Sheaf and Functor demystified

[forecasting]

问题中也要用到concept和notation。这些也要弄清楚，省去后面很多误解。

刚才看到吴文俊2007年一本书的序言里大骂Scheme之类理论的话。
他拓扑出身，不喜欢太抽象的代数理论和技术

[forecasting]

我想的是，把椭圆曲线 E = {y^2= x^3-2x+5} over Q 的点集作为一个空间。把它和 R=Q[X,Y]/(f) 这个ring做一个对应。E上的点对应于R的spectrum。

如此，做了拓扑空间，做了对应，想解决什么问题，怎么解决？

[TheMatrix]

刚才看到吴文俊2007年一本书的序言里大骂Scheme之类理论的话。
他拓扑出身，不喜欢太抽象的代数理论和技术

我的感觉是，Zariski拓扑确实很粗糙，基本上是finite complement拓扑。也就是不需要有无穷，用有限的代数语言就可以直接描述的东西。所以建立在Zariski拓扑上的sheaf，scheme之类的东西，只是对现有知识的一种收纳归类的容器。作用和category的语言类似。

但是这种抽象可能也有意义。看后续怎么发展了。

[TheMatrix]

如此，做了拓扑空间，做了对应，想解决什么问题，怎么解决？

不知道啊。就是再扫描一下。

[forecasting]

来个简单一些的：
用概形技术证明二次型方程：
x^2+y^2= z^2
这个方程在有理数数域Q上有非平凡解（即非零解），即证明哈瑟–明科夫斯基定理：一个二次型方程在有理数域上有解，当且仅当它在所有p-进数域Q_p和实数域𝑅上都有解。

[FoxMe]

噢，看来也不要高估。据说这个方向做研究很难，太抽象，博士读下来还不知道做啥。不像数论，总有问题做。

我的感觉是，Zariski拓扑确实很粗糙，基本上是finite complement拓扑。也就是不需要有无穷，用有限的代数语言就可以直接描述的东西。所以建立在Zariski拓扑上的sheaf，scheme之类的东西，只是对现有知识的一种收纳归类的容器。作用和category的语言类似。

但是这种抽象可能也有意义。看后续怎么发展了。

[TheMatrix]

来个简单一些的：
用概形技术证明二次型方程：
x^2+y^2= z^2
这个方程在有理数数域Q上有非平凡解（即非零解），即证明哈瑟–明科夫斯基定理：一个二次型方程在有理数域上有解，当且仅当它在所有p-进数域Q_p和实数域𝑅上都有解。

嗯。这是 local-global principal。但我没有研究过其证明。

用概型技术来证明这个问题，会不会比较提纲携领？你可以写一个梗概，我想领略一下。

[TheMatrix]

噢，看来也不要高估。据说这个方向做研究很难，太抽象，博士读下来还不知道做啥。不像数论，总有问题做。

不知道算数代数几何是怎么用到scheme这些技术的。

[forecasting]

不知道算数代数几何是怎么用到scheme这些技术的。

一开始弄椭圆曲线，没反应，就换闵可夫斯基那个定理来试试。
椭圆曲线跟FLT有关，Wiles证明谷山丰-志村-魏依猜想，有一部分就用了概形技术，里面有约化，稳定，半稳定等概念。本来是要弄一下这些的。这本书最后一章就是椭圆曲线和FLT，日文翻译成中文的
http://library.lol/main/FDCE0D931FCE4A4 ... 2442057F88

[forecasting]

嗯。这是 local-global principal。但我没有研究过其证明。

用概型技术来证明这个问题，会不会比较提纲携领？你可以写一个梗概，我想领略一下。

相当于做练习。又把问题踢回来了。

[forecasting]

嗯。这是 local-global principal。但我没有研究过其证明。

用概型技术来证明这个问题，会不会比较提纲携领？你可以写一个梗概，我想领略一下。

构造全局环层或局部环层，就是选定基域，构造全局环或者局部环，然后构造全局环层或者局部环层以及拓扑空间。然后把局部环粘合起来，或者把全局环局部化。在局部环上证明其有整数解，证明在实数域上证明有解。根据全局-局部原则，就可以推定原方程或者多项式有非零的整数解/或者非平凡整点？

是不是这样？把这些细化/技术化，就证明了Hasse-Minkowski定理？怎么确定全局环，确定环的基域，确定局部环，局部环的基域，然后在局部环上证明？全局环确定后如何局部化？局部环层先确定如何保证能一致并粘合起来？

[TheMatrix]

构造全局环层或局部环层，就是选定基域，构造全局环或者局部环，然后构造全局环层或者局部环层以及拓扑空间。然后把局部环粘合起来，或者把全局环局部化。在局部环上证明其有整数解，证明在实数域上证明有解。根据全局-局部原则，就可以推定原方程或者多项式有非零的整数解/或者非平凡整点？

是不是这样？把这些细化/技术化，就证明了Hasse-Minkowski定理？怎么确定全局环，确定环的基域，确定局部环，局部环的基域，然后在局部环上证明？全局环确定后如何局部化？局部环层先确定如何保证能一致并粘合起来？

不能“根据全局-局部原则”，我们的目标是证明“全局-局部原则”在二阶代数方程上成立。我们是想用scheme的方法证明，或者是包装其证明，以显示scheme的威力。

[forecasting]

不能“根据全局-局部原则”，我们的目标是证明“全局-局部原则”在二阶代数方程上成立。我们是想用scheme的方法证明，或者是包装其证明，以显示scheme的威力。

好像证明local-global原则就更困难了，得用不少其他的知识。当然你能做出来，旁观者都高兴

[forecasting]

STEM又沉寂了，不出现在热门列表上

[TheMatrix]

好像证明local-global原则就更困难了，得用不少其他的知识。当然你能做出来，旁观者都高兴

误会了。这就是为什么说话必须清楚，否则会有不少误会。

我看你的贴觉得你想要证明“local-global principle”，而且是以scheme的方法证明。所以我说你如果能lay out这个证明的话，我愿意领略一下。

如果不是的话，那你想干什么呢？

[FoxMe]

我的解释应该是对的，用植物的各个部分作类比。还有一个类似的名词是“纤维”。

名词的翻译要准确，那些瞎翻译的人，估计自己也没学懂。

The terminology in algebraic geometry and related fields—like "sheaf," "stalk," and "germ"—indeed borrows metaphorically from botany. This naming arises because these mathematical structures have properties or behaviors that resemble the corresponding aspects of plants. Here's an explanation of each term:

Sheaf
A sheaf organizes data (like functions, sections, or solutions to equations) across a space in a way that respects the local-to-global principle.
Metaphorically, just as a sheaf of wheat bundles together many stalks, a sheaf in mathematics bundles together local data into a cohesive whole over a topological space or scheme.
Stalk
The stalk of a sheaf at a point collects all the local data (e.g., functions, sections) defined near that point, modulo equivalence for being "indistinguishable" at the point.
This term evokes the stalk of a plant, which is the central supporting structure. In a similar way, the stalk of a sheaf is a foundational structure holding all the "local pieces" of data at a specific point.
Germ
A germ represents the equivalence class of a local section (or function) near a point, considering only its behavior arbitrarily close to that point.
The term comes from botany, where a germ is the part of a seed that can develop into a new plant. Similarly, in mathematics, a germ encodes enough local information to "grow" a function or section locally.
The botanical metaphor is apt because these concepts deal with "growth," "continuity," and "localization." For example:

A sheaf gives a global structure by piecing together "local stalks."
A stalk is a local structure that encapsulates what happens in the immediate vicinity of a point.
A germ focuses on the infinitesimal neighborhood of a point, akin to the way a seed's germ contains the essence of a future plant.
The imagery makes these abstract concepts more intuitive and memorable!

“席”和“层”是什么意思？不懂。

我的理解是这样的：sheaf是一捆水稻（函数），它包括很多株水稻; stalk是一株水稻，但是你仔细看，一株水稻有好几棵；germ是一棵水稻，有好几片叶子，但只有一根茎(stalk),它们都是由一粒种子的胚胎(germ)发育出来的。

发明这些术语的人肯定是个农民

[TheMatrix]

我的解释应该是对的，用植物的各个部分作类比。还有一个类似的名词是“纤维”。

名词的翻译要准确，那些瞎翻译的人，估计自己也没学懂。

The terminology in algebraic geometry and related fields—like "sheaf," "stalk," and "germ"—indeed borrows metaphorically from botany. This naming arises because these mathematical structures have properties or behaviors that resemble the corresponding aspects of plants. Here's an explanation of each term:

Sheaf
A sheaf organizes data (like functions, sections, or solutions to equations) across a space in a way that respects the local-to-global principle.
Metaphorically, just as a sheaf of wheat bundles together many stalks, a sheaf in mathematics bundles together local data into a cohesive whole over a topological space or scheme.
Stalk
The stalk of a sheaf at a point collects all the local data (e.g., functions, sections) defined near that point, modulo equivalence for being "indistinguishable" at the point.
This term evokes the stalk of a plant, which is the central supporting structure. In a similar way, the stalk of a sheaf is a foundational structure holding all the "local pieces" of data at a specific point.
Germ
A germ represents the equivalence class of a local section (or function) near a point, considering only its behavior arbitrarily close to that point.
The term comes from botany, where a germ is the part of a seed that can develop into a new plant. Similarly, in mathematics, a germ encodes enough local information to "grow" a function or section locally.
The botanical metaphor is apt because these concepts deal with "growth," "continuity," and "localization." For example:

A sheaf gives a global structure by piecing together "local stalks."
A stalk is a local structure that encapsulates what happens in the immediate vicinity of a point.
A germ focuses on the infinitesimal neighborhood of a point, akin to the way a seed's germ contains the essence of a future plant.
The imagery makes these abstract concepts more intuitive and memorable!

Sheaf作为一捆stalk也有道理。

我把sheaf想象成席或层，似乎还是着眼于stalk，有点把stalk摊开来看的意思。