新未名空间

YWY 写了： 2023年 2月 12日 16:03 这可能就是你想要的“早有数学结论”。

那也是我比较马虎地查到的信息给我的印象。如果我在大学的数学系图书馆，或有数学专业人士说出，那就可以确定所有此类方程了。

而我一开始想知道的是如何用非数学专业的知识就能找到这个特殊方程的所有解。因此要证明那个族是否覆盖了所有解。

。

我感觉那个数学概念是：
所有的数都可用2_root的多项式唯一表示
或者等效地
用（1+2_root)的多项式唯一表示

也可能有错。但差不多？lol

meiyoumajia 写了： 2023年 2月 12日 17:08 我感觉那个数学概念是：
所有的数都可用2_root的多项式唯一表示
或者等效地
用（1+2_root)的多项式唯一表示

也可能有错。但差不多？lol

如果这是你纠结之所在，那很容易说明：任取一无理数a并固定，同时x,y,u,v是有理数，那么x+ya = u+va等且仅当x=u同时y=v。证明也非常容易，移项变成x-u = (y-v)a，然后用到a是无理数。

YWY 写了： 2023年 2月 12日 17:19 如果这是你纠结之所在，那很容易说明：任取一无理数a并固定，同时x,y,u,v是有理数，那么x+ya = u+va等且仅当x=u同时y=v。证明也非常容易，移项变成x-u = (y-v)a，然后用到a是无理数。

我指的是这一句：
𝑎+𝑏2‾√ is a unit if and only if 𝑎2−2𝑏2=±1

这个对实数（包括非整数/小数）的以2_root为基做因式分解的某种唯一性是证明那个的关键。知道这个后就很简单了。

因此我感觉就是转化成了
以2_root为基表示的实数空间里整数子空间的问题

meiyoumajia 写了： 2023年 2月 12日 17:29 我指的是这一句：
𝑎+𝑏2‾√ is a unit if and only if 𝑎2−2𝑏2=±1

这就是我用归纳法证明的内容。

。

meiyoumajia 写了： 2023年 2月 12日 17:29 我指的是这一句：
𝑎+𝑏2‾√ is a unit if and only if 𝑎2−2𝑏2=±1

这个对实数（包括非整数/小数）的以2_root为基做因式分解的某种唯一性是证明那个的关键。知道这个后就很简单了。

虽然一楼的问题不依赖这个结论，这也是可以证明的：首先Z[\sqrt 2]这个环里的元素可唯一表示成a+b\sqrt 2 where a and b are integers. If a^2-2b^2 = ±1 then the inverse of a+b \sqrt 2 is ±(a-b \sqrt 2). Conversely, suppose (a+b \sqrt 2)(c+d \sqrt 2) = 1 with a, b, c, d all integers. Then, by expanding, you can show that ad+bc = 0. This essentially shows the pair (a, b) and (c, -d) are proportional. Then, by some work, you can show that c+d \sqrt 2 must be ±(a-b \sqrt 2).

meiyoumajia 写了： 2023年 2月 12日 17:29 我指的是这一句：
𝑎+𝑏2‾√ is a unit if and only if 𝑎2−2𝑏2=±1

这个对实数（包括非整数/小数）的以2_root为基做因式分解的某种唯一性是证明那个的关键。知道这个后就很简单了。

FGH 写了： 2023年 2月 12日 17:58 这就是我用归纳法证明的内容。

证明一楼的问题只需用到 |a^2-2b^2| = 1 if and only if a + b \sqrt 2 = (1 + \sqrt 2)^m, which is less involved.

。

。

meiyoumajia 写了： 2023年 2月 12日 18:33 不是的。必须有那个iff，否则不可能由

（a+b*2_root)/(1+2_root)必然归结到之前已经发现的某个（1+2_root)^m，从而得出此（a+b*2_root)也是那种形式

（a+b*2_root)/(1+2_root) = c + d \sqrt依旧满足|c^2-2d^2| = 1，也就是所谓的更“小”的解。

YWY 写了： 2023年 2月 12日 18:39 （a+b*2_root)/(1+2_root) = c + d \sqrt依旧满足|c^2-2d^2| = 1，也就是所谓的更“小”的解。

是可以。但不一目了然，需要被指出/验证。你从一开始就看出来了？

meiyoumajia 写了： 2023年 2月 12日 19:13 是可以。但不一目了然，需要验证。你从一开始就看出来了？

倒没“看”出来，也是相信依赖了直感。

YWY 写了： 2023年 2月 12日 19:30 倒没“看”出来，也是相信依赖了直感。

那个所谓的“unit”的概念大概是同一个意思吧？“假若（a，b）满足，那么a+b*2_root除1+2_root后得到的表达式(c,d)可验证正好也满足“？

meiyoumajia 写了： 2023年 2月 12日 19:34 那个所谓的“unit”的概念是同一个意思吧？

unit和invertible是一个意思，就是和某个元素的乘积等于1。

YWY 写了： 2023年 2月 12日 19:41 unit和invertible是一个意思，就是和某个元素的乘积等于1。

从那个网页上看，似乎是它与“对偶”数相乘的长度/绝对值是1。
x + y*2_root 与
x - y*2_root
的相乘

把2_root作为虚数i那样“类似”用
因此有那种叫法？

在那个网页里最后一步用的“也是unit”是同一个意思。也就是它也满足那个“长度是1”的方程的意思。

meiyoumajia 写了： 2023年 2月 12日 19:48 从那个网页上看，似乎是它与“对偶”数相乘的长度/绝对值是1。
x + y*2_root 与
x - y*2_root
的相乘

只是由于Z[\sqrt 2]的特殊性造成的，高斯整数环Z[\sqrt{-1}]也有此性质，想找可逆元（unit）就和共轭（或对偶）相乘看等不等于1。这可能和在整数环上添加的元素是二次方跟有关吧，我猜。但对一般的环就不适用了。