新未名空间

FoxMe 写了： 2023年 9月 19日 10:07 我也是在学。L函数是关键，有很多种。比如伽罗瓦数域的L函数怎么定义？

https://en.wikipedia.org/wiki/Artin_L-f ... Definition

如果伽罗瓦群可换，那么伽罗瓦群有一维表示，乘起来就行了；
如果伽罗瓦群不可换，那么就要用到伽罗瓦群的表示理论。

不错。伽罗瓦群也到处出现。尤其是代数几何中，代数方程的系数是一个域，再考虑域扩展的时候，伽罗瓦群就出现了。

TheMatrix 写了： 2023年 9月 18日 21:14 这里确实很丰富，互相之间的关系太多了。好多关系我没搞清楚：
椭圆曲线
椭圆函数
modular form
modular function
modular group
modular curve
L-function
Galois representation

看了点wiki和一些本科毕业综述，一鳞半爪的就这些了，再往深就得看graduate text了。

椭圆曲线短形式：y² = x³ + ax + b

二元三次方程，应该都可以有理变换成这个形式。我看到Weierstrass一般型是这样的：
y²+a₁xy+a₃y = x³+a₂x²+a₄x+a₆

椭圆函数，是指双周期复变函数。其周期，很自然有一个lattice。应该是所有椭圆函数都可以通过Eisenstein级数的形式定义吧？

有lattice就有modular group，因为modular group是保格的。modular group是(a b; c d)形式的整数2X2矩阵。det=1。

modular form是双周期函数的一种扩展。modular我理解为模块化，代数中的module我觉得也可以这么理解。modular form是一个函数，这一块和那一块之间有关系，不是相等但是有关系。以块为单位，这就又出现lattice了，也出现modular group了。modular group作用在modular form上。

然后还有个modular function，好像用到的不多。和modular form很像。和椭圆函数也很像，是不是就是同一个？都是modular group可以作用在上面，而且作用之后不变。椭圆函数也可以被modular group作用吧？作用之后也不变？但是因为作用后不变，就不可能没有pole，所以是meromorphic。

modular curve有点高深了。我也没搞懂。好像几个地方说的也不太一样。有一种说法好像是：an elliptic curve that is modular，也就是可以从一个modular form以某种方式搞出来的。还有一种说法好像是：a moduli space that itself is a curve。这都是印象。没搞明白。

Elliptic curve可以搞出L-函数。用到F_p系数reduction，然后数解的个数a_p。把全部的a_p以Euler乘积的形式乘起来，就是L-函数的乘积形式。L-函数是一种拆散再重组的方式，和傅里叶变换有点类似，但是比傅里叶变换“高级”。

Elliptic curve里也有Galois representation。这个我不知道怎么搞出来的。

"modular curve有点高深了。我也没搞懂。好像几个地方说的也不太一样。有一种说法好像是：an elliptic curve that is modular，也就是可以从一个modular form以某种方式搞出来的。还有一种说法好像是：a moduli space that itself is a curve。这都是印象。没搞明白。"

modular curve不是普通的椭圆曲线；a moduli space that itself is a curve是正确的定义。说an elliptic curve that is modular也没问题。它给出了所有的椭圆曲线。

“然后还有个modular function，好像用到的不多。和modular form很像。和椭圆函数也很像，是不是就是同一个？”

椭圆函数和modular function是两回事。

"Elliptic curve里也有Galois representation。这个我不知道怎么搞出来的。"

看了一下，椭圆曲线可以用来研究伽罗瓦群。考虑曲线E的torsion points E[n]，可以证明它们是代数数。那么Q(E[n])是一个代数数域K，它的伽罗瓦群G作用在E[n]上。因为E[n]的结构非常简单，容易得到G的表示。

但是不明白为啥要这样舍近求远研究伽罗瓦群。

FoxMe 写了： 2023年 9月 20日 16:13 "Elliptic curve里也有Galois representation。这个我不知道怎么搞出来的。"

看了一下，椭圆曲线可以用来研究伽罗瓦群。考虑曲线E的torsion points E[n]，可以证明它们是代数数。那么Q(E[n])是一个代数数域K，它的伽罗瓦群G作用在E[n]上。因为E[n]的结构非常简单，容易得到G的表示。

但是不明白为啥要这样舍近求远研究伽罗瓦群。

关于torsion points我有一个疑问需要确认一下。比如一个有理系数椭圆曲线，E(Q) - 这里也有个疑问 - 也可以把它看成复数系数椭圆曲线，所以它也是 E(C)。考虑E(C)中的n-torsion points，这叫E[n]，它们是代数数。是这样吗？其实这些点并不在E(Q)之中，因为它们不在Q中，而在Q的扩域之中。对吗？

还有一个疑问是：E(Q)既指(1)椭圆曲线的有理点集，而且(2)定义曲线的方程必须是有理数系数。这里(2)是必须的吗？还是自动成立的？还是不需要这个条件？

>考虑E(C)中的n-torsion points，这叫E[n]，它们是代数数。是这样吗？其实这些点并不在E(Q)之中，因为它们不在Q中，而在Q的扩域之中。对吗？

是的。

>还有一个疑问是：E(Q)既指(1)椭圆曲线的有理点集，而且(2)定义曲线的方程必须是有理数系数。这里(2)是必须的吗？还是自动成立的？还是不需要这个条件？

应该是必须的。给定域K，E(K)的方程的系数也在K中。否则不能保证E(K)的点在K中。