有限群表示理论的核心定理

[Caravel]

群表示论是Dedekind给Frobenius出的练习题，Schur是Frobenius的学生。

为什么没有看到以Frobenius的命名的定理

[TheMatrix]

那是因为trace是唯一一个在群代数底下的线性不变量。

这个是说 Tr: G --> C 可以扩展到 group algebra of G上吗？

[TheMatrix]

这个是说 Tr: G --> C 可以扩展到 group algebra of G上吗？

刚发现群函数空间 {f: G --> C} 既是 C^N (N=|G|)，也是一个group algebra。它的每个元素可以写成：
f(g_1)g_1+f(g_2)g_2+...
或者
Σf(g)g
的形式。其乘法就是按group algebra的乘法来乘。

而trace，对每一个群表示ρ，得到一个群函数，也就是group algebra中的一点。也就是Tr(ρ)是group algebra中的一点。

两个群表示α和β，其trace还可以乘，Tr(α)Tr(β)，就用group algebra的乘法。乘出来不知道是个啥。

[verdelite]

通过这段时间的学习，理解了共轭这个概念。以前这个概念在线性代数（相似变换）和群论（对称群的置换表示）里面都出现过，但是不明所以。

共轭的东西在本质上是一样的。比如共轭置换，其实是重新排列一下，执行相同的操作，然后再排列回去。

而线性代数里，共轭矩阵支撑的线性空间是一样的。

你这里“共轭矩阵”是指Hermitian矩阵吗？那么一个共轭矩阵只是一个单独的矩阵。那么谈何“支撑的线性空间是一样的”呢？这里我不理解，你能展开说说吗？

[rgg]

刚发现群函数空间 {f: G --> C} 既是 C^N (N=|G|)，也是一个group algebra。它的每个元素可以写成：
f(g_1)g_1+f(g_2)g_2+...
或者
Σf(g)g
的形式。其乘法就是按group algebra的乘法来乘。

而trace，对每一个群表示ρ，得到一个群函数，也就是group algebra中的一点。也就是Tr(ρ)是group algebra中的一点。

两个群表示α和β，其trace还可以乘，Tr(α)Tr(β)，就用group algebra的乘法。乘出来不知道是个啥。

乘出来对全体群元求和就是内积了。sum_g(Tr*(α,g^-1)Tr(β,g)

[rgg]

你这里“共轭矩阵”是指Hermitian矩阵吗？那么一个共轭矩阵只是一个单独的矩阵。那么谈何“支撑的线性空间是一样的”呢？这里我不理解，你能展开说说吗？

共轭是conjugate, Hermitian是厄米。同一共轭类的矩阵是所有坐标变换下的同一个线性变换。

[TheMatrix]

乘出来对全体群元求和就是内积了。sum_g(Tr*(α,g^-1)Tr(β,g)

有这个内积吗？两个群表示的内积？
< α, β>？这是个啥？在什么空间中内积？

不过你这个乘法是对群空间逐点乘。我说的那个Tr(α )Tr(β)是在group algebra中乘，相当于多项式乘。当然，不一定有意义。

[rgg]

有这个内积吗？两个群表示的内积？
< α, β>？这是个啥？在什么空间中内积？

不过你这个乘法是对群空间逐点乘。我说的那个Tr(α )Tr(β)是在group algebra中乘，相当于多项式乘。当然，不一定有意义。

我写的就是这个主题里的大蒸饺定理的正交性的由来啊。

[TheMatrix]

有这个内积吗？两个群表示的内积？
< α, β>？这是个啥？在什么空间中内积？

不过你这个乘法是对群空间逐点乘。我说的那个Tr(α )Tr(β)是在group algebra中乘，相当于多项式乘。当然，不一定有意义。

哦这个是卷积：
f=Tr(α): G --> C
g=Tr(β): G --> C
那么 f和g在group algebra中的乘法就是卷积 f∗g。

[TheMatrix]

我写的就是这个主题里的大蒸饺定理的正交性的由来啊。

哦。不过你写的跟楼主写的不一样啊。我再理解理解。

楼主的大正交定理说的是：
对于所有的不可约表示ρ，以及每个不可约表示的矩阵entry (i,j)，得到的G上的函数，这些G函数正交（完备）。

这里没用到trace啊。

。。。
哦。楼主那个第三条，说的是trace。

[TheMatrix]

3. 等价类的character也就是矩阵trace， 本身也是正交完备的。

这个第3条，等价类的character，也是群上的一个函数。这些函数是正交的，但是不能完备，因为数量不够啊。

[TheMatrix]

这个第3条，等价类的character，也是群上的一个函数。这些函数是正交的，但是不能完备，因为数量不够啊。

哦，也许加上其他的symmetric function，就能正交完备了？trace只是矩阵的一个symmetric function。

[Caravel]

这个第3条，等价类的character，也是群上的一个函数。这些函数是正交的，但是不能完备，因为数量不够啊。

character不是群元素的函数，而是等价类c的函数, 这样数量就够了

[TheMatrix]

character不是群元素的函数，而是等价类c的函数, 这样数量就够了

哦对啊。

一个群有多少个conjugacy等价类，一个conjugacy等价类有多少元素在里面，这个有什么经典结论没有？

[Caravel]

哦对啊。

一个群有多少个conjugacy等价类，一个conjugacy等价类有多少元素在里面，这个有什么经典结论没有？

这个应该跟群的具体定义相关，越复杂class越多

[TheMatrix]

你这里“共轭矩阵”是指Hermitian矩阵吗？那么一个共轭矩阵只是一个单独的矩阵。那么谈何“支撑的线性空间是一样的”呢？这里我不理解，你能展开说说吗？

共轭矩阵就是相似矩阵。hgh^{-1}。

支撑的线性空间，他的意思是相似矩阵是同一个线性空间上的同一个（物理）变换，只是选取的基不同。

[verdelite]

共轭矩阵就是相似矩阵。hgh^{-1}。

支撑的线性空间，他的意思是相似矩阵是同一个线性空间上的同一个（物理）变换，只是选取的基不同。

我当时是想要这样理解，不过这样理解也有问题，那就是所有满秩矩阵都支撑相同空间，而这些满秩矩阵之间并不需要相似。所以他的发现就没有什么意义（专指他最后一句话，就是支撑相同空间那句）

[TheMatrix]

通过这段时间的学习，理解了共轭这个概念。以前这个概念在线性代数（相似变换）和群论（对称群的置换表示）里面都出现过，但是不明所以。

共轭的东西在本质上是一样的。比如共轭置换，其实是重新排列一下，执行相同的操作，然后再排列回去。

而线性代数里，共轭矩阵支撑的线性空间是一样的。

共轭还出现在研究群的可交换性上：gh ?= hg.
等价于 g ?= hgh^{-1}. - 这里出现了共轭。
等价于 ghg^{-1}h^{-1} ?= e. - 这里出现了commutator。

这和你说的那些应该都是有联系的。

[FoxMe]

共轭还出现在研究群的可交换性上：gh ?= hg.
等价于 g ?= hgh^{-1}. - 这里出现了共轭。
等价于 ghg^{-1}h^{-1} ?= e. - 这里出现了commutator。

这和你说的那些应该都是有联系的。

对，共轭是一个很重要的概念。令K_a是群G中a的共轭类，C_a是a的centralizer，那么

|G| = |K_a| |C_a| （从同态定理很容易看出）
|G| = \sum |K_a|

这个规律影响了群的结构。因为|K_a|是|G|的因子，可以推出群表示的平方之和公式中，

|G| = d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + ...

每个d_i都是|G|的因子。这样以来，d_i的选择非常有限。

[FoxMe]

我当时是想要这样理解，不过这样理解也有问题，那就是所有满秩矩阵都支撑相同空间，而这些满秩矩阵之间并不需要相似。所以他的发现就没有什么意义（专指他最后一句话，就是支撑相同空间那句）

嗯，可能我说的不准确。