掷骰子的几率计算题

[YWY]

首先非常感谢你的帮助。我按照你的公式计算了数值解，发现E = 2p(2) + 3p(3) + ... =39.826， 这和你的数字有点差错；但是，这个应该不是我所想要的结果，因为我的题目的第二条的意思不明确。现在我把题目再次更新，希望你能有兴趣和时间看看。

我刚刚又算了一下（昨天的题），这次我得到 E = 1435/36 = 39.8611111。依旧请大家把关，希望计算上没有错。推理思路应该没大问题。

你问了几个问题，但却没问“一直投掷两个骰子直到出现和为12”（不管之前7出现与否）的情况。这个情形下，p(n) = (1/36)(35/36)^{n-1} for all n > 0，投掷次数的期望值为E = 1p(1) + 2p(2) + ... = 36。不知这是不是你心念已久的结果。

[meiyoumajia]

忘了提一下：楼主最新的问题还是开篇的问题的延展。

而两者之间加的那个问题的第二部分，其实就是现在题目的第一部分。

[YWY]

再次更新如下：

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到 如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 一直投掷，直到下面的两种情况之一发生：
1. 两次点数是7 的结果接连发生；
2. 一次点数是12的结果发生。
请问，平均来说，需要投掷多少次使得上面的结果发生？

那第二条意思不直接，但还是可以的。
“不让12出现在7 7前”就是碰到12就断投。

好的，我们（再）明确下题目：就是一直投一直投，直到投出连续两次7或者一次12为止，谁先出现都算，出现了就不再投了，求投掷次数的平均值（期望值）。

这个应该比前面的更繁杂些，让我想想。

[meiyoumajia]

考虑新题（最早题目的扩展问题）的第一部分
把题目理一下

for the sake of convenience
use 1 to stand for 7 (individual probability being 6 out of 36)
2 for 12 (1 out of 36)
0 for any other (29 out of 36)


satisfying sequences with the length of n-2 are
0 x
1 y
x and y are sets. each element in 0 x and 1 y has only a single 1 1 in it, and the 1 1 is at its end.

the length of n-1:
0 0 x
1 0 x
0 1 y

the length of n:
0 (the "n-1" set)

1 0 0 x
1 0 1 y
which is 1 0 (the "n-2" set)
(these are just the same as for the previous part 2)


p2 = 1/36
p3 = 1/36* 29/36
p(n) = 29/36* p(n-1) + 6/36* 29/36* p(n-2)

因此只是把之前做的那些公式里的30/36全部换成29/36
（5/6换成29/36， 5/216换成29/36/36）
再重复一遍计算

[YWY]

好的，我们（再）明确下题目：就是一直投一直投，直到投出连续两次7或者一次12为止，谁先出现都算，出现了就不再投了，求投掷次数的平均值（期望值）。

这个应该比前面的更繁杂些，让我想想。

Let s, t and e stand for seven, twelve and else, respectively. For a single throw of 2 dice, the probability of getting 7 is p(s) = 1/6, the probability of of getting 12 is p(t) = 1/36, and the probability of getting others is p(e) = 29/36.

For the question above, let p(n) be the probability of ending the game with n rolls. Then
p(1) = p(t) = 1/36,
p(2) = p(s)p(s) + [p(s)+p(e)]p(t) = 1/36 + 35/36^2 = 71/36^2.
For n > 2, we get p(n) = p(s)p(e)p(n-2) + p(e)p(n-1) = (29/216)p(n-2) + (29/36)p(n-1).

Now we can deduce the expected value E = 1p(1) + 2p(2) + 3p(3) + ... via the method mentioned above (starting with E - 1p(1) - 2p(2) and then using p(n) = (29/216)p(n-2) + (29/36)p(n-1)).

[YWY]

Let s, t and e stand for seven, twelve and else, respectively. For a single throw of 2 dice, the probability of getting 7 is p(s) = 1/6, the probability of of getting 12 is p(t) = 1/36, and the probability of getting others is p(e) = 29/36.

For the question above, let p(n) be the probability of ending the game with n rolls. Then
p(1) = p(t) = 1/36,
p(2) = p(s)p(s) + [p(s)+p(e)]p(t) = 1/36 + 35/36^2 = 71/36^2.
For n > 2, we get p(n) = p(s)p(e)p(n-2) + p(e)p(n-1) = (29/216)p(n-2) + (29/36)p(n-1).

Now we can deduce the expected value E = 1p(1) + 2p(2) + 3p(3) + ... via the method mentioned above (starting with E - 1p(1) - 2p(2) and then using p(n) = (29/216)p(n-2) + (29/36)p(n-1)).

对不对不敢保证，按上面的思路，我得到E = 1512/78 = 19.384615384615，请大家把关。设定就是一直投一直投，直到投出连续两次7或者一次12为止，谁先出现都算，出现了就不再投了，求投掷次数的平均值（期望值）。

[meiyoumajia]

Let s, t and e stand for seven, twelve and else, respectively. For a single throw of 2 dice, the probability of getting 7 is p(s) = 1/6, the probability of of getting 12 is p(t) = 1/36, and the probability of getting others is p(e) = 29/36.

For the question above, let p(n) be the probability of ending the game with n rolls. Then
p(1) = p(t) = 1/36,
p(2) = p(s)p(s) + [p(s)+p(e)]p(t) = 1/36 + 35/36^2 = 71/36^2.
For n > 2, we get p(n) = p(s)p(e)p(n-2) + p(e)p(n-1) = (29/216)p(n-2) + (29/36)p(n-1).

Now we can deduce the expected value E = 1p(1) + 2p(2) + 3p(3) + ... via the method mentioned above (starting with E - 1p(1) - 2p(2) and then using p(n) = (29/216)p(n-2) + (29/36)p(n-1)).

p2关心的应该只是以12结束的概率
就像p1那样

[YWY]

p2关心的应该只是以12结束的概率
就像p1那样

那我糊涂了，设定是什么？怎么投掷骰子？如何算结束？

如果问“一直投掷两个骰子直到出现和为12”（不管之前7出现与否）的情况，那么p(n) = (1/36)(35/36)^{n-1} for all n > 0，投掷次数的期望值为E = 1p(1) + 2p(2) + ... = 36。

[meiyoumajia]

那我糊涂了，设定是什么？怎么投掷骰子？如何算结束？

如果问“一直投掷两个骰子直到出现和为12”（不管之前7出现与否）的情况，那么p(n) = (1/36)(35/36)^{n-1} for all n > 0，投掷次数的期望值为E = 1p(1) + 2p(2) + ... = 36。

一旦 7 7 或12出现就立刻结束。

各种可能的情形和大小都反映在各种顺序的概率分布里了。

直观来说，概率分布可被视为是大量试验的总结。
比如，投1亿次，对某种顺序成功几百次，可得其概率是那被1亿除，还可以算出平均长度。

反过来说，概率分布是那种大数目统计按整体/总和为100%做的一种约化。特别方便用，比如做比较方。

因此概率分布中一个顺序的概率情况其实部分反映了这个顺序失败的情况

[YWY]

Let s, t and e stand for seven, twelve and else, respectively. For a single throw of 2 dice, the probability of getting 7 is p(s) = 1/6, the probability of of getting 12 is p(t) = 1/36, and the probability of getting others is p(e) = 29/36.

For the question above, let p(n) be the probability of ending the game with n rolls. Then
p(1) = p(t) = 1/36,
p(2) = p(s)p(s) + [p(s)+p(e)]p(t) = 1/36 + 35/36^2 = 71/36^2.
For n > 2, we get p(n) = p(s)p(e)p(n-2) + p(e)p(n-1) = (29/216)p(n-2) + (29/36)p(n-1).

Now we can deduce the expected value E = 1p(1) + 2p(2) + 3p(3) + ... via the method mentioned above (starting with E - 1p(1) - 2p(2) and then using p(n) = (29/216)p(n-2) + (29/36)p(n-1)).

一旦 7 7 或12出现就立刻结束。

各种可能的情形和大小都反映在各种顺序的概率分布里了。

直观来说，概率分布可被视为是大量试验的总结。
比如，投1亿次，对某种顺序成功几百次，可得其概率是那被1亿除，还可以算出平均长度。

反过来说，概率分布是那种大数目统计按整体/总和为100%做的一种约化。特别方便用，比如做比较方。

因此概率分布中一个顺序的概率情况其实部分反映了这个顺序失败的情况

那我上面的p(2)应该是对的，两步结束的话，有两种可能：两投都是7（对应p(s)p(s)）和第一投不是12第二投是12（对应[p(s)+p(e)]p(t)），由此得到p(2) = p(s)p(s) + [p(s)+p(e)]p(t) = 1/36 + 35/36^2 = 71/36^2.

[meiyoumajia]

对第二部分

n-2:
0 x
1 y
(each element in x and y has only a single 2, which is at its end; 0 x and 1 y has no 1 1 subsequence in it)

n-1:
0 0 x
1 0 x
0 1 y

n:
0 0 0 x
0 1 0 x
0 0 1 y

1 0 0 x
1 0 1 y
which shows the same relationship: (the n set) = 0 (the n-1 set) combining with 1 0 (the n-2 set)

p1= 1/36
p2= 1/36*(1-p1) = 35/36/36
p(n) = 29/36* p(n-1) + 6/36* 29/36*p(n-2)

[CalCat]

忘了提一下：楼主最新的问题还是开篇的问题的延展。

而两者之间加的那个问题的第二部分，其实就是现在题目的第一部分。

我同意最新的问题还是开篇的问题的延展。但是, 我实际上不能肯定 “两者之间加的那个问题的第二部分，其实就是现在题目的第一部分。” 我问第二个问题的原因。是为了搞清楚他们到底相同不。最后一个问题, 我再次明确, 更加准确的描述:

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到 如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 一直投掷，直到下面的两种情况之一发生：
1. 两次点数是7 的结果接连发生；
2. 一次点数是12的结果发生。
请问，平均来说，需要投掷多少次使得上面的结果之一发生？分别是多少?

[YWY]

对第二部分

n-2:
0 x
1 y
(each element in x and y has only a single 2, which is at its end; 0 x and 1 y has no 1 1 subsequence in it)

n-1:
0 0 x
1 0 x
0 1 y

n:
0 0 0 x
0 1 0 x
0 0 1 y

1 0 0 x
1 0 1 y
which shows the same relationship: (the n set) = 0 (the n-1 set) combining with 1 0 (the n-2 set)

p1= 1/36
p2= 1/36*(1-p1) = 35/36/36
p(n) = 29/36* p(n-1) + 6/36* 29/36*p(n-2)

两步结束的话，有两种可能：两投都是7（对应p(s)p(s)）和第一投不是12第二投是12（对应[p(s)+p(e)]p(t)），由此得到p(2) = p(s)p(s) + [p(s)+p(e)]p(t) = 1/36 + 35/36^2 = 71/36^2.

[YWY]

我同意最新的问题还是开篇的问题的延展。但是, 我实际上不能肯定 “两者之间加的那个问题的第二部分，其实就是现在题目的第一部分。” 我问第二个问题的原因。是为了搞清楚他们到底相同不。最后一个问题, 我再次明确, 更加准确的描述:

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到 如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 一直投掷，直到下面的两种情况之一发生：
1. 两次点数是7 的结果接连发生；
2. 一次点数是12的结果发生。
请问，平均来说，需要投掷多少次使得上面的结果之一发生？分别是多少?

请解释什么是“分别是多少?” 你的问题里只有一个平均值（期望值），如何回答分别是多少?

[meiyoumajia]

那我上面的p(2)应该是对的，两步结束的话，有两种可能：两投都是7（对应p(s)p(s)）和第一投不是12第二投是12（对应[p(s)+p(e)]p(t)），由此得到p(2) = p(s)p(s) + [p(s)+p(e)]p(t) = 1/36 + 35/36^2 = 71/36^2.

这是最新题目的第二部分

问的是：以12结束的平均次数是多少？

[meiyoumajia]

我同意最新的问题还是开篇的问题的延展。但是, 我实际上不能肯定 “两者之间加的那个问题的第二部分，其实就是现在题目的第一部分。” 我问第二个问题的原因。是为了搞清楚他们到底相同不。最后一个问题, 我再次明确, 更加准确的描述:

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到 如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 一直投掷，直到下面的两种情况之一发生：
1. 两次点数是7 的结果接连发生；
2. 一次点数是12的结果发生。
请问，平均来说，需要投掷多少次使得上面的结果之一发生？分别是多少?

对你“不肯定”的部分：严格说来时不同。但必须那样理解理解那个题目才能做下去。

我在前面有两贴分别列了对两种情况期待值推算的最主要环节。方法与之前是一样的。

[meiyoumajia]

请解释什么是“分别是多少?” 你的问题里只有一个平均值（期望值），如何回答分别是多少?

这是两独立部分。需要被分别计算。

之前你是把它们理解在一起了。

[YWY]

这是最新题目的第二部分

那为什么p1里没有加1/6？

问的是：以12结束的平均次数是多少？

非常非常初略地说：以【（非12） 12】结束时，与它们竞争的7 7的概率并没有完全被实现/达到。


你还是要从以12结束出发，考虑它出现的各种概率情况。如我所说，这个概率情况里就有失败的统计在里面，实际已经挤入了在成功之前以7 7 结束的失败情况。

我认为最新题目只有一个部分，题目里的1和2是描叙两种终止游戏的情形。

但是，我现在似乎明白了你的意思，你考虑的是：在不出现连7的前提下，投出12所需次数的平均值。这个平均值应该比36小。

[CalCat]

请解释什么是“分别是多少?” 你的问题里只有一个平均值（期望值），如何回答分别是多少?

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到 如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 一直投掷，直到下面的两种情况之一发生：
1. 两次点数是7 的结果接连发生；
2. 一次点数是12的结果发生。
请问，如果只考虑上面第一种结果, 平均来说，需要投掷多少次使得7连7的结果发生? 如果只考虑上面第二种结果, 平均来说，需要投掷多少次使得一个12的结果发生? 分别计算这两种结果的需要的平均次数。这个问题非常实用, 就是赌场的Craps游戏。

也就是说，一个特殊的赌场的Craps游戏，玩家同时投掷两个6面体的骰子，如果得到的点数是12，那么游戏结束；如果得到的点数是7和7相连，那么游戏也结束。下面接着玩, 但是，每次游戏结束，投掷的次数都重新开始计数。在玩了许多许多游戏 (无穷天) 以后, 我们把点数是12结束的所有案例做个统计，看平均投掷次数是多少；我们把点数是7和7结束的所有案例做个统计，看平均投掷次数是多少。

[meiyoumajia]

你考虑的是：在不出现连7的前提下，投出12所需次数的平均值。

不完全是。
楼主要的是：在以12结束的前提下，平均需要的次数。