关于椭圆曲线，听说这本书不错

[FoxMe]

supersingular是这样定义的：

Theorem 3.1. ([60]) Let K be a field of characteristic p, and let E/K be an elliptic curve. For each integer r ≥ 1, let
φ r : E − → E ( p r ) a n d φˆ r : E ( p r ) − → E be the pr-power Frobenius map and its dual.
(a) The following are equivalent.
(i) E[pr]=0forone(all)r≥1.
(ii) φˆr is (purely) inseparable for one (all) r ≥ 1.
(iii) The map [p] : E → E is purely inseparable and j(E) ∈ Fp2 .
(iv) End(E) is an order in a quaternion algebra.
(v) The formal group Eˆ/K associated to E has height 2. (See (IV §7).)

有的书上直接用(iv)作为定义。怎么推出|E(F_p)|=p+1？还要费点功夫：

a ≡ 0 (mod p) ⇐⇒ E is supersingular

如果K就是F_p，那么a=0.

我手边现在没有这本书，但我猜测这是在谈论supersingular reduction。“so it is nonsingular” 意思是说作为一条椭圆曲线，首先globally它是non-singular的。对于一个素数p, 一条椭圆曲线E/Q 的mod p reduction是supersingular的if |E(F_p)|=p+1或者说，这条曲线的L-function对应的系数a_p=0. Noam Elkies在1987年证明了，对于任何一条给定的E/Q, it has infinitely many supersingular primes.

[TheMatrix]

弄懂了，很简单： 因为P1, ..., Pn 和 support of D不相交. 把n-d个零点减掉对(f)+D≥0没有任何影响，所以f ∈ L(D′)。

据说代数几何码是史上最强的码，比5G编码还厉害，可是没人用，估计是复杂度太高。

Divisor的support是怎么定义的？

[FoxMe]

如果D=n_1 P_1 + n_2 P_2 + n_3 P_3 +..., support就是这些点P_1, P_2, P_3,...

[TheMatrix]

如果D=n_1 P_1 + n_2 P_2 + n_3 P_3 +..., support就是这些点P_1, P_2, P_3,...

哦。那不在D support里，不就是不在这些点里吗？

[FoxMe]

对

[FoxMe]

"K ̄-vector space generated by symbols of the form dx"

这里指的是形如 a₁dx + a₂dy + a₃dz + ...
还是a₁dx + a₂(dx)² + a₃(dx)³ + ...

我学过一些微分几何，differential的概念比较熟悉。

它这里是想做纯代数处理，所以说dx是一个symbol。对每一个函数x，（这里的x是任意函数，不是coordinate的那个x），都有一个dx symbol，然后做K ̄-vector space，这是free扩展。然后商去三个关系。第二个关系是微分关系。这里好像是有点问题：x能乘以dy，确实需要解释一下怎么乘。

[FoxMe]

divisor = n₁p₁ + n₂p₂ + ...
类似于
ideal = p1ⁿ¹ p2ⁿ² ...
divisor class group 类似于ideal class group

[FoxMe]

modular curve的定义，但是看不出来为啥quotient是条曲线：

[TheMatrix]

"K ̄-vector space generated by symbols of the form dx"

这里指的是形如 a₁dx + a₂dy + a₃dz + ...
还是a₁dx + a₂(dx)² + a₃(dx)³ + ...

是第一种。

它这里是一维的，因为是在curve上，所以不需要dx的高次方。

但是它用到了fdx这种形式，在第二个条件里，这个不是scalar乘法。所以我觉得他用scalar线性空间的方式还说明不了整个构造。必须要指出一个函数f怎么乘以dx。

还有一种可能：他是想说K^-(C)-vector space generated by symbols of the form dx。也就是系数不是scalar，而是函数。这样的话，那三个条件我不知道够不够。

[FoxMe]

CM椭圆曲线的定义很奇怪：

Definition. Let C be an elliptic curve. We say that C has complex multipli- cation, or CM for short, if there is an endomorphism φ : C → C that is not a multiplication-by-n map.

不能叫定义，只是性质。如果不是CM, then endomorphism ring is isomorphic to Z. 如果是CM, then the endomorphism ring of C is strictly larger than Z.

It is only for a very special class of elliptic curves, called elliptic curves with complex multiplication, that we get abelian Galois groups Gal(Q(C[n])/Q).

[TheMatrix]

到目前为止，GTM这本书看到第三章一半，UTM看了第一章和appendix。GTM这本书前两章是基础知识，第三章开始讲椭圆曲线，相当于UTM的第一章。

先列一些概念结构在这里：
- variety - zero set
- projective
- functions on variety - coordinate ring
- maps between varieties - rational map
- curve - cubic curve - elliptic curve
- Weierstrass equation - group law - j-invariant
- order - zero/pole
- divsor - Riemann-Roch - genus

[TheMatrix]

到目前为止，GTM这本书看到第三章一半，UTM看了第一章和appendix。GTM这本书前两章是基础知识，第三章开始讲椭圆曲线，相当于UTM的第一章。

先列一些概念结构在这里：
- variety - zero set
- projective
- functions on variety - coordinate ring
- maps between varieties - rational map
- curve - cubic curve - elliptic curve
- Weierstrass equation - group law - j-invariant
- order - zero/pole
- divsor - Riemann-Roch - genus

首先咱们研究的这个东西（椭圆曲线）在整个数学大厦的什么位置？把这个位置放上去了，这就是它的意义。把位置放好了，就有了参考系，周边往哪走就有了方向，不是两眼一抹黑了。这是数学研究的一个总的特点。

首先咱们研究的这个东西，是一个方程的zero set，而且是一个代数方程的zero set。代数方程就是只能有加法和乘法，没有sin，cos，exp，log这些。只有加法和乘法已经很不容易了 - 因为有逆问题。

5³+3*5+1=141，这很容易，但是如果问x³+3x+1=141，那就难了。还可以问二元的逆问题：x³+y*x+1=141，相当相当难了。还可以问三元的逆问题：x³+y*x+z⁴=141，难透了。

[TheMatrix]

首先咱们研究的这个东西（椭圆曲线）在整个数学大厦的什么位置？把这个位置放上去了，这就是它的意义。把位置放好了，就有了参考系，周边往哪走就有了方向，不是两眼一抹黑了。这是数学研究的一个总的特点。

首先咱们研究的这个东西，是一个方程的zero set，而且是一个代数方程的zero set。代数方程就是只能有加法和乘法，没有sin，cos，exp，log这些。只有加法和乘法已经很不容易了 - 因为有逆问题。

5³+3*5+1=141，这很容易，但是如果问x³+3x+1=141，那就难了。还可以问二元的逆问题：x³+y*x+1=141，相当相当难了。还可以问三元的逆问题：x³+y*x+z⁴=141，难透了。

基本上，一个代数方程的zero set就叫一个variety，更准确说是一个polynomial的zero set - 因为一个代数方程就是一个polynomial 等于0。这要除去那些能分解因式的polynomial，因为如果能分解因式的，就会变成两个独立的代数方程。

比如 y²-(x-1)(x-2)(x-3)，它的zero set就是 y²=(x-1)(x-2)(x-3)。这个polynomial就不能分解因式，它的zero set - 是一条曲线 - 就是一个variety。



从这个曲线来看，它明显有两部分嘛。能不能一部分一部分研究？不能。因为没有任何代数曲线能给出只有一部分的图像。

[TheMatrix]

基本上，一个代数方程的zero set就叫一个variety，更准确说是一个polynomial的zero set - 因为一个代数方程就是一个polynomial 等于0。这要除去那些能分解因式的polynomial，因为如果能分解因式的，就会变成两个独立的代数方程。

比如 y²-(x-1)(x-2)(x-3)，它的zero set就是 y²=(x-1)(x-2)(x-3)。这个polynomial就不能分解因式，它的zero set - 是一条曲线 - 就是一个variety。



从这个曲线来看，它明显有两部分嘛。能不能一部分一部分研究？不能。因为没有任何代数曲线能给出只有一部分的图像。

variety也可以由方程组给出，或者说几个polynomial的共同零点。比如刚才那个y²=(x-1)(x-2)(x-3)。也可以由几个方程给出：

y²=(x-z)(x-2)(x-3)
z²+z=2

或者更多：
y²=(x-z)(x-w)(x-3)
z²+w²=5
z+w³=9

也就增加变量的数量，二元的，三元的，四元的，同时增加方程的数目。

调整polynomial的元数，同时调整方程的数目，就会得到不同维度的variety。比如一维的variety，可以由二元polynomial一个方程给出，也可以由三元polynomial两个方程给出。二维的variety，可以由三元polynomial一个方程给出，也可以由四元polynomial两个方程给出。。。

一维variety，就被定义为一个curve。

[FoxMe]

我觉得椭圆曲线在数论和代数几何的结合部。

代数数论，只需要一元多项式；但是也需要椭圆曲线，比如费马大定理的证明用到modularity theorem（是否必要，我不知道）。当然数论里研究丢番图方程，需要多元多项式。

代数几何，研究的是多元多项式；最简单的非平凡多元多项式是椭圆曲线。椭圆曲线是一个最基本的例子。

所以椭圆曲线是连接数论，代数，几何，分析的一座桥梁，Langlands program的起点。

首先咱们研究的这个东西（椭圆曲线）在整个数学大厦的什么位置？把这个位置放上去了，这就是它的意义。把位置放好了，就有了参考系，周边往哪走就有了方向，不是两眼一抹黑了。这是数学研究的一个总的特点。

[FoxMe]

有意思。

从这个曲线来看，它明显有两部分嘛。能不能一部分一部分研究？不能。因为没有任何代数曲线能给出只有一部分的图像。

[FoxMe]

我有两个概念没弄懂：Complex multiplication (CM)和pairing。

CM椭圆曲线和CM数域有啥关系？CM的概念似乎是从椭圆曲线中来的。

CM椭圆曲线的定义很奇怪：

Definition. Let C be an elliptic curve. We say that C has complex multipli- cation, or CM for short, if there is an endomorphism φ : C → C that is not a multiplication-by-n map.

不能叫定义，只是性质。如果不是CM, then endomorphism ring is isomorphic to Z. 如果是CM, then the endomorphism ring of C is strictly larger than Z.

It is only for a very special class of elliptic curves, called elliptic curves with complex multiplication, that we get abelian Galois groups Gal(Q(C[n])/Q).

[TheMatrix]

我觉得椭圆曲线在数论和代数几何的结合部。

代数数论，只需要一元多项式；但是也需要椭圆曲线，比如费马大定理的证明用到modularity theorem（是否必要，我不知道）。当然数论里研究丢番图方程，需要多元多项式。

代数几何，研究的是多元多项式；最简单的非平凡多元多项式是椭圆曲线。椭圆曲线是一个最基本的例子。

所以椭圆曲线是连接数论，代数，几何，分析的一座桥梁，Langlands program的起点。

你这个是比较高级的摆放位置。我那个是比较基础的。摆放位置也不是一个描述就能说完整的。从代数方程的角度看。。。从几何的角度看。。。从复分析的角度看。。。一点一点往上加，搭界的东西越来越多，就逐渐到你那个描述了。

[TheMatrix]

我有两个概念没弄懂：Complex multiplication (CM)和pairing。

CM椭圆曲线和CM数域有啥关系？CM的概念似乎是从椭圆曲线中来的。

complex multiplication我以前看过wiki。这个概念在UTM那本书的最后一章，看到后我们再讨论。

[TheMatrix]

variety也可以由方程组给出，或者说几个polynomial的共同零点。比如刚才那个y²=(x-1)(x-2)(x-3)。也可以由几个方程给出：

y²=(x-z)(x-2)(x-3)
z²+z=2

或者更多：
y²=(x-z)(x-w)(x-3)
z²+w²=5
z+w³=9

也就增加变量的数量，二元的，三元的，四元的，同时增加方程的数目。

调整polynomial的元数，同时调整方程的数目，就会得到不同维度的variety。比如一维的variety，可以由二元polynomial一个方程给出，也可以由三元polynomial两个方程给出。二维的variety，可以由三元polynomial一个方程给出，也可以由四元polynomial两个方程给出。。。

一维variety，就被定义为一个curve。

搭界的东西越来越多，所以就有不同方向的研究 - well，都是研究明白的了 - 也就有不同的展开方式。

直奔主题的话，定义来了：三次方程给出的curve就叫椭圆曲线。注意，叫curve的话，必须首先已经是一个variety，也就是已经是一个方程（组）的zero set。