这么多年了，终于把Legendre变换搞明白了。

[Caravel]

对

事实上，这一点，对物理领域来说应该是默认正确的，从来没人explicitly提出来过，自然也没人试图证明过，比如，BRST量子化上，

所以，自然界是不是由一个凸函数来描述的呢？

凹函数为什么就不能定义广义动量？

[TheMatrix]

凹函数为什么就不能定义广义动量？

我的理解，广义动量 p = ∂L/∂q' 是永远可以定义的。但是要保证 p 和 q' 的一一对应，需要 L 是凸函数。凸函数就是导函数是单调的。导函数单调，所以 p 和 q' 可以一一对应。

凹函数导函数应该也是单调的。凹函数就是凸函数，这是一个名词用法的问题。

[Caravel]

我的理解，广义动量 p = ∂L/∂q' 是永远可以定义的。但是要保证 p 和 q' 的一一对应，需要 L 是凸函数。凸函数就是导函数是单调的。导函数单调，所以 p 和 q' 可以一一对应。

凹函数导函数应该也是单调的。凹函数就是凸函数，这是一个名词用法的问题。

乘以-1就flip定义，也就是说凹函数也可以定义，不凸不凹就不行。

[forecasting]

legendre（勒让德）变换数学上就是一个关于凸函数的变换，

这一点数学圈内广为所知，但是物理圈内很少有人提及

当然，我今天要提及的不是这点，我要说的是legendre变换的物理含义，那就是

这个世界，其实是个凸函数
我在佬买提也提到过这个哲学观点，可惜理解的人只有1个



嘿嘿，事实上，热力学势函数能作legendre变换的前提是，热力学函数本身是凸函数，但是从来没有人去证明

所以吖，物理就是门稀里糊涂的科学，看似严谨，其实漏洞百出，你们学数学的要转行搞什么量子计算，最后十有八九会搞出精神病来的

勿谓言之不预！

这个世界，其实是个凸函数
没有发现反例而已，一有反例，整个物理大厦都得重建，至少要另建一座。

[TheMatrix]

乘以-1就flip定义，也就是说凹函数也可以定义，不凸不凹就不行。

对。我觉得是这样的。

[弃婴千枝]

乘以-1就flip定义，也就是说凹函数也可以定义，不凸不凹就不行。

L曲面和H曲面都是封闭的凸曲面，而且处处凸，不能乘-1

不然不但热力学会完蛋，连BRST量子化都完蛋了

[Caravel]

L曲面和H曲面都是封闭的凸曲面，而且处处凸，不能乘-1

不然不但热力学会完蛋，连BRST量子化都完蛋了

你这个凸的定义跟凸函数不一样，这个凸和凸多边形一样，就是任意两点连线上的点都在多边形内部。

[VladPutin]

legendre（勒让德）变换数学上就是一个关于凸函数的变换，

这一点数学圈内广为所知，但是物理圈内很少有人提及

当然，我今天要提及的不是这点，我要说的是legendre变换的物理含义，那就是

这个世界，其实是个凸函数

我在佬买提也提到过这个哲学观点，可惜理解的人只有1个



嘿嘿，事实上，热力学势函数能作legendre变换的前提是，热力学函数本身是凸函数，但是从来没有人去证明

所以吖，物理就是门稀里糊涂的科学，看似严谨，其实漏洞百出，你们学数学的要转行搞什么量子计算，最后十有八九会搞出精神病来的

勿谓言之不预！

想起上凹这个牛逼的词汇。

[YouHi]

我连傅里叶变换是啥都快忘了～～～

[QFT]

想象你有一条曲线 f(x)，表示某种能量或成本随变量 x 变化的函数。勒让德变换涉及用每一点上的切线来重新描述这条曲线。对于曲线上的每一点，我们可以找到它的切线斜率（导数） p = df/dx。而勒让德变换的新函数 g(p) 表示的是这些切线的截距与原曲线的关系。

所以，从几何上来看，勒让德变换是用每一点的切线斜率 p 和相应的截距来描述曲线。可以说，它“重新编码”了曲线，从直接使用 x 作为自变量，变成使用切线的斜率 p 作为自变量。

[TheMatrix]

想象你有一条曲线 f(x)，表示某种能量或成本随变量 x 变化的函数。勒让德变换涉及用每一点上的切线来重新描述这条曲线。对于曲线上的每一点，我们可以找到它的切线斜率（导数） p = df/dx。而勒让德变换的新函数 g(p) 表示的是这些切线的截距与原曲线的关系。

所以，从几何上来看，勒让德变换是用每一点的切线斜率 p 和相应的截距来描述曲线。可以说，它“重新编码”了曲线，从直接使用 x 作为自变量，变成使用切线的斜率 p 作为自变量。

说的对。

我记得这也是wiki上的表述。我很早就看到过，但是一直没有把它和lagrangian联系起来。