新未名空间

Caravel 写了： 2023年 1月 6日 16:41 这其中最后一步是怎么弄的我还没有看明白，假设已经找到20维表示了，怎么找到那6维的不变子空间。是直接brute force求解6个基向量么？这样有120个变量，每个群元素的character都知道，有120个方程，好像够了，但是似乎比较慢。

不是这样求。这样求肯定很慢。

是要找一个20维的向量α，这个向量在那6维的不变子空间中。然后用S5的120个元素作用在这个向量上，得到120个20维的向量。而这120个20维的向量仍然在这6维的不变子空间中 - 它们放在一起，rank=6。然后就可以在其中选出6个向量作为这个6维不变子空间的基。这样就找到这6维的不变子空间了。

所以就是要找这个α。这个α可以看成是20个点（每个点是一个coset）上的一个函数。它和character的有点像 - character是120个点（每个点是一个群元素，也可以看成是一个{e}的coset）上的一个函数。从一个character (ch)可以得到这样一个α。其赋值方法是，for a coset s, α(s)= Σ ch(g) for g in s。

这么做为什么可以呢？这个我也没证明。但是我感觉很合理 - 一试马上confirm了。呵呵。

TheMatrix 写了： 2023年 1月 6日 17:25 不是这样求。这样求肯定很慢。

是要找一个20维的向量α，这个向量在那6维的不变子空间中。然后用S5的120个元素作用在这个向量上，得到120个20维的向量。而这120个20维的向量仍然在这6维的不变子空间中 - 它们放在一起，rank=6。然后就可以在其中选出6个向量作为这个6维不变子空间的基。这样就找到这6维的不变子空间了。

所以就是要找这个α。这个α可以看成是20个点（每个点是一个coset）上的一个函数。它和character的有点像 - character是120个点（每个点是一个群元素，也可以看成是一个{e}的coset）上的一个函数。从一个character (ch)可以得到这样一个α。其赋值方法是，for a coset s, α(s)= Σ ch(g) for g in s。

这么做为什么可以呢？这个我也没证明。但是我感觉很合理 - 一试马上confirm了。呵呵。

哦，这样清楚了，这么构造a就直接可以了，看来应该是有点什么invariant的东西在里面。

TheMatrix 写了： 2023年 1月 6日 17:25 不是这样求。这样求肯定很慢。

是要找一个20维的向量α，这个向量在那6维的不变子空间中。然后用S5的120个元素作用在这个向量上，得到120个20维的向量。而这120个20维的向量仍然在这6维的不变子空间中 - 它们放在一起，rank=6。然后就可以在其中选出6个向量作为这个6维不变子空间的基。这样就找到这6维的不变子空间了。

所以就是要找这个α。这个α可以看成是20个点（每个点是一个coset）上的一个函数。它和character的有点像 - character是120个点（每个点是一个群元素，也可以看成是一个{e}的coset）上的一个函数。从一个character (ch)可以得到这样一个α。其赋值方法是，for a coset s, α(s)= Σ ch(g) for g in s。

这么做为什么可以呢？这个我也没证明。但是我感觉很合理 - 一试马上confirm了。呵呵。

这个我知道为什么可以了。这个叫equivariant。

我们看的是两个表示空间之间的变换：一个是regular representation空间，也就是120个群元素上的函数的空间，另一个是subgroup coset representation空间，也就是20个coset上的函数空间。这两个都是G的表示空间。我们要找的是大空间到小空间的线性变换，可以称作一个projection。

但是它必须是G-equivariant的，f(g.x)=g.f(x)，也就是和G action commute。既是线性，又要G-equivariant，那只能是coset内元素值相加。G-equivariant保证了大空间中的不变子空间project到小空间后，仍然是不变子空间。

TheMatrix 写了： 2023年 1月 7日 00:15 这个我知道为什么可以了。这个叫equivariant。

我们看的是两个表示空间之间的变换：一个是regular representation空间，也就是120个群元素上的函数的空间，另一个是subgroup coset representation空间，也就是20个coset上的函数空间。这两个都是G的表示空间。我们要找的是大空间到小空间的线性变换，可以称作一个projection。

但是它必须是G-equivariant的，f(g.x)=g.f(x)，也就是和G action commute。既是线性，又要G-equivariant，那只能是coset内元素值相加。G-equivariant保证了大空间中的不变子空间project到小空间后，仍然是不变子空间。

确实，group representation是研究G action，有G action的地方必须考虑G-equivariant。回头看了一下Schur Lemma和Maschke theorem，都是要求G-equivariant的，而且用G-equivariant表述也有更高一点的抽象。

TheMatrix 写了： 2023年 1月 7日 09:37 确实，group representation是研究G action，有G action的地方必须考虑G-equivariant。回头看了一下Schur Lemma和Maschke theorem，都是要求G-equivariant的，而且用G-equivariant表述也有更高一点的抽象。

Maschke theorem是construct一个G-equivariant projection，Schur Lemma是以G-equivariant为条件，研究线性变换的性质。我前面的构造也是construct一个G-equivariant projection - 从 regular representation 到 subgroup coset permutation representation。

TheMatrix 写了： 2023年 1月 7日 09:37 确实，group representation是研究G action，有G action的地方必须考虑G-equivariant。回头看了一下Schur Lemma和Maschke theorem，都是要求G-equivariant的，而且用G-equivariant表述也有更高一点的抽象。

我的理解角度是

1. 任何表示都可以表示成不可约表示的直和，所以能找到一个大的表示包括低维度不可约表示就理论上可以吧小的表示找出来。但是这么多群元素，想给出一个表示没有一些直观的idea做指引是很难的。最简单的是自然表示，就是5维度的。保底就是regular reprentation。

2. character可以唯一确立表示到等价表示。但是怎么弄出来还需要一些技巧，像矩阵上面做出来的这个例子。