复变函数为什么跟实变函数完全不同

[FGH]

复变函数是以复数为变量的函数，实变函数是以函数为变量的函数。

以函数为变量做研究的是泛函分析吧。

[FGH]

是因为我们研究的复变函数，都是解析函数，holomorphic，或者meromorphic，也就是能级数展开的。它们实际上是polynomial的外推，离polynomial并不远，具有polynomial的大部分性质 - 比如定下几个点就可以完全决定该polynomial。它们和代数几何的研究对象更接近 - 也是polynomial。而实变函数，离polynomial比较远。

字面意义的实变函数就是微积分。实际上的实变函数是实数上的测度论。

[TheMatrix]

字面意义的实变函数就是微积分。实际上的实变函数是实数上的测度论。

测度论其实也是为黎曼积分找出路。

[FGH]

测度论其实也是为黎曼积分找出路。

黎曼积分不是微积分的内容吗？

[TheMatrix]

黎曼积分不是微积分的内容吗？

是。所以测度论还是微积分。

[FGH]

是。所以测度论还是微积分。

高级一些吧。再说测度论也可以不在实数上。

[nk]

字面意义的实变函数就是微积分。实际上的实变函数是实数上的测度论。

"实数上的测度论" 的引入 是给 "勒贝格积分" 服务的。

[nk]

高级一些吧。再说测度论也可以不在实数上。

确实这样的，测度论用在概率上就是用在非常抽象的集合上。由于测度论的引用，使得概率的很多概念可以在一个框架下讨论，否者老是要讨论离散分布，连续分布，甚至是混合分布的不同情形。

[nk]

勒贝格积分，初学者或不懂者往往觉得很神秘。其实说穿了也不难，打个比方：

黎曼积分好比用砖垂直一列一列地砌墙，这样砌墙是不稳定的，能砌的墙种类少；
勒贝格积分好比用砖水平一行一行地砌墙，这样砌墙是稳定的，能砌的墙种类多。

勒贝格积分最厉害的我感觉是dominated convergence，初等微积分不具备的。这个比方是我自己想出来的（至少我没看到过），刚好对应于积分步骤，比有个法国人用买东西付钱的比方好。

尼玛是勒贝格自己讲的：

https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_ ... troduction

Lebesgue summarized his approach to integration in a letter to Paul Montel:

I have to pay a certain sum, which I have collected in my pocket. I take the bills and coins out of my pocket and give them to the creditor in the order I find them until I have reached the total sum. This is the Riemann integral. But I can proceed differently. After I have taken all the money out of my pocket I order the bills and coins according to identical values and then I pay the several heaps one after the other to the creditor. This is my integral.

以前网上有人对勒贝格顶礼膜拜，我看泥水匠也能达到他的水平。

这个肯定是砌墙的描述更形象，完美地表示了从x-轴积分和从y-轴积分的差别。

但那个横着砌墙比竖着砌墙更稳定就是似是而非了。横着砌墙稳定是因为重力的关系。从y-轴积分能解决更多的函数积分问题在于对于积分的收敛性能够更好地控制，因为积分值同y-轴联系更紧密，而同x-轴更远了一些。

[FoxMe]

所以说是个比方。

[randomatrices]

代数才是最机械化的吧？ 不是有所谓computer algebra system吗?
所谓美感应该和人的直觉，非理性思维相关。
分析是最深刻的，最远离直觉的， 底层必需和哲学相联，有些证明不了的无法证明的就丢给哲学了。
几何应该是最有美感的， 因为诉诸于直觉

一般数学分析的东西都比较机械，没有代数更有美感。

但数学分析的这两个东西就是非常的美
1. 解析函数。其中的留数理论简直是太神奇了。
2. 勒贝格积分。把积分从x-轴换成y-轴 来计算就是开阔了一个新天地。

复数确实神奇，多项式因式在复数里分解中总是能做到一次项的乘积。复数矩阵中Hermitian matrix 总是可以对角化。当然这两个结论是代数结果。

[nk]

代数才是最机械化的吧？ 不是有所谓computer algebra system吗?
所谓美感应该和人的直觉，非理性思维相关。
分析是最深刻的，最远离直觉的， 底层必需和哲学相联，有些证明不了的无法证明的就丢给哲学了。
几何应该是最有美感的， 因为诉诸于直觉

不同的人对不同学科的感觉有可能不一样的。

computer algebra system 虽然只有代数在名字里面，其实是在符号计算，包括了链式法则、不定积分和求导算法，这些都是微积分领域的。

我认同几何比代数和分析更美。

[nk]

我在前面讨论的是对应于微积分的代数，不是初等代数。指的是高等代数和近世代数。矩阵理论的很多结果的证明总是觉得“山重水复疑无路，柳暗花明又一村” 的感觉。还有近世代数的群环域的那一套东西觉得是非常有意思的，这个同初等几何的建立公理系统有一些的类似。

[princeton]

"实数上的测度论" 的引入 是给 "勒贝格积分" 服务的。

都是因研究三角级数的收敛性而产生的

[rgg]

代数才是最机械化的吧？ 不是有所谓computer algebra system吗?
所谓美感应该和人的直觉，非理性思维相关。
分析是最深刻的，最远离直觉的， 底层必需和哲学相联，有些证明不了的无法证明的就丢给哲学了。
几何应该是最有美感的， 因为诉诸于直觉

哪个深刻可能是个人体验，但我觉得代数结构带来的结论更多更深刻。例如本科学量子力学全是解微分方程算高斯积分，但后来发现结论全都是背后的代数带来的。

[randomatrices]

Sage 是近世代数的软件系统。

不同的人对不同学科的感觉有可能不一样的。

computer algebra system 虽然只有代数在名字里面，其实是在符号计算，包括了链式法则、不定积分和求导算法，这些都是微积分领域的。

我认同几何比代数和分析更美。

[randomatrices]

伽罗华理论是代数里最优美的吧， 群环域都涉及了。
矩阵理论的美还没怎么get到。

我在前面讨论的是对应于微积分的代数，不是初等代数。指的是高等代数和近世代数。矩阵理论的很多结果的证明总是觉得“山重水复疑无路，柳暗花明又一村” 的感觉。还有近世代数的群环域的那一套东西觉得是非常有意思的，这个同初等几何的建立公理系统有一些的类似。

[randomatrices]

有些深刻的概念是因为没有直觉上的理解。
彭罗斯举例说：比如什么是分数， 如 8分之3是什么， 你可以给个严格深刻的定义说，8分之3是一个 equivalent class, 包含所有的（无数个）这样的自然数对（8，3）， （16，6），。。。， 但是如果你对分数有了直觉上的理解， 你不会在每次用到操作8分之3时都会想到那些无数个自然数对。数学中有很多深刻抽象的概念都如是。我觉得他说得很有道理。

哪个深刻可能是个人体验，但我觉得代数结构带来的结论更多更深刻。例如本科学量子力学全是解微分方程算高斯积分，但后来发现结论全都是背后的代数带来的。

[nk]

有些深刻的概念是因为没有直觉上的理解。
彭罗斯举例说：比如什么是分数， 如 8分之3是什么， 你可以给个严格深刻的定义说，8分之3是一个 equivalent class, 包含所有的（无数个）这样的自然数对（8，3）， （16，6），。。。， 但是如果你对分数有了直觉上的理解， 你不会在每次用到操作8分之3时都会想到那些无数个自然数对。数学中有很多深刻抽象的概念都如是。我觉得他说得很有道理。

我还以为彭罗斯是谁，原来是 Penrose 哈。 不同人对同一个人名字的认识的角度也是不一样的。

数学的东西肯定先从一些特例来直观的，具体的理解，然后再抽象，以方便找出统一的规律。

[nk]

Sage 是近世代数的软件系统。

Sage是保罗万象，”it covering many aspects of mathematics, including algebra, combinatorics, graph theory, numerical analysis, number theory, calculus and statistics.“

其实后来看了这个 Algebra 这个词的含义。它的原始定义是 ”Algebra is the study of variables and the rules for manipulating these variables in formulas;it is a unifying thread of almost all of mathematics.“

可能computer algebra system (CAS) 的 ”algebra“ 用的就是这个意思。也就好理解这个就是和 符号运算 的意思差不多的，也好理解它也包括微积分领域的 链式法则、不定积分和求导算法，和其他数学领域的对数学公式的推演。