拉格朗日和哈密尔顿力学的本质

[forecasting]

我来试着写个三分钟的：
首先是个纯数学事实：（a) 假如你有一个式子L依赖于一个函数f，这个函数的一阶导f'，和这个函数的自变量x，f的边界值固定已知，那么如果要求 L对x在边界内积分取得极值的话， L对f和f'的偏微分必须满足一个方程。 叫做欧拉拉格朗日方程。

(b) 现在加上物理， 如果f是物体的时空轨迹，自变量x是时间， 如果L取到特殊的形式（给个名字拉格朗日量）， 那么给L对时间的积分也取个名字叫做作用量S，那么物理学家相信S对真实的物理轨迹取到最小值。 这个信念加上适当选取L， 带入前面的欧拉拉格朗日方程，可以发现和牛顿力学兼容。这就是拉格朗日力学了。

(c) 再到哈密顿力学， 上面的L自变量是f, f', t, 对L做勒让德变换，H( dL/df', f,t) = T(L)叫做哈密顿量,欧拉拉格朗日方程改写为H的一阶偏微分方程就是哈密顿方程。

我学的久了也忘了，现在理解这三部分只有b是物理。(c)作为一个纯数学变换似乎说明哈密顿力学只是一个便捷形式，不是独立的力学原理，背后还是最小做用量的假设。

再补充一句， 我粗浅的理解是拉格朗日力学(b)是不能由牛顿力学推出的，只能说两者相容。它的假设比牛顿力学更大胆，范围更广。 相对论（对t积分换成对固有时积分），量子力学（路径积分）统统适用。

这么写，懂的都懂，不懂的还是不懂。学过而且数学基础好的觉得综述得好，没学过即使数学基础好，也半懂不懂。

[forecasting]

当你站在更高的高度，就能抛弃各种琐碎的细节，看到物理（或是说数学）的全貌

牛顿力学是以力为观测点，这也正常，因为牛顿时代能直觉认识的也只有力了

后来才认识到相空间中的能量曲面个也包含物体运动的一切信息(拉氏哈氏）

由于能量曲面（或者说能量流形）永远是个凸曲面，这样我们才能用legendre变换更换等效坐标

记住，凡是能用legendre变换的，必定是凸函数（学数学的可以找本凸分析看看）

所以很久前我说过，这物理世界，本质上就是个凸函数

好了，什么是拉氏哈氏？区别联系是什么？其实很简单

拉氏是定义在能量曲面（流形）切面（tangent）上的矢量丛（vector bundle）

哈氏是定义在能量曲面（流形）余切面（cotangent）上的矢量丛（vector bundle）

两者通过legendre变换联系起来。

在切面或者余切面上可以定义lie algebra，这样vector bundle才有了动力学

用Symplectic geometry写，就几句话，何必唠唠叨叨? 问题是有几个人懂辛几何。
btw：力不是直觉认识，它是个虚构的东西，完全可以去除。

[FoxMe]

这是剑桥大学Mathematical Tripos，以前要考椭圆函数的。

严肃一点儿的： David Tong:
https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/teaching.html

[FoxMe]

哈密顿量，出现在量子力学的薛定谔方程里。哈密顿量的另一个应用叫Hamiltonian Monte Carlo

https://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_Monte_Carlo

这个抽样技术非常厉害。

[FoxMe]

哈密顿方程看起来跟复变函数里的柯西-黎曼方程很像，有没有什么联系？

[TheMatrix]

宏观物体力比较容易想象，如果作用对象是波函数，量子场，力则不好想象

量子力学本质上是个场论。即使是单电子量子力学，也是场论 - 波函数场。它里面形式上就不出现力这个量。确实只能用拉格朗日和哈密顿力学。

[TheMatrix]

哈密顿方程看起来跟复变函数里的柯西-黎曼方程很像，有没有什么联系？

哈密顿方程是什么？薛定谔方程？

[弃婴千枝]

用Symplectic geometry写，就几句话，何必唠唠叨叨? 问题是有几个人懂辛几何。
btw：力不是直觉认识，它是个虚构的东西，完全可以去除。

拉格浪日也是辛几何？？？？

[FoxMe]

哈密顿方程
dq/dt = dH/dp
dp/dt = -dH/dq

柯西-黎曼
du/dx = dv/dy
du/dy = -dv/dx

哈密顿方程是什么？薛定谔方程？

[TheMatrix]

哈密顿方程
dq/dt = dH/dp
dp/dt = -dH/dq

柯西-黎曼
du/dx = dv/dy
du/dy = -dv/dx

哦。这应该和辛几何有关。复平面有辛结构。好像。

[forecasting]

弃婴，TheMatrix等人继续刷。