出个和黎曼猜想相关的题

[TheMatrix]

所以首先要问n²+1中有没有无穷多的prime。据说这也是open problem。

结果几乎是肯定的。就差一个证明。:)

[TheMatrix]

所以n^x级数必须想办法一定程度把级数分开 - 不要糊在一起。

可以聚类，一簇一簇的。。。不知道怎么聚。

Dirichlet character，是不是某种程度上也是把n^x级数分开的方法？Dirichlet character，可以看成是把自然数集合分成m份：Z/mZ，以每一份为单元研究，arithmetic progression。但是linear progression还是有n^x级数的毛病 - 就是当n大的时候很多项都糊在一起。所以可能要研究quadratic progression，这样会分得更开一些。

还要研究什么是quadratic character。

[TheMatrix]

还要研究什么是quadratic character。

二次稀疏的系数也不行。因为比如一个系数 Σ a_nn^x，with a_n²=1，0 otherwise，那就相当于 Σ n^2x。当n大的时候，级数还是糊在一起。

[TheMatrix]

这回3个放在一起比较一下，指数上加一个 i 变成纯角度：
1，Σ xⁿ = Σ e^{i n ln(x)}
2，Σ n^x = Σ e^{i x ln(n)}
3，Σ e^{i n x}

一个“好”的级数，component单元随级数的变化量，也就是 n，的变化，必须要清楚可分离，discrete的程度越高越好，互相之间形成某种程度的“正交”，这样才容易考虑某单元上的分量。

从这个角度看的话，
1，幂级数旋转角度的变化是n的线性量。
2，n^x级数的旋转角度的变化是n的对数关系。
3，傅里叶级数旋转角度的变化也是n的线性量。

也就是说，n^x级数单元角度的变化太慢了，都糊在一起了。这不是一个“好”的级数。

这么看的话，傅里叶级数是最好的级数 - 角度随x的变化也是线性。

Σ n^x是最慢的级数了。因为Σ (n^0.01)^x = Σ n^0.01x和Σ n^x的慢度是相同的。

比Σ n^-x还慢的就只有 Σ ln(n)^-x，但是它已经不收敛了。只能研究partial sum，或者研究 ∫₀^x 1/ln(t) dt，得到的是 Li(x)。这个函数是对素数个数的最好近似。

[TheMatrix]

Σ n^x是最慢的级数了。因为Σ (n^0.01)^x = Σ n^0.01x和Σ n^x的慢度是相同的。

比Σ n^-x还慢的就只有 Σ ln(n)^-x，但是它已经不收敛了。只能研究partial sum，或者研究 ∫₀^x 1/ln(t) dt，得到的是 Li(x)。这个函数是对素数个数的最好近似。

Li(N) - Σ₁^N 1/ln(n) 的极限是什么 - as N goes to infinity？

[TheMatrix]

二次稀疏的系数也不行。因为比如一个系数 Σ a_nn^x，with a_n²=1，0 otherwise，那就相当于 Σ n^2x。当n大的时候，级数还是糊在一起。

二次稀疏的系数，虽然收敛也很慢，但也是有意义的 - 总比linear progression快。

Dirichlet character的意义应该这么看：它看的是 Σ n^x的一个子序列。相当于把 Σ n^x分割一下，但不是横分，是纵分。是一种系统性的分割 - 因为分割的单元之间还有关系。L-function Σ a_nn^x的系数必须是从character组合出来的。

所以就是研究把 Σ n^x 系统性地分成子序列的方法。linear，quadratic，都是有意义的。

[changbaihou]

Li(N) - Σ₁^N 1/ln(n) 的极限是什么 - as N goes to infinity？

这个是发散的，而且己知随着N->infty，其值可正可负。

[TheMatrix]

这个是发散的，而且己知随着N->infty，其值可正可负。

这个不就是我另一个贴求极限的题吗？不过求和的下限应该从2开始，因为ln(1)=0，作为分母会有些麻烦。你说发散是指分母为0的情况吗？

[changbaihou]

这个不就是我另一个贴求极限的题吗？不过求和的下限应该从2开始，因为ln(1)=0，作为分母会有些麻烦。你说发散是指分母为0的情况吗？

My bad. 我把Li(N)看成pi(N)了, lol.