新未名空间

FoxMe 写了： 2025年 11月 7日 17:47

projective module我一直没搞懂，只知道是free module的推广。它可以和另一个模的直和是free module，它就是这个free module的投影。

比如数域K中，维基百科上说a non-principal ideal （一维模）is always a projective module that is not a free module.但是没说一般的O_K module是不是projective?

还有Hereditary ring: a ring R is called hereditary if all submodules of projective modules over R are again projective. 也就是遗传了projective的性质。

你说的是对的，projective module 是free module 的direct summand。

数域K中，O_K 中的ideal I，根据定义，是O_K module。如果ideal 是principal，那就是由一个元素 a 生成，那（a）就是O_K 的rank 1 free module。但如果 I 不是principal，那 I 就不是free module，但它是 projective module。(这个证明好像有点难，我也不知道 在具体例子里怎么操作。）

当然一般的O_K module 不是projective，你可以取quotient module。I\subset O_K 是个ideal，那O_K/I 就是O_K 的torsion module。

如果I=P 是prime ideal，那 O_K/P 就是P 处的 residue field，是个有限域。

TheMatrix 写了： 2025年 11月 8日 18:20

我是业余爱好。东一榔头西一棒子，比较没有系统性。

精神可嘉，可敬。

我最近也自学了一下数论的东西，所以也借这个机会交流一下。

其实我在stackexchange 交流过一些问题，不过那个平台不欢迎 太泛泛的问题，一定要非常具体。

所以在这里的作用是不同的。

三农 写了： 2025年 11月 8日 18:53

你说的是对的，projective module 是free module 的direct summand。

数域K中，O_K 中的ideal I，根据定义，是O_K module。如果ideal 是principal，那就是由一个元素 a 生成，那（a）就是O_K 的rank 1 free module。但如果 I 不是principal，那 I 就不是free module，但它是 projective module。(这个证明好像有点难，我也不知道 在具体例子里怎么操作。）

这个可以看个例子：比如 R=Z[x,y,z]，由(x,y)生成的ideal不是principal ideal，那它是一个projective R-module吗？

TheMatrix 写了： 2025年 11月 7日 14:38

我对projective module和projective resolution有了一点更清晰的了解了。

projective module基本上相当于free module。它是希望有free module的好处，但是如果不能完全成为free module的话，那么把free module的“好处”提取出来，作为性质，定义一个module，就是projective module。

free module有什么好处呢？就是它有生成元，生成元之间是互相无关的，这样的话定义它到另一个module的homomorphism，可以随便定义生成元的映射就行了。可以随便定义，所以叫free。而projective module，它可能做不到free，但是它也相当于有生成元，互相之间可以分块，块之间互相无关，所以它是块free。

最后一段有点问题。

但你是对的，projective module 保留了 free module 的好处：你的随便定义homomorphism。 在homological algebra （同调代数）里，这个性质叫 exactness： Hom（P，*）是exact 的。

对一般的module M over ring R，Hom(M, *) is only left exact. That is, if

0 -> A -> B -> C -> 0

is exact as R modules, then

0 <- Hom(M, A) <- Hom(M, B) <- Hom(M, C)

is exact, but we don't necessarily have the last <- 0.

If M is free or projective, then we have the last exactness, 正是因为你说的 homomorphism 容易定义。

Projective module 在几何上有有趣的意义。如果 X 是个空间，E 是 X 上的向量丛，那 C（E），E 的sections，是F（X），X上的函数，的projective module。只有E是平凡向量丛，E=X x Rⁿ, 的时候，这个module 是free 的。

所以projective 而非free module 描述了空间的某种 twisting。有意思的是，好像群，环，域这些代数结构，都有这样的twisting，所以这些拓扑的概念和工具，象cohomology，K-theory，在代数上都有大用处。

三农 写了： 2025年 11月 8日 19:44

最后一段有点问题。

但你是对的，projective module 保留了 free module 的好处：你的随便定义homomorphism。 在homological algebra （同调代数）里，这个性质叫 exactness： Hom（P，*）是exact 的。

对一般的module M over ring R，Hom(M, *) is only left exact. That is, if

0 -> A -> B -> C -> 0

is exact as R modules, then

0 <- Hom(M, A) <- Hom(M, B) <- Hom(M, C)

is exact, but we don't necessarily have the last <- 0.

If M is free or projective, then we have the last exactness, 正是因为你说的 homomorphism 容易定义。

这个我知道。但是我没有验证过。

三农 写了： 2025年 11月 8日 19:44

Projective module 在几何上有有趣的意义。如果 X 是个空间，E 是 X 上的向量丛，那 C（E），E 的sections，是F（X），X上的函数，的projective module。只有E是平凡向量丛，E=X x Rⁿ, 的时候，这个module 是free 的。

所以projective 而非free module 描述了空间的某种 twisting。有意思的是，好像群，环，域这些代数结构，都有这样的twisting，所以这些拓扑的概念和工具，象cohomology，K-theory，在代数上都有大用处。

这个我听说过。确实很有几何意义。

TheMatrix 写了： 2025年 11月 8日 21:03

这个我知道。但是我没有验证过。

这个我听说过。确实很有几何意义。

好多环 的projective module 只能是 free 的，象Z， PID，local ring。

Serre conjecture 说 域上的 多项式环 k[x_1, ..., x_n] 也有这个性质。这些都是和 （finitely generated）projective modules = vector bundles 这个几何图像有关。

TheMatrix 写了： 2025年 11月 8日 21:03

这个我知道。但是我没有验证过。

最简单的例子是 R=Z，所以R modules 是阿贝尔群。

Z/2 不是 projective。Hom(Z/2, *) 作用在

0 -> Z -> Z -> Z/2 -> 0

不是exact 的，这里第二个映射是 乘以2.

TheMatrix 写了： 2025年 11月 8日 19:41

这个可以看个例子：比如 R=Z[x,y,z]，由(x,y)生成的ideal不是principal ideal，那它是一个projective R-module吗？

这个不是projective module。你其实很难找到另一个module M， 使 M + (x,y) = free。

感觉上面Serre conjecture 有一个推广，
https://en.wikipedia.org/wiki/Bass–Quillen_conjecture
这个就 说明 R=Z[x, y, z]的projective 只能是free （虽然Z 不是域）。

所以 number ring O_K 的ideal 是projective 是依赖于 O_K 是Dedekind domain 的，对一般的环是不对的。

但是，对这里面 理想 I，怎么找到 M 使得 M+I free，我还从来没算过例子。

三农 写了： 2025年 11月 8日 23:07

这个不是projective module。你其实很难找到另一个module M， 使 M + (x,y) = free。

感觉上面Serre conjecture 有一个推广，
https://en.wikipedia.org/wiki/Bass–Quillen_conjecture
这个就 说明 R=Z[x, y, z]的projective 只能是free （虽然Z 不是域）。

所以 number ring O_K 的ideal 是projective 是依赖于 O_K 是Dedekind domain 的，对一般的环是不对的。

但是，对这里面 理想 I，怎么找到 M 使得 M+I free，我还从来没算过例子。

嗯。那么如果 Z[x,y,z]中，x= √2, y= √3, z= √5, (x,y) ideal 就是projective module over R了？

三农 写了： 2025年 11月 8日 22:33

好多环 的projective module 只能是 free 的，象Z， PID，local ring。

Serre conjecture 说 域上的 多项式环 k[x_1, ..., x_n] 也有这个性质。这些都是和 （finitely generated）projective modules = vector bundles 这个几何图像有关。

我听说过projective module over a PID is free，据说是个深刻的结论。也就是说难以证明。

projective module的几何图像确实很值得玩味，我也一直在想。

一般的projective module，指不是从manifold section和function来的projective module，是不是也有几何图像？比如类似以generator集合为base space的fiber bundle？

TheMatrix 写了： 2025年 11月 9日 07:31

嗯。那么如果 Z[x,y,z]中，x= √2, y= √3, z= √5, (x,y) ideal 就是projective module over R了？

这么赋值 在环论里没有意义吧。

TheMatrix 写了： 2025年 11月 9日 07:56

我听说过projective module over a PID is free，据说是个深刻的结论。也就是说难以证明。

projective module的几何图像确实很值得玩味，我也一直在想。

一般的projective module，指不是从manifold section和function来的projective module，是不是也有几何图像？比如类似以generator集合为base space的fiber bundle？

PID 的有限生成模有分类，只能是 free module direct sum torsion module。这个是 有限生成阿贝尔群 分类结果的推广（对应于 PID=Z ）。

那projective module 没有torsion element（因为是free module的direct summand），所以只能是 free 的。

对应的，数环 O_K 是Dedekind domain。Dedekind domain上的有限生成模也有分类结果，大意是 上面的 free 应该把其中

一个 R 换成 R中的理想 I。

代数的几何图像，那就是Grothendieck 的scheme 理论了，至少对交换环是。不过你最后一句话不太make sense。

我感到{1,g1,g1g2,...,g1 ···gi}只是{1,g,h,k,...}的另一种写法，不知道他为啥要这么写。

TheMatrix 写了： 2025年 11月 8日 17:45

哦。这么来的啊。我前面看到{1,g1,g1g2,...,g1 ···gi}是Z[Gi]的一组基，但是没有验证。

我看到的是 P_1=Z[G²]，所以 f: P_1 --> M的形式是f(x,g)。然后说fix x=1，就有了f(1,g)，定义为φ(g)。

可以fix x=1是因为这是一个G-module之间的homorphism，x可以当作一个系数提出来。

P_1作为G-module的一组基是什么？看一下。

P_1=Z[G x G]作为Z-module的基是 { (g,h): g,h ∈ G }，数量是 |G|² 。

作为 Z[G]-module的话，G元素可以作为系数提出来，所以fix其中一个等于1，所以基就是 { (1,g): g ∈ G}，数量为 |G|。

再看P_2 = Z[G x G x G]。作为Z-module的基是 { (f,g,h): f,g,h ∈ G }，数量是 |G|^3。

作为 Z[G]-module的话，还是G元素可以提出来，所以还是可以fix其中一个。所以基就是 { (1,g,h): g,h ∈ G}，数量为 |G|² 。

{1,g1,g1g2,...,g1 ···gi}又是怎么出来的呢？

哦。对G是映射，对P_i 来说是G-homomorphism.

TheMatrix 写了： 2025年 11月 8日 17:47

Galois group 不是 G-module。Gal(K*/K) --> E[n] 只是一个 set theoretic map.

这就非常接近free module，就差这一点还不是projective module？

三农 写了： 2025年 11月 9日 10:19

对应的，数环 O_K 是Dedekind domain。Dedekind domain上的有限生成模也有分类结果，大意是 上面的 free 应该把其中一个 R 换成 R中的理想 I。

三农 写了： 2025年 11月 9日 10:19

PID 的有限生成模有分类，只能是 free module direct sum torsion module。这个是 有限生成阿贝尔群 分类结果的推广（对应于 PID=Z ）。

那projective module 没有torsion element（因为是free module的direct summand），所以只能是 free 的。

嗯。chatgpt给了一个sketch proof "finitely generated projective module over a PID is free"的证明。和你说的一样。看来也没那么难。

这里我有点疑惑。如果限定torsion-free, O_K module 是不是projective？参考文献？

三农 写了： 2025年 11月 8日 18:53

当然一般的O_K module 不是projective，你可以取quotient module。I\subset O_K 是个ideal，那O_K/I 就是O_K 的torsion module。

如果I=P 是prime ideal，那 O_K/P 就是P 处的 residue field，是个有限域。

FoxMe 写了： 2025年 11月 9日 10:58

这里我有点疑惑。如果限定torsion-free, O_K module 是不是projective？参考文献？

是的，你这句话正好是 Lang，Algebraic number theory, 2nd edition, p. 29, Prop 26.

这个是上面Dedekind domain f.g. modules分类结果的一个特例。其实有很多例子可以检验，应该都不平凡。

https://math.stackexchange.com/question ... nd-domains

我是在想怎么找到 一个理想 的complementary summand，

https://math.stackexchange.com/question ... 70_5107732

没人回我。

谢谢。有人回答了

这个例子很有意思，这里的kernel有个名字叫syzygy, 它也是一个module:

https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's ... relations)

也就是说，projective module和它的syzygy module合起来，就是free module, 尽管二者都不是自由的。

三农 写了： 2025年 11月 9日 11:39

是的，你这句话正好是 Lang，Algebraic number theory, 2nd edition, p. 29, Prop 26.

这个是上面Dedekind domain f.g. modules分类结果的一个特例。其实有很多例子可以检验，应该都不平凡。

https://math.stackexchange.com/question ... nd-domains

我是在想怎么找到 一个理想 的complementary summand，

https://math.stackexchange.com/question ... 70_5107732

没人回我。

FoxMe 写了： 2025年 11月 9日 16:55

谢谢。有人回答了

这个例子很有意思，这里的kernel有个名字叫syzygy, 它也是一个module:

https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's ... relations)

也就是说，projective module和它的syzygy module合起来，就是free module, 尽管二者都不是自由的。

我认为这还是偷懒的，因为我们没有 I->R² to split R²-> I. 如果 I 是projective，我们知道这样的splitting 存在，但我想看到它。

不过，答案还是有意思的，它把 syzygy 和这个联系起来，而且它还说 ker(\phi) \cong I^{-1}. 所以我想要的 complement 就是这个理想的 inverse。在这个例子里，

I.I^-1=R, I + I^-1= R².