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laodongzhe18 写了： 2023年 10月 3日 07:42 复变函数是以复数为变量的函数，实变函数是以函数为变量的函数。

TheMatrix 写了： 2023年 10月 2日 09:21 是因为我们研究的复变函数，都是解析函数，holomorphic，或者meromorphic，也就是能级数展开的。它们实际上是polynomial的外推，离polynomial并不远，具有polynomial的大部分性质 - 比如定下几个点就可以完全决定该polynomial。它们和代数几何的研究对象更接近 - 也是polynomial。而实变函数，离polynomial比较远。

FGH 写了： 2023年 10月 3日 12:33 字面意义的实变函数就是微积分。实际上的实变函数是实数上的测度论。

TheMatrix 写了： 2023年 10月 3日 12:43 测度论其实也是为黎曼积分找出路。

FGH 写了： 2023年 10月 3日 12:44 黎曼积分不是微积分的内容吗？

TheMatrix 写了： 2023年 10月 3日 12:47 是。所以测度论还是微积分。

FGH 写了： 2023年 10月 3日 12:33 字面意义的实变函数就是微积分。实际上的实变函数是实数上的测度论。

FGH 写了： 2023年 10月 3日 12:48 高级一些吧。再说测度论也可以不在实数上。

FoxMe 写了： 2023年 10月 2日 15:54 勒贝格积分，初学者或不懂者往往觉得很神秘。其实说穿了也不难，打个比方：

黎曼积分好比用砖垂直一列一列地砌墙，这样砌墙是不稳定的，能砌的墙种类少；
勒贝格积分好比用砖水平一行一行地砌墙，这样砌墙是稳定的，能砌的墙种类多。

勒贝格积分最厉害的我感觉是dominated convergence，初等微积分不具备的。这个比方是我自己想出来的（至少我没看到过），刚好对应于积分步骤，比有个法国人用买东西付钱的比方好。

FoxMe 写了： 2023年 10月 2日 16:49 尼玛是勒贝格自己讲的：

https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_ ... troduction

Lebesgue summarized his approach to integration in a letter to Paul Montel:

I have to pay a certain sum, which I have collected in my pocket. I take the bills and coins out of my pocket and give them to the creditor in the order I find them until I have reached the total sum. This is the Riemann integral. But I can proceed differently. After I have taken all the money out of my pocket I order the bills and coins according to identical values and then I pay the several heaps one after the other to the creditor. This is my integral.

以前网上有人对勒贝格顶礼膜拜，我看泥水匠也能达到他的水平。

newkids_on_the_block 写了： 2023年 10月 2日 10:12 一般数学分析的东西都比较机械，没有代数更有美感。

但数学分析的这两个东西就是非常的美
1. 解析函数。其中的留数理论简直是太神奇了。
2. 勒贝格积分。把积分从x-轴换成y-轴 来计算就是开阔了一个新天地。

复数确实神奇，多项式因式在复数里分解中总是能做到一次项的乘积。复数矩阵中Hermitian matrix 总是可以对角化。当然这两个结论是代数结果。

randomatrices 写了： 2023年 10月 3日 18:59 代数才是最机械化的吧？ 不是有所谓computer algebra system吗?
所谓美感应该和人的直觉，非理性思维相关。
分析是最深刻的，最远离直觉的， 底层必需和哲学相联，有些证明不了的无法证明的就丢给哲学了。
几何应该是最有美感的， 因为诉诸于直觉

newkids_on_the_block 写了： 2023年 10月 3日 14:25 "实数上的测度论" 的引入 是给 "勒贝格积分" 服务的。

randomatrices 写了： 2023年 10月 3日 18:59 代数才是最机械化的吧？ 不是有所谓computer algebra system吗?
所谓美感应该和人的直觉，非理性思维相关。
分析是最深刻的，最远离直觉的， 底层必需和哲学相联，有些证明不了的无法证明的就丢给哲学了。
几何应该是最有美感的， 因为诉诸于直觉

newkids_on_the_block 写了： 2023年 10月 3日 20:34 不同的人对不同学科的感觉有可能不一样的。

computer algebra system 虽然只有代数在名字里面，其实是在符号计算，包括了链式法则、不定积分和求导算法，这些都是微积分领域的。

我认同几何比代数和分析更美。

newkids_on_the_block 写了： 2023年 10月 3日 21:06 我在前面讨论的是对应于微积分的代数，不是初等代数。指的是高等代数和近世代数。矩阵理论的很多结果的证明总是觉得“山重水复疑无路，柳暗花明又一村” 的感觉。还有近世代数的群环域的那一套东西觉得是非常有意思的，这个同初等几何的建立公理系统有一些的类似。

rgg 写了： 2023年 10月 3日 23:02 哪个深刻可能是个人体验，但我觉得代数结构带来的结论更多更深刻。例如本科学量子力学全是解微分方程算高斯积分，但后来发现结论全都是背后的代数带来的。

randomatrices 写了： 2023年 10月 4日 08:50 有些深刻的概念是因为没有直觉上的理解。
彭罗斯举例说：比如什么是分数， 如 8分之3是什么， 你可以给个严格深刻的定义说，8分之3是一个 equivalent class, 包含所有的（无数个）这样的自然数对（8，3）， （16，6），。。。， 但是如果你对分数有了直觉上的理解， 你不会在每次用到操作8分之3时都会想到那些无数个自然数对。数学中有很多深刻抽象的概念都如是。我觉得他说得很有道理。

randomatrices 写了： 2023年 10月 4日 08:30 Sage 是近世代数的软件系统。