关于椭圆曲线，听说这本书不错

[TheMatrix]

搭界的东西越来越多，所以就有不同方向的研究 - well，都是研究明白的了 - 也就有不同的展开方式。

直奔主题的话，定义来了：三次方程给出的curve就叫椭圆曲线。注意，叫curve的话，必须首先已经是一个variety，也就是已经是一个方程（组）的zero set。

椭圆曲线有标准形式：
y²=x³+ax+b
这个叫Weierstrass short form。

还有Weierstrass standard form:
y²+a₁xy+a₃y = x³+a₂x²+a₄x+a₆

最最一般的三次方程（二元）什么样呢？
y³+c₁xy²+c₂x²y+c₃x³+c₄y²+c₅xy+c₆x²+c₇y+c₈x+c₉=0

[TheMatrix]

椭圆曲线有标准形式：
y²=x³+ax+b
这个叫Weierstrass short form。

还有Weierstrass standard form:
y²+a₁xy+a₃y = x³+a₂x²+a₄x+a₆

最最一般的三次方程（二元）什么样呢？
y³+c₁xy²+c₂x²y+c₃x³+c₄y²+c₅xy+c₆x²+c₇y+c₈x+c₉=0

这三个之间什么关系呢？关系相当复杂。

我曾经试图通过换元法把最一般的三次方程变为Weierstrass最简形式。没成功。

我考虑的是线性换元法，而且是用齐次方程做，因为齐次方程里的线性换元，就相当于非齐次方程里的fractional linear换元，相当于凭空增加了能力。这也是projective space的好处。也就是考虑这样的换元：
X=a₁₁X'+a₁₂Y'+a₁₃Z'
Y=a₂₁X'+a₂₂Y'+a₂₃Z'
Z=a₃₁X'+a₃₂Y'+a₃₃Z'

把这个带入原方程（经过齐次化的），令它等于Weierstrass最简形式或者标准形式(in X',Y',Z')，然后解出a_ij。不成功。

之所以不成功，后来我发现，它就不是线性换元能变换出来的。必须考虑非线性换元。而离开了线性领域，参数一下就多起来了。mission impossible。

[TheMatrix]

这三个之间什么关系呢？关系相当复杂。

我曾经试图通过换元法把最一般的三次方程变为Weierstrass最简形式。没成功。

我考虑的是线性换元法，而且是用齐次方程做，因为齐次方程里的线性换元，就相当于非齐次方程里的fractional linear换元，相当于凭空增加了能力。这也是projective space的好处。也就是考虑这样的换元：
X=a₁₁X'+a₁₂Y'+a₁₃Z'
Y=a₂₁X'+a₂₂Y'+a₂₃Z'
Z=a₃₁X'+a₃₂Y'+a₃₃Z'

把这个带入原方程（经过齐次化的），令它等于Weierstrass最简形式或者标准形式(in X',Y',Z')，然后解出a_ij。不成功。

之所以不成功，后来我发现，它就不是线性换元能变换出来的。必须考虑非线性换元。而离开了线性领域，参数一下就多起来了。mission impossible。

最后应该怎么弄呢？在UTM那本书里，第17页，比较靠前了，呵呵。但是这页书也不好看：



这页书说的是这个意思：

1，用projective linear的方式，也就是非齐次方程的fractional linear的方式，可以把椭圆曲线最一般形式变成这个形式：



2，然后两边乘以x，变成

再用换元xy -> y，也可以说是 Y=a₂₁X'+a₂₂Y'+a₂₃Z' with a₂₂=X'，a₂₁=a₂₃=0，把它变为

注意这一步不是线性变换。

这一步是神来之笔。但是神来之笔又是怎么来的呢？是人家把椭圆曲线的几何研究清楚了，才有这么一个神来之笔。它的思路也在这一页里，就是第一段，和中间那个图。

3，再做一个简单的线性变换，就变成Weierstrass标准形式了。

4，再做一个线性变换，就变成Weierstrass最简形式了。

[TheMatrix]

2，然后两边乘以x，变成

再用换元xy -> y，也可以说是 Y=a₂₁X'+a₂₂Y'+a₂₃Z' with a₂₂=X'，a₂₁=a₂₃=0，把它变为

注意这一步不是线性变换。

这一步虽然不是线性变换（projective linear or affine fractional linear），但它是有理变换，rational map。有理变换也很好。

有理变换为什么也很好呢？这个道理既简单又深奥。

什么是有理变换？比如一个方程
y²=(x-1)(x-2)(x-3)

做换元，y=x'²+y'², x=x'/y'+2 - 注意这不是线性变换 - 就得到：
(x'²+y'²)²=(x'/y'+1)(x'/y')(x'/y'-1)

这是一个x',y'的方程，如果知道它的一个解，带入回换元式中，就得到原方程的一个解。而且，(x',y')如果是一个有理数解的话，(x,y)也是一个有理数解。当然这个例子里新方程更难解，所以这个例子好像不太好。

这个变换就是有理变换。方程之间可以变换，方程的zero set之间也被它变换 - 这叫variety之间的rational map。它的特点是：变换只用到有理函数，也就是原变量的polynomial函数，或者polynomial除以polynomial函数。一个点是有理的，被它变换之后还是有理的。

这个是简单的道理。还有深奥的。

[FoxMe]

这个变换确实令人摸不着头脑，其实是birational equivalence，代数几何的基本问题。过来过去都是rational map.

代数几何为啥喜欢研究rational map, birational equivalence? 是同构吗？差不多，但似乎不完全是。

[TheMatrix]

这一步虽然不是线性变换（projective linear or affine fractional linear），但它是有理变换，rational map。有理变换也很好。

有理变换为什么也很好呢？这个道理既简单又深奥。

深奥方向的，我也不能完全说清楚，可能是我的一个误区而已。

我觉得在于域和扩域的关系问题。任何一个代数方程，都是定义在某一个域上的，也就是系数是属于那个域的，比如Q, R, C (complex number)。那么抽象一下，说一个域K，一个代数方程定义在上面。求解就求解，哪有什么有理呢？有无理的吗？如果只给定一个域K的话，无理都没有一个定义域。

所以这里必须有一个域和扩域之间的关系。K的最大扩域，algebraic closure，K^-，扩到这就可以了，K^-/K，不需要再往上扩了。扩不到K^-是可以研究的，比如F/K，where F<K^-。

在域和扩域的setup下，谈有理解就清楚了：K上定义的一个代数方程，在K^-域的角度看的话，有一个已知的曲线形态，但是我们要求的是K上的解，这叫有理解，rational point。

[FoxMe]

有道理，有理变换满足域的封闭性。给定K，曲线上的有理点指的是x, y都在K里的点，并不是指有理数。

比如：因为加法对应于有理变换，有理点之和P+Q还是有理点。

[TheMatrix]

深奥方向的，我也不能完全说清楚，可能是我的一个误区而已。

我觉得在于域和扩域的关系问题。任何一个代数方程，都是定义在某一个域上的，也就是系数是属于那个域的，比如Q, R, C (complex number)。那么抽象一下，说一个域K，一个代数方程定义在上面。求解就求解，哪有什么有理呢？有无理的吗？如果只给定一个域K的话，无理都没有一个定义域。

所以这里必须有一个域和扩域之间的关系。K的最大扩域，algebraic closure，K^-，扩到这就可以了，K^-/K，不需要再往上扩了。扩不到K^-是可以研究的，比如F/K，where F<K^-。

在域和扩域的setup下，谈有理解就清楚了：K上定义的一个代数方程，在K^-域的角度看的话，有一个已知的曲线形态，但是我们要求的是K上的解，这叫有理解，rational point。

在这个setup下，伽罗华群，Gal(K^-/K)，立刻就有作用了：因为Gal(K^-/K)就是扩域上的变换还能使base域不变的。

[TheMatrix]

深奥方向的，我也不能完全说清楚，可能是我的一个误区而已。

我觉得在于域和扩域的关系问题。任何一个代数方程，都是定义在某一个域上的，也就是系数是属于那个域的，比如Q, R, C (complex number)。那么抽象一下，说一个域K，一个代数方程定义在上面。求解就求解，哪有什么有理呢？有无理的吗？如果只给定一个域K的话，无理都没有一个定义域。

所以这里必须有一个域和扩域之间的关系。K的最大扩域，algebraic closure，K^-，扩到这就可以了，K^-/K，不需要再往上扩了。扩不到K^-是可以研究的，比如F/K，where F<K^-。

在域和扩域的setup下，谈有理解就清楚了：K上定义的一个代数方程，在K^-域的角度看的话，有一个已知的曲线形态，但是我们要求的是K上的解，这叫有理解，rational point。

从更宏观的角度，我们研究的是代数方程的零点，we are armed with + and *, nothing else。从一个variety到另一个variety的map，也就是从一个代数方程的零点集，到另一个代数方程的零点集的map。我们就没有别的运算，sin, 微分这些，都没有。有理函数映射，是唯一正确的打开方式。

从category的角度看，两个variety object，它们之间的映射，要保结构。它们没有微分的结构，not intrinsically。保结构，就是说有些概念在映射过去之后，仍然可以谈论。那么这个映射必须和代数方程的两种运算合拍。。。所以就只能是rational map。

所以两个variety之间的同构概念也就清楚了：A 到 B 可以rational，B 到 A 也可以rational - birational，双有理 - 而且都是一一映射。这就基本上差不多了。

[FoxMe]

“它们之间的映射，要保结构”：叫morphism.

[FoxMe]

用椭圆曲线来研究伽罗华群，感觉是邪招。

在这个setup下，伽罗华群，Gal(K^-/K)，立刻就有作用了：因为Gal(K^-/K)就是扩域上的变换还能使base域不变的。

[FoxMe]

CM搞清楚了：椭圆曲线E = C/L,这里L是个格。对于整数n，nL在L内。但是如果还有复数c, 使得cL也在L内，就称为complex multiplication（顾名思义）。显然，CM对格L，也就是对曲线E，是有特殊要求的，这样的特殊曲线叫CM曲线。

[FoxMe]

Morphism是一个非常基本的概念：

代数几何里，morphism是有理变换；
In set theory, morphisms are functions;
in linear algebra, linear transformations;
in group theory, group homomorphisms;
in analysis and topology, continuous functions, and so on.

保持结构是什么意思呢？就是两边的结构相同，比如从线性空间到线性空间，从群到群。

代数几何里，有理变换保持什么结构呢？我还没弄清。似乎是从代数簇（的开集）到代数簇。

“它们之间的映射，要保结构”：叫morphism.

[FoxMe]

嗯，应该差不多就是这样解释，但是还是没有完全理解。可能要做点习题/例子。

从更宏观的角度，我们研究的是代数方程的零点，we are armed with + and *, nothing else。从一个variety到另一个variety的map，也就是从一个代数方程的零点集，到另一个代数方程的零点集的map。我们就没有别的运算，sin, 微分这些，都没有。有理函数映射，是唯一正确的打开方式。

从category的角度看，两个variety object，它们之间的映射，要保结构。它们没有微分的结构，not intrinsically。保结构，就是说有些概念在映射过去之后，仍然可以谈论。那么这个映射必须和代数方程的两种运算合拍。。。所以就只能是rational map。

所以两个variety之间的同构概念也就清楚了：A 到 B 可以rational，B 到 A 也可以rational - birational，双有理 - 而且都是一一映射。这就基本上差不多了。

[TheMatrix]

Coordinate ring, local ring, Ord_P of a function in the function field of a curve, 把我整糊涂了。我先休息一下，这个先留在这。

还在磕这个。懂多了一些，但是还没有磕明白。

关于曲线C上的函数x-1，下面两点的组合，共4个问题：
1，在P₁=(1,0)点，在P_∞=[0,1,0]
2，代数理解，分析理解。

现在只能说在P₁=(1,0)点的代数理解搞明白了。分析理解，有点影但是没有办法落实：x=1这条直线（竖直的）在P₁=(1,0)与曲线C相切，x稍微变一点，就会与曲线C交于两点，因此x-1在P₁是2阶零点。但是还不能完全说清楚，因为要在P₁展开得到w²的形式，才算完全清楚。

而在P_∞=[0,1,0]，代数理解也没得到，分析理解也不落实。代数理解的话，他就没有定义曲线在P_∞的local ring是什么，M_P也没有。分析理解的话，比P₁点还迷惑。

[FoxMe]

我也没弄清。看了Hartshorne的书，太抽象，没例子。网上其它的讲义也是不大清楚，下面这个例子感觉对不上，比如div(x)只看x，没管椭圆曲线的方程：

[FoxMe]

P_∞我就想当然了，因为系数之和为0: deg((f)) = 0.

而在P_∞=[0,1,0]，代数理解也没得到，分析理解也不落实。代数理解的话，他就没有定义曲线在P_∞的local ring是什么，M_P也没有。分析理解的话，比P₁点还迷惑。

[TheMatrix]

我也没弄清。看了Hartshorne的书，太抽象，没例子。网上其它的讲义也是不大清楚，下面这个例子感觉对不上，比如div(x)只看x，没管椭圆曲线的方程：

这个例子挺好。我现在能make sense of it。现在我的不完全理解的点还是在P_∞，我也是根据阶数相加应该等于0来凑的，还不能理解在P_∞本身的阶。

这个例子也是管椭圆曲线方程的。比如这个x，它作为一个二元polynomial的话，是定义在x-y平面（A²）上的。但是，只有作为椭圆曲线（一维）上的函数，它才有零点和pole。你把椭圆曲线局部想象成复平面，x是一个复变函数，有零点和pole。而二元复变函数，是没有零点和pole这个概念的 - 至少和一元复变函数是不一样的。

x这个函数，在椭圆曲线的(0,1)点和(0,-1)点取值为0。它们是1阶的，这个我基本上可以理解。

x这个函数，在椭圆曲线上必须有pole，这个从复变上来看是可以理解的。而椭圆曲线上除了P_∞，这里叫O_E，也就是齐次坐标[0,1,0]点，之外，其它点的x都不是无穷。所以只能x在P_∞点有一个pole。而这个pole的阶数，我现在只能根据相加为0，得到它是2阶。

[TheMatrix]

到目前为止，GTM这本书看到第三章一半，UTM看了第一章和appendix。GTM这本书前两章是基础知识，第三章开始讲椭圆曲线，相当于UTM的第一章。

先列一些概念结构在这里：
- variety - zero set
- projective
- functions on variety - coordinate ring
- maps between varieties - rational map
- curve - cubic curve - elliptic curve
- Weierstrass equation - group law - j-invariant
- order - zero/pole
- divsor - Riemann-Roch - genus

GTM还在第三章，UTM又看了两章 - 第二章和第三章。

领略了Mordell定理的证明。确实很复杂。使我想起Dirichlet的那个nx+y中有无穷多素数的证明。都必须构建新概念，才能把事情说清楚。

[FoxMe]

想了一下，可以用P(z)函数来解释：x=P(z), y=0.5P'(z).

可以看出x-1=P(z)-1在x=1处有二阶零点，因为P(z)-1=0，P'(z)=0；y有一阶零点，因为P'(z)=0（P''(z)不为0，待核实）。
无穷处可以用z=0来处理，P(z)-1在z=0处有二阶极点，y=0.5P'(z)有三阶极点（从P(z)定义可看出）。

这么做的好处是不用理想，那个没有太大必要。但是怎么理解椭圆曲线上的函数，怎么把两者串通，我还差一点点。

还在磕这个。懂多了一些，但是还没有磕明白。

关于曲线C上的函数x-1，下面两点的组合，共4个问题：
1，在P₁=(1,0)点，在P_∞=[0,1,0]
2，代数理解，分析理解。

现在只能说在P₁=(1,0)点的代数理解搞明白了。分析理解，有点影但是没有办法落实：x=1这条直线（竖直的）在P₁=(1,0)与曲线C相切，x稍微变一点，就会与曲线C交于两点，因此x-1在P₁是2阶零点。但是还不能完全说清楚，因为要在P₁展开得到w²的形式，才算完全清楚。

而在P_∞=[0,1,0]，代数理解也没得到，分析理解也不落实。代数理解的话，他就没有定义曲线在P_∞的local ring是什么，M_P也没有。分析理解的话，比P₁点还迷惑。