新未名空间

牛河梁 写了： 2024年 10月 7日 21:30 不是有理数，而是countable的数。老牛当年表述得不严谨，举例说用过有理数用过代数数这些概念，可能导致了误解。

举例说，可能测出2pi。2pi显然是无理数/超越数。但2pi是countable的数。

Countable数可以用递归形式定义。如{1,2,3,...}属于可数集。{1/1,1/2,1/3,...}也属于可数集。{sqrt(1),sqrt(2),...}也属于可数集。一直下去。你可以引入新的运算/算符产生新的可数集。

这个新的运算/算符对应一个物理过程/测量。Countable概念的意义在于。所有的有限物理过程/测量的结果显然都属于countable集。而我们知道存在不countable的数学概念。

对应楼主的标题则在于，如果如弃婴所言，存在不countable的物理现象/值，物理实验不能准确测出来。

Caravel 写了： 2024年 10月 7日 21:34 老牛概念不清，任何countable的集合都可以一一对应自然数/有理数。
你这样的集合加减乘除能封闭么？等你封闭了，恭喜你，重新发现了实数。

牛河梁 写了： 2024年 10月 7日 21:39 当然能封闭。问题在于实数不countable啊。countable的数在实数集里占比无限接近于零。剩下的超越数才是不可测的汪洋大海。

Caravel 写了： 2024年 10月 7日 21:44 不光加减乘除，还有方根等其他初等运算。

牛河梁 写了： 2024年 10月 7日 21:47 你看上面的递归定义。你引入新的运算符f，这个集就会扩大。最终一定封闭。

简单而言，就是for all x in C, f(x) in C。

Caravel 写了： 2024年 10月 7日 22:50 这样的运算符无穷多，最后变成不可数。

牛河梁 写了： 2024年 10月 7日 22:51 对。但物理实验不可能无穷多步骤。那就相当于图灵机永不停机没有结果了。

Caravel 写了： 2024年 10月 8日 01:31 这跟实验步骤无关，关乎有计算过程，实验的初始值和测量值都可以用有理数没问题，任意实数都可用有理数无限逼近。但是计算过程不用实数会非常繁琐，得放弃微积分，还有相当一部分初等函数。

forecasting 写了： 2024年 10月 7日 17:40 可实际上呢？我们测量所得，都是有理数，是可数有限位数的有理数，即使你从数学上知道测量所得应该是个无穷位数的代数数，超越数，也是如此。

牛河梁 写了： 2024年 10月 8日 02:42 物理实验不一定只能测出有理结果。这也是老牛以前发言的一个用词错误。准确地说应该是可数结果。虽然有理可数，但可数显然“多于”有理。

举例说我们测一个圆的周长，如果我们定义其直径为1。那么我们就能准确地知道其周长在这个长度单位下为pi。非常精确没有误差。

问题不在于10进制精度问题。表达数字没有说一定只能使用10个数字加一个小数点。我们完全可以加入有限的（离散）新符号。如pi，如sqrt。这些都是可数的。但显然不必然有理。

Caravel 写了： 2024年 10月 8日 03:14 举例说我们测一个圆的周长，如果我们定义其直径为1。那么我们就能准确地知道其周长在这个长度单位下为pi。非常精确没有误差。

你这叫测量么，这明明是计算。无理数只能做形式化的计算，你可以写pi，pi^2，但是永远不可能测量出来pi^2。

牛河梁 写了： 2024年 10月 8日 02:29 我换一个角度：

1/ 实验输入/初始值可以是任何数，实数，虚数。可以是超越数。如和pi相关。但这个可能的值的集合不会是实数全集。而只会是一个可数子集。原因是循环论证。试验者没法设定一个“无法（用有限物理过程）生成”的数做初始值或输入。（“随机数”是否真正随机，生成随机数的物理设备是否还是掉进这个坑另说。）

2/ 当这个初始值属于一个离散的可数集，那么有限物理过程的结果必然也属于（另）一个离散的可数集。这些过程可以是任意一一对应函数（如果输入给定则不会有两种可能输出，物理实验应该能符合这一条件），包括微积分。注意，这一可能输出结果可以是实数，超越实数。但这个可能的结果集依然只是实数的一个可数子集。

3/ 不同的实验，不同的可能输入/初始值的可数的集合，产生的可能输出结果集不同。但不影响这些输出结果集都是可数的。

Caravel 写了： 2024年 10月 8日 03:21 不是的。物理里面很多变量都是连续变量，比如时间长度，比方说初始位置是0，经过一段时间t1到t2的位置, 则是一段连续的实数。

牛河梁 写了： 2024年 10月 8日 03:24 这个是几百年前的老宗教思想了吧。量子力学不是说都是离散的？

当然，老牛不反对可能内在是连续（不可数）的。但你的有限物理过程测不出来啊。

Caravel 写了： 2024年 10月 8日 03:30 量子力学时间空间还是连续变量啊，在一些条件下，能量本征值是离散的。

牛河梁 写了： 2024年 10月 8日 10:40 时空连续那是宗教信仰。老牛从小学起在新华书店读过一本小册子开始想了很多年了。

你测不出来。不能仅仅用运算“封闭”得出“连续”这个结论。老牛给出的实数可数子集也是“封闭”的。

弃婴千枝 写了： 2024年 10月 8日 17:46 搞笑

你就是数学差了点，时空不连续，比如空间不连续，你说数学上怎么表达？你根本不知道
空间不连续可以用lie代数[x,y]=iδ来表示，这就得到了Noncommutative field theory，
于是就有可观察的效果

一句话，物理领域，理论超前实验几百年了，几十年前人家早就搞完了的，没你空想的份了

https://arxiv.org/pdf/hep-th/0106048

弃婴千枝 写了： 2024年 10月 8日 17:46 搞笑

你就是数学差了点，时空不连续，比如空间不连续，你说数学上怎么表达？你根本不知道
空间不连续可以用lie代数[x,y]=iδ来表示，这就得到了Noncommutative field theory，
于是就有可观察的效果

一句话，物理领域，理论超前实验几百年了，几十年前人家早就搞完了的，没你空想的份了

https://arxiv.org/pdf/hep-th/0106048

Caravel 写了： 2024年 10月 8日 21:24 有有理数来构造一个物理理论可行不可行？是可行的，但是平移对称性和旋转对称性都没有，就和日心说一样，非常繁锁

弃婴千枝 写了： 2024年 10月 8日 21:26 高斯定理怎么办？必定出现pi