找数字

[meiyoumajia]

。

[meiyoumajia]

。

[FGH]

|y^2-2x^2|=1
（1，0）是解，但是对它用n次方的方法推不出来族解
必须对（1，1）用n次方
因此不知道怎样从（1，0）往（1，1）过渡。还有更多的细节差别。见下。


-1也就是原题的情况：
y^2-2x^2 = -1
1 1 （第一个全非零解）
7 5 来源于(1+2_root)^3 = 7+5*2_root

+1也就是对偶问题：
y^2-2x^2 = 1
1 0 （不在系列里的“个例”解，并非全非零，因此不可用在n次方方法上，只有借助对偶问题去找解）
3 2 来源于 (1+2_root)^2 = 3+2*2_root

对a和b在2以下的都找过了。只有(1,0)和（1，1）
因此要做（1，1）怎么必须是（3，2）的过渡，之间没有其它解，而初步推出了那个m形式
然后从这种m的形式，得出下一个为什么必须是m+1形式的过渡（在这种限定下：两者之间没有其它解）。

（1,0）就是(1+\sqrt 2)^0。我是对a+b做归纳，不是对指数。
归纳法不一定是从m推到m+1。也可以是从所有的m以下的结果推出m+1成立。

[YWY]

|y^2-2x^2|=1
（1，0）是解，但是对它用n次方的方法推不出来族解
必须对（1，1）用n次方
因此不知道怎样从（1，0）往（1，1）过渡。还有更多的细节差别。见下。


-1也就是原题的情况：
y^2-2x^2 = -1
1 1 （第一个全非零解）
7 5 来源于(1+2_root)^3 = 7+5*2_root

+1也就是对偶问题：
y^2-2x^2 = 1
1 0 （不在系列里的“个例”解，并非全非零，因此不可用在n次方方法上，只有借助对偶问题去找解）
3 2 来源于 (1+2_root)^2 = 3+2*2_root

对a和b在2以下的都找过了。只有(1,0)和（1，1）
因此要做（1，1）怎么必须是（3，2）的过渡，之间没有其它解，而初步推出了那个m形式
然后从这种m的形式，得出下一个为什么必须是m+1形式的过渡（在这种限定下：两者之间没有其它解）。

|y^2-2x^2|=1当且仅当y + x \sqrt 2等于1 + \sqrt 2的整数次幂（乘以正负1），而（1，0）对应的是1 + \sqrt 2的0次幂。

[meiyoumajia]

。

[FGH]

我知道。但你在建m形式。似乎必须要有那样一个从（m到m+某个整数）的步骤。

（1，1）是m形式，如何推出下一个》〉》〉》距离最近的解《〈《〈《（a，b）是（3，2），也就也是（m+正整数）形式

如果能做出，是否也能做出
普通情况是：（a，b）是m的形式，下一个》〉》〉》〉》距离最近的解《〈《〈《（u，v）必须也是（此m+某个正整数的形式）

为了证明3+2\sqrt 2是（1+\sqrt 2）的次方，我考虑(3+2\sqrt 2)(\sqrt 2-1)=1+\sqrt 2.
后者是1+\sqrt 2 的1次方。所以3+2\sqrt 2=(1+\sqrt 2)^2

[meiyoumajia]

|y^2-2x^2|=1当且仅当y + x \sqrt 2等于1 + \sqrt 2的整数次幂，而（1，0）对应的是1 + \sqrt 2的0次幂。

对。我错了。

但根本还存在：从一个m形式的解n=（a，b）推出》〉》〉与其距离最近的下一个解L=（U，V）〈《〈仍然具有m形式

[YWY]

为了证明3+2\sqrt 2是（1+\sqrt 2）的次方，我考虑(3+2\sqrt 2)(\sqrt 2-1)=1+\sqrt 2.
后者是1+\sqrt 2 的1次方。所以3+2\sqrt 2=(1+\sqrt 2)^2

对。我错了。

但根本还存在：从一个m形式的解n=（a，b）推出》〉》〉与其距离最近的下一个解L=（U，V）〈《〈仍然具有m形式

如FGH所说，假如你有一个比较“大”的解，通过乘以(\sqrt 2-1)，也就是除以1 + \sqrt 2，就得到一个比较“小”的解，通过归纳假设，这个比较“小”的解是1 + \sqrt 2整数次幂，所以比较“大”的解也是1 + \sqrt 2整数次幂。

[meiyoumajia]

。

[meiyoumajia]

。

[meiyoumajia]

。

[FGH]

你这是已经知道了是m形式，反推回去

我需要你正推的》〉》〉可推广〈《〈《〈步骤：

下一个〉》〉最近距离的解〈《〈如何如何

你没有提任何与“下一个最近距离的解”相关的细节，尤其是（对任何解L=（U，V））可推广的细节。

正推当然是乘以1+\sqrt 2。但是这样不能严格证明无遗漏。要证明无遗漏就得反着推。

[meiyoumajia]

。

[YWY]

他开始是从小往大推的。

后来是用那个形式反推回去。如果能从那个族也能反推回去所有的解都在其中，当然也没有问题。但两个方向的推法是应该是完全互通的，难度完全一样，应该可以互逆推导。

那你认不认同通过归纳法可以证明所有解是1 + \sqrt 2整数次幂？不认同的话，你认为哪一步有问题？（严格来说，应该限定x和y都是非负整数解，避免类似对应-1-\sqrt 2的这些解。）

另一个方向是说1 + \sqrt 2整数次幂都是解，这个方向直接验算就行。

[meiyoumajia]

。

[YWY]

我认为极可能是。对这两个方程，应该早有数学结论（有哪位数学专业的冒个泡？）。

而现在要推导的就是这样个结论。

不可以从反方向用这个结论而去“证明”它自己。那样做只是对那个族解是解的自洽性验算，但不是对它们覆盖了全部解的验证。

如FGH所说，假如你有一个比较“大”的解，通过乘以(\sqrt 2-1)，也就是除以1 + \sqrt 2，就得到一个比较“小”的解，通过归纳假设，这个比较“小”的解是1 + \sqrt 2整数次幂，所以比较“大”的解也是1 + \sqrt 2整数次幂。

那上面的通过“大”“小”来做归纳（其实就是FGH方法的一种直观描述），能不能证出你要的结论（所有解都是1 + \sqrt 2整数次幂）？

[meiyoumajia]

不想深究此类问题，虽然还是很有趣。马马虎虎地查了一下。
似乎对此类方程，可能无解。有些方程的无数解似乎都可以用此法算出，然后只给个最小解就可以全部代表了。

[meiyoumajia]

那上面的通过“大”“小”来做归纳（其实就是FGH方法的一种直观描述），能不能证出你要的结论（所有解都是1 + \sqrt 2整数次幂）？

前面已经论述：不能。
根本上其实还应该是m的问题。m可以是任何正整数。

实际没有考虑的是每个m和m+1之间是否有遗漏。无论从正反哪个方向都不可那样归纳或者推导。

[yilou]

通解: for any n, (((1+√2)^2*n+1 + (1-√2)^2*n+1)/2)²-1

可以用alpha算任意数，比如n=10:
https://www.wolframalpha.com/input?i=fo ... 2%29%5E2-1

证明这个应该只需要高中学历。不需要数学专业。文科生也可以：
https://math.stackexchange.com/question ... bb-z-sqrt2

48是一个奇妙的数字：48+1是一个平方数；48/2+1也是一个平方数。

问：有这个性质的数还有吗？如果没有了，证明之。如果还有，再找三个。如果是无穷的，你能证明吗？

[YWY]

我认为极可能是。对这两个方程，应该早有数学结论（有哪位数学专业的冒个泡？）。

而现在要推导的就是这样个结论。

不可以从反方向用这个结论而去“证明”它自己。那样做只是对那个族解是解的自洽性验算，但不是对它们覆盖了全部解的验证。

没有任何高深的地方。实二次域的单位群是一个rank one的自由Abel群，每个单位都是a^n或-a^n.这里a是基本单位(即大于1的单位中最小的).

这可能就是你想要的“早有数学结论”。