第二种情况，能得到p(2) = (6/35)^2, p(3) = (29/35)(6/35)^2. For n > 3, we have p(n) = (29/35)p(n-1) + (6/35)(29/35)p(n-2). Then we can deduce E = 2p(2) + 3p(3) + ... similarly. The value E in this case should be less than 42.

等大家反馈，别万一我又理解错了。

[YWY]

按此设定，第二种情况下，投掷次数的平均值（期望值）应该比第一种情况小。就好比投硬币，如果问“平均来说需要投掷多少次使得正面出现，但是不让反面的结果在此之前发生”，那答案是一次，因为在“不让反面的结果在此之前发生”的条件下，只能出现正面。

回到掷两个骰子的第二种情况，能得到p(2) = (6/35)^2, p(3) = (29/35)(6/35)^2. For n > 3, we have p(n) = (29/35)p(n-1) + (6/35)(29/35)p(n-2). Then we can deduce E = 2p(2) + 3p(3) + ... similarly. The value E in this case should be less than 42.

等大家反馈，别万一我又理解错了。

根据上面说的思路，我算出第二种情况的期望值E = 1375/36 = 38.19444444，检查了一遍，不保证不出错，请大家把关。在不出现12的条件下，两个骰子的和的选择少了，出现7的概率就变大了，需要投掷的次数的期望值就变小了。好了，我睡觉去了，明天再来看。

[CalCat]

根据上面说的思路，我算出第二种情况的期望值E = 1375/36 = 38.19444444，检查了一遍，不保证不出错，请大家把关。在不出现12的条件下，两个骰子的和的选择少了，出现7的概率就变大了，需要投掷的次数的期望值就变小了。好了，我睡觉去了，明天再来看。

首先非常感谢你的帮助。我按照你的公式计算了数值解，发现E = 2p(2) + 3p(3) + ... =39.826， 这和你的数字有点差错；但是，这个应该不是我所想要的结果，因为我的题目的第二条的意思不明确。现在我把题目再次更新，希望你能有兴趣和时间看看。再次更新如下：

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到 如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 一直投掷，直到下面的两种情况之一发生：
1. 两次点数是7 的结果接连发生；
2. 一次点数是12的结果发生。
请问，平均来说，需要投掷多少次使得上面的结果发生？

[meiyoumajia]

按此设定，第二种情况下，投掷次数的平均值（期望值）应该比第一种情况小。就好比投硬币，如果问“平均来说需要投掷多少次使得正面出现，但是不让反面的结果在此之前发生”，那答案是一次，因为在“不让反面的结果在此之前发生”的条件下，只能出现正面。

回到掷两个骰子的第二种情况，能得到p(2) = (6/35)^2, p(3) = (29/35)(6/35)^2. For n > 3, we have p(n) = (29/35)p(n-1) + (6/35)(29/35)p(n-2). Then we can deduce E = 2p(2) + 3p(3) + ... similarly. The value E in this case should be less than 42.

等大家反馈，别万一我又理解错了。

第二种情况就是楼主主题开篇要说的情况：以第一个12结束（占7/13），或者以第一个7 7 结束（占6/13）。
对应的硬币情况是： 以第一个T （T 或HT）结束，或者以第一个 H H （也就只是全序列是HH）结束。

第一种情况是：只以第一个7 7结束。
可以这样看从第1种情况变为第2种情况：所有的结束序列中的6/13中不含有任何12；7/13至少含有1个12，把第一个12后面的都砍掉。
这样做就去掉了大部分以TT结束的序列。
还是要基于36算，最后
(2p2+3p3+...)/(p2+p3+...)
分母，也就是pk总和，就是6/13

[meiyoumajia]

首先非常感谢你的帮助。我按照你的公式计算了数值解，发现E = 2p(2) + 3p(3) + ... =39.826， 这和你的数字有点差错；但是，这个应该不是我所想要的结果，因为我的题目的第二条的意思不明确。现在我把题目再次更新，希望你能有兴趣和时间看看。再次更新如下：

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到 如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 一直投掷，直到下面的两种情况之一发生：
1. 两次点数是7 的结果接连发生；
2. 一次点数是12的结果发生。
请问，平均来说，需要投掷多少次使得上面的结果发生？

那第二条意思不直接，但还是可以的。
“不让12出现在7 7前”就是碰到12就断投。

pk总和是6/13，不再是1。现在必须用它除那个和。

[meiyoumajia]

你最近定的题目的第二部分比第一部分（也就是你第二次题目中的第二部分）简单。因此主要还是看第一部分。YWY稍微做些调整，用之前的那套方法就可得出。

[meiyoumajia]

、。