有限群表示理论的核心定理

[TheMatrix]

对，共轭是一个很重要的概念。令K_a是群G中a的共轭类，C_a是a的centralizer，那么

|G| = |K_a| |C_a| （从同态定理很容易看出）
|G| = \sum |K_a|

这个规律影响了群的结构。因为|K_a|是|G|的因子，可以推出群表示的平方之和公式中，

|G| = d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + ...

每个d_i都是|G|的因子。这样以来，d_i的选择非常有限。

嗯。很奇妙。约束很强。

[TheMatrix]

对，共轭是一个很重要的概念。令K_a是群G中a的共轭类，C_a是a的centralizer，那么

|G| = |K_a| |C_a| （从同态定理很容易看出）
|G| = \sum |K_a|

这个规律影响了群的结构。因为|K_a|是|G|的因子，可以推出群表示的平方之和公式中，

|G| = d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + ...

每个d_i都是|G|的因子。这样以来，d_i的选择非常有限。

群是很贫瘠的土壤。所以才能有单群的完全分类。但是它可以和其他结构发生关系，研究这些关系也可以说是研究群 - 这样它就丰富了。

[Caravel]

物理学家和数学家关注点不一样，物理学家只关心到把矩阵表示写出来就完了，数学还关心很多其他的抽象的探索。

[TheMatrix]

物理学家和数学家关注点不一样，物理学家只关心到把矩阵表示写出来就完了，数学还关心很多其他的抽象的探索。

群表示论比群论本身还丰富。

[Caravel]

群表示论比群论本身还丰富。

我找到一个群表示论的历史，本来想读一下，后来发现后面的内容太数学。

https://mathcubic.org/article/article/i ... cid/4.html

[TheMatrix]

我找到一个群表示论的历史，本来想读一下，后来发现后面的内容太数学。

https://mathcubic.org/article/article/i ... cid/4.html

哦。不错。我找到了它的英文版：

https://www.ams.org/notices/199803/lam.pdf
https://www.ams.org/notices/199804/lam2.pdf

不长。存在这，有空读一下。

[FoxMe]

T. Y. Lam，我看过他的书。

[FoxMe]

群是很贫瘠的土壤。所以才能有单群的完全分类。但是它可以和其他结构发生关系，研究这些关系也可以说是研究群 - 这样它就丰富了。

对， 比如伽罗华群，和数论联系起来了。似乎伽罗华群在代数几何里也有，但我不了解。

[FoxMe]

https://math.mit.edu/~etingof/replect.pdf

“for high school students, and its extended version given by the first author to MIT undergraduate math students”

MIT这个讲义，直接从algebra的表示开讲。高中生这么厉害？对本科生也太难了吧？

[TheMatrix]

对，共轭是一个很重要的概念。令K_a是群G中a的共轭类，C_a是a的centralizer，那么

|G| = |K_a| |C_a| （从同态定理很容易看出）
|G| = \sum |K_a|

这个规律影响了群的结构。因为|K_a|是|G|的因子，可以推出群表示的平方之和公式中，

|G| = d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + ...

每个d_i都是|G|的因子。这样以来，d_i的选择非常有限。

这些结论的确是太强了：

按照不可约表示的阶数（d）：
|G| = d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + ...

按照共轭类的大小：
|G| = |K_1| + |K_2| + |K_3|+...

不可约表示的数目还要等于共轭类的数目，也就是不可约表示和共轭类一一对应。
那么提出一个假设：
Claim: |K_i| = d_i^2

|G|不但有d_i因子，还得有d_i^2因子。其中一些平方因子加起来还得等于|G|。这限制太强了。

这个Claim是不是对的？ - 不知道群论或者群表示论里有没有结论。

[Caravel]

https://math.mit.edu/~etingof/replect.pdf

“for high school students, and its extended version given by the first author to MIT undergraduate math students”

MIT这个讲义，直接从algebra的表示开讲。高中生这么厉害？对本科生也太难了吧？

这是针对舒尔茨，韦东奕，许晨阳这样的高中生，如果他们高中就开始学高等代数应该不是难事把。

[verdelite]

这是针对舒尔茨，韦东奕，许晨阳这样的高中生，如果他们高中就开始学高等代数应该不是难事把。

他们高中直接学不难，但是如果奥赛题塞了太多在大脑里，就难了。

[TheMatrix]

他们高中直接学不难，但是如果奥赛题塞了太多在大脑里，就难了。

我觉得还是按部就班来 - 人的智力体力都有生长周期。有人早熟，但是早熟不一定好。催化就更不好。

[Caravel]

他们高中直接学不难，但是如果奥赛题塞了太多在大脑里，就难了。

只搞1，2年还是可以的。

[Caravel]

我觉得还是按部就班来 - 人的智力体力都有生长周期。有人早熟，但是早熟不一定好。催化就更不好。

可以来几遍嘛，第一遍可以高中来看看能学多少，大学再来一遍，研究生再来一遍。这些抽象的语言，谁都有barrier，有能力的早点expose一下不是坏事。

[FoxMe]

这些结论的确是太强了：

按照不可约表示的阶数（d）：
|G| = d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + ...

按照共轭类的大小：
|G| = |K_1| + |K_2| + |K_3|+...

不可约表示的数目还要等于共轭类的数目，也就是不可约表示和共轭类一一对应。
那么提出一个假设：
Claim: |K_i| = d_i^2

|G|不但有d_i因子，还得有d_i^2因子。其中一些平方因子加起来还得等于|G|。这限制太强了。

这个Claim是不是对的？ - 不知道群论或者群表示论里有没有结论。

不对，不一定有d_i^2因子。比如对称群S_3有3个共轭类：

{(1)}, {(12), (13), (23)}, {(123), (132)}
6 = 1 + 2 + 3

但是3^2显然不可能，所以按照不可约表示的阶数
6 = 1 + 1 + 2^2

什么原因？我还没搞懂。

[TheMatrix]

不对，不一定有d_i^2因子。比如对称群S_3有3个共轭类：

{(1)}, {(12), (13), (23)}, {(123), (132)}
6 = 1 + 2 + 3

但是3^2显然不可能，所以按照不可约表示的阶数
6 = 1 + 1 + 2^2

什么原因？我还没搞懂。

这个例子太好了。解了我的疑惑。

[TheMatrix]

不对，不一定有d_i^2因子。比如对称群S_3有3个共轭类：

{(1)}, {(12), (13), (23)}, {(123), (132)}
6 = 1 + 2 + 3

但是3^2显然不可能，所以按照不可约表示的阶数
6 = 1 + 1 + 2^2

什么原因？我还没搞懂。

每个不可约表示的阶数是|G|的因子。
每个共轭类的元素数也是|G|的因子。
不可约表示的阶数的平方和等于|G|。
共轭类的元素数目之和也等于|G|。
不可约表示的数目和共轭类的数目还相等。

但是，不可约表示的阶数的平方，和共轭类元素数目，之间并不简单的对应。

[FoxMe]

那么，共轭类和不可约表示是怎么一一对应的？我没搞懂。

[TheMatrix]

那么，共轭类和不可约表示是怎么一一对应的？我没搞懂。

数目相同。能叫一一对应吗？内部应该是有一个比较深刻的一一对应关系。但是可能没有显而易见的。

哦，才发现我少写了“没有”两字 - 没有显而易见的一一对应关系。