来来来，做道数学题

[TheMatrix2]

有些方程有无数解，因此可能用计算没法解决。

这个问题我看不出计算机如何能帮助验证。即使1/10000的分类，也仍然是无穷，于证明并无帮助。

[TheMatrix2]

y^2=x^3-4
y^2=x^3-2
were challenges by Fermat to British mathematicians.
Fermat said he could solve them by infinite descent, but gave no details.

[TheMatrix2]

y^2=x^3-4
y^2=x^3-2
were challenges by Fermat to British mathematicians.
Fermat said he could solve them by infinite descent, but gave no details.

The equation y^2=x^3+k is called Mordell’s equation due to Mordell’s work on it throughout his life.

[TheMatrix2]

y^2=x^3-4
y^2=x^3-2
were challenges by Fermat to British mathematicians.
Fermat said he could solve them by infinite descent, but gave no details.

来看看
y^2=x^3-2

瞪眼法可以看出x=3，y=5是一个解。也就是
5^2=3^3-2

两个等式相减：
(y+5)(y-5)=(x-3)(x^2+3x+9)
令x-3=z，得到
(y+5)(y-5)=z(z^2+9z+27) = M

也就是一个数(M)，有两种因数分解的方式：
M = (y+5)(y-5) --- 这两个数相差 10
M = z(z^2+9z+27) --- 这两个数相差就大了

也就是说一个数(M)，它的全部质因数（包括multiplicity），有两种方式分成两堆。

其中一种方式的两堆相差10。这说明了什么？我觉得这大概说明了这里没有“大”的质因数。

[zzsxt]

终于写全了
累
初二知识应该是够了

let x=m+1 (不妨设m为>3的正整数)

x^3-1
=(m+1)^3-1
=m*(m^2+3m+3)

分两种情况A和B：

情况A
m不为3的正整数倍
--------------------------------
此时，
(m+1)^2 < (m^2+3m+3) < (m+2)^2 ，所以(m^2+3m+3)不是完全平方数 ... (1)
m 和 (m^2+3m+3) 没有公因子 .................................................. (2)
由(1) (2)知，m不为3的正整数倍时，m和(m^2+3m+3)乘积不可能为完全平方数



情况B
m为3的正整数倍, m=3k (k为>1的正整数)
-------------------------------------------------------------
此时，m*(m^2+3m+3) = 9*k*(3k^2+3k+1)，k 和 (3k^2+3k+1)没有公因子

下面是反证法，来证明情况B也是不可能的：

若有 m*(m^2+3m+3)为完全平方数，则k 和 (3k^2+3k+1)皆为完全平方数，设
k=u^2 .................................................................(3)
3k^2+3k+1=(3p+1)^2 或3k^2+3k+1=(3p-1)^2 ...................(4)
(u和p皆为>2的整数)
由(3) (4)，得到
u^4+u^2=p(3p+2) 或u^4+u^2=p(3p-2) ...........................(5)
则p必为偶数，且u必为偶数，设
p=2q (q为>1的整数)
u=2v (v为>1的整数)
由(5)，得到
v^2(4v^2+1)=q(3q+1) 或v^2(4v^2+1)=q(3q-1)
考虑到v^2和 (4v^2+1)没有公因子，q和 (3q+1 )没有公因子，q和 (3q-1 )没有公因子，可设
v=a*b ...................................................................(6)
4v^2+1=c*d ............................................................(7)
q=a^2*c ................................................................(8)
3q-1=b^2*d ...........................(9)或 3q+1=b^2*d ...........................(10)
(a b c d皆为正整数，且没有公因子)

需要再细分成两种情况
情况B-1: (6)(7)(8)(9)同时成立
情况B-2: (6)(7)(8)(10)同时成立

情况B-1:
===========================
由(6)(7)(8)(9)，得到
a^2*(4b^2+3c)=d(c+b^2)
考虑到a^2和d没有公因子，(4b^2+3c)和(c+b^2)没有公因子，必有
(4b^2+3c)=d
a^2=(c+b^2)
所以
c=(a^2-b^2)
d=(3a^2+b^2)
由(6-7)，
4*a^2*b^2+1=4v^2+1=c*d=(a^2-b^2)*(3a^2+b^2)
得到
b^4+1=3(a^4-2a^2b^2)
考虑除以3的余数，上式不可能成立。
因此，(6)(7)(8)(9)不可能同时成立

情况B-2:
===========================
由(6)(7)(8)(10)，和情况B-1类似，可以的得到
c=(a^2+b^2)
d=(b^2-3a^2)
由(6-7)，
4*a^2*b^2+1=4v^2+1=c*d=(a^2+b^2)*(b^2-3a^2)
得到
(b^2-3a^2)^2=1+12a^4 ................(11)
由引理(见下)，知(11)没有正整数解
因此，(6)(7)(8)(10)也不可能同时成立

所以，情况B也是不可能的。

得证





-------【分割线】---------

【引理】
Y^2=1+12X^4没有正整数解


反证法：
设(x,y)是满足该方程的正整数解中的最小一对
显然，y为奇数，
(y+1)(y-1)=12x^4
故有
y+1=6u^4 且 y-1=2v^4 ................(1)
或者
y+1=2u^4 且 y-1=6v^4 ................(2)
u,v皆为>1正整数


情况(1) y+1=6u^4 且 y-1=2v^4
----------------------------------
3u^4-v^4=1
考虑除以3的余数，上式没有正整数解。


情况(2) y+1=2u^4 且 y-1=6v^4
----------------------------------
u^4-3v^4=1
得到
(u^2+1)(u^2-1)=3v^4 .............(3)

情况(2.1)
若u为奇数，则v为偶数，则由(3)得到
u^2+1=2m^4
u^2-1=24n^4
m,n皆为>1正整数
m^4=1+12n^4
因此
(n,m^2)也是Y^2=1+12X^4的正整数解
但是
n<x, m^2<y，这与(x,y)是满足Y^2=1+12X^4的正整数解中的最小一对矛盾

情况(2.2)
若u为偶数，则由(3)得到
u^2+1=p^4 或者 u^2+1=3p^4 ...........(4）
p为>1的正整数
显然(4)没有正整数解

引理得证

---

[TheMatrix2]

可以。我follow了全部，没有发现错误。

let x=m+1 (不妨设m为>3的正整数)

x^3-1
=(m+1)^3-1
=m*(m^2+3m+3)

分两种情况A和B：

情况A
m不为3的正整数倍
--------------------------------
此时，
(m+1)^2 < (m^2+3m+3) < (m+2)^2 ，所以(m^2+3m+3)不是完全平方数 ... (1)
m 和 (m^2+3m+3) 没有公因子 .................................................. (2)
由(1) (2)知，m不为3的正整数倍时，m和(m^2+3m+3)乘积不可能为完全平方数



情况B
m为3的正整数倍, m=3k (k为>1的正整数)
-------------------------------------------------------------
此时，m*(m^2+3m+3) = 9*k*(3k^2+3k+1)，k 和 (3k^2+3k+1)没有公因子

下面是反证法，来证明情况B也是不可能的：

若有 m*(m^2+3m+3)为完全平方数，则k 和 (3k^2+3k+1)皆为完全平方数，设
k=u^2 .................................................................(3)
3k^2+3k+1=(3p+1)^2 或3k^2+3k+1=(3p-1)^2 ...................(4)
(u和p皆为>2的整数)
由(3) (4)，得到
u^4+u^2=p(3p+2) 或u^4+u^2=p(3p-2) ...........................(5)
则p必为偶数，且u必为偶数，设
p=2q (q为>1的整数)
u=2v (v为>1的整数)
由(5)，得到
v^2(4v^2+1)=q(3q+1) 或v^2(4v^2+1)=q(3q-1)
考虑到v^2和 (4v^2+1)没有公因子，q和 (3q+1 )没有公因子，q和 (3q-1 )没有公因子，可设
v=a*b ...................................................................(6)
4v^2+1=c*d ............................................................(7)
q=a^2*c ................................................................(8)
3q-1=b^2*d ...........................(9)或 3q+1=b^2*d ...........................(10)
(a b c d皆为正整数，且没有公因子)

需要再细分成两种情况
情况B-1: (6)(7)(8)(9)同时成立
情况B-2: (6)(7)(8)(10)同时成立

情况B-1:
===========================
由(6)(7)(8)(9)，得到
a^2*(4b^2+3c)=d(c+b^2)
考虑到a^2和d没有公因子，(4b^2+3c)和(c+b^2)没有公因子，必有
(4b^2+3c)=d
a^2=(c+b^2)
所以
c=(a^2-b^2)
d=(3a^2+b^2)
由(6-7)，
4*a^2*b^2+1=4v^2+1=c*d=(a^2-b^2)*(3a^2+b^2)
得到
b^4+1=3(a^4-2a^2b^2)
考虑除以3的余数，上式不可能成立。
因此，(6)(7)(8)(9)不可能同时成立

情况B-2:
===========================
由(6)(7)(8)(10)，和情况B-1类似，可以的得到
c=(a^2+b^2)
d=(b^2-3a^2)
由(6-7)，
4*a^2*b^2+1=4v^2+1=c*d=(a^2+b^2)*(b^2-3a^2)
得到
(b^2-3a^2)^2=1+12a^4 ................(11)
由引理(见下)，知(11)没有正整数解
因此，(6)(7)(8)(10)也不可能同时成立

所以，情况B也是不可能的。

得证





-------【分割线】---------

【引理】
Y^2=1+12X^4没有正整数解


反证法：
设(x,y)是满足该方程的正整数解中的最小一对
显然，y为奇数，
(y+1)(y-1)=12x^4
故有
y+1=6u^4 且 y-1=2v^4 ................(1)
或者
y+1=2u^4 且 y-1=6v^4 ................(2)
u,v皆为>1正整数


情况(1) y+1=6u^4 且 y-1=2v^4
----------------------------------
3u^4-v^4=1
考虑除以3的余数，上式没有正整数解。


情况(2) y+1=2u^4 且 y-1=6v^4
----------------------------------
u^4-3v^4=1
得到
(u^2+1)(u^2-1)=3v^4 .............(3)

情况(2.1)
若u为奇数，则v为偶数，则由(3)得到
u^2+1=2m^4
u^2-1=24n^4
m,n皆为>1正整数
m^4=1+12n^4
因此
(n,m^2)也是Y^2=1+12X^4的正整数解
但是
n<x, m^2<y，这与(x,y)是满足Y^2=1+12X^4的正整数解中的最小一对矛盾

情况(2.2)
若u为偶数，则由(3)得到
u^2+1=p^4 或者 u^2+1=3p^4 ...........(4）
p为>1的正整数
显然(4)没有正整数解

引理得证

---