找数字
版主： verdelite， TheMatrix
Re: 找数字
我先前没有看出（c，d）表达式也对应解，而白费了不少时间。因那还痛苦了一会儿。：-）是我不好，但这题还是挺好的。
这个归纳法有些特殊。我第一次碰到。要严格叙述其实有点啰嗦，因此 把FGH/网上的方法按自己的思维整理一下，也算是给自己加深印象。
|𝑎^2−2𝑏^2|= 1
Only consider the cases when both a and b are non-negative integers.
Let u = a + b*√2
1.1 If a = 0, there is no solution.
1.2 If b = 0, then a = 1, and
u is u0 = 1 or (1+√2)^0.
Based on the above parts, we can conclude this is the only a+b*√2 value which is less than 1+√2 for all possible solution (a, b) pairs,
2. If 𝑏 > 0, then 𝑏 ≤ 𝑎 <2𝑏.
Assume that (a, b) is any solution, then
(𝑎+𝑏√2)/(√2+1)
= (𝑎+𝑏√2)(√2−1)
=(2𝑏−𝑎)+(𝑎−𝑏)√2
generates two numbers c = 2𝑏−𝑎 >0, and d = a-b >= 0.
It is easy to confirm that (c, d) satisfies the original equation, so it is also a solution.
If still possible, we keep dividing (a+b√2) by one more (√2+1), till we, for the first time, get a resulting value less than (√2+1). That value must be u0 (or 1). At each dividing step, we have generated a new solution pair. If we have done the division by a certain total of m times,
a+b√2 = (√2+1)^m and
each (√2+1)^i (0 =< i <=m ) corresponds to a solution
It is easy to show that，for any solution (a, b),
(a+b √2)*(√2+1) also generates a solution.
Therefore,
(√2+1)^i (i can be any non-negative integer) corresponds to the complete solution set
这个归纳法有些特殊。我第一次碰到。要严格叙述其实有点啰嗦，因此 把FGH/网上的方法按自己的思维整理一下，也算是给自己加深印象。
|𝑎^2−2𝑏^2|= 1
Only consider the cases when both a and b are non-negative integers.
Let u = a + b*√2
1.1 If a = 0, there is no solution.
1.2 If b = 0, then a = 1, and
u is u0 = 1 or (1+√2)^0.
Based on the above parts, we can conclude this is the only a+b*√2 value which is less than 1+√2 for all possible solution (a, b) pairs,
2. If 𝑏 > 0, then 𝑏 ≤ 𝑎 <2𝑏.
Assume that (a, b) is any solution, then
(𝑎+𝑏√2)/(√2+1)
= (𝑎+𝑏√2)(√2−1)
=(2𝑏−𝑎)+(𝑎−𝑏)√2
generates two numbers c = 2𝑏−𝑎 >0, and d = a-b >= 0.
It is easy to confirm that (c, d) satisfies the original equation, so it is also a solution.
If still possible, we keep dividing (a+b√2) by one more (√2+1), till we, for the first time, get a resulting value less than (√2+1). That value must be u0 (or 1). At each dividing step, we have generated a new solution pair. If we have done the division by a certain total of m times,
a+b√2 = (√2+1)^m and
each (√2+1)^i (0 =< i <=m ) corresponds to a solution
It is easy to show that，for any solution (a, b),
(a+b √2)*(√2+1) also generates a solution.
Therefore,
(√2+1)^i (i can be any non-negative integer) corresponds to the complete solution set
Re: 找数字
赞！meiyoumajia 写了： 2023年 2月 13日 01:10 我先前没有看出（c，d）表达式也对应解，而白费了不少时间。因那还痛苦了一会儿。：-）是我不好，但这题还是挺好的。
这个归纳法有些特殊。我第一次碰到。要严格叙述其实有点啰嗦，因此 把FGH/网上的方法按自己的思维整理一下，也算是给自己加深印象。
|𝑎^2−2𝑏^2|= 1
Only consider the cases when both a and b are non-negative integers.
Let u = a + b*√2
1.1 If a = 0, there is no solution.
1.2 If b = 0, then a = 1, and
u is u0 = 1 or (1+√2)^0.
Based on the above parts, we can conclude this is the only a+b*√2 value which is less than 1+√2 for all possible solution (a, b) pairs,
2. If 𝑏 > 0, then 𝑏 ≤ 𝑎 <2𝑏.
Assume that (a, b) is any solution, then
(𝑎+𝑏√2)/(√2+1)
= (𝑎+𝑏√2)(√2−1)
=(2𝑏−𝑎)+(𝑎−𝑏)√2
generates two numbers c = 2𝑏−𝑎 >0, and d = a-b >= 0.
It is easy to confirm that (c, d) satisfies the original equation, so it is also a solution.
If still possible, we keep dividing (a+b√2) by one more (√2+1), till we, for the first time, get a resulting value less than (√2+1). That value must be u0 (or 1). At each dividing step, we have generated a new solution pair. If we have done the division by a certain total of m times,
a+b√2 = (√2+1)^m and
each (√2+1)^i (0 =< i <=m ) corresponds to a solution
It is easy to show that，for any solution (a, b),
(a+b √2)*(√2+1) also generates a solution.
Therefore,
(√2+1)^i (i can be any non-negative integer) corresponds to the complete solution set
持仓抄底锁利，你钱你定
看牛观猪喊熊，自娱自乐
股市变幻莫测，不作不死
赌途曲折无常，吃枣药丸
看牛观猪喊熊，自娱自乐
股市变幻莫测，不作不死
赌途曲折无常，吃枣药丸
-
TheMatrix
- 论坛支柱
2024年度优秀版主
TheMatrix 的博客 - 帖子互动： 265
- 帖子： 13379
- 注册时间： 2022年 7月 26日 00:35
Re: 找数字
赞！meiyoumajia 写了： 2023年 2月 13日 01:10 我先前没有看出（c，d）表达式也对应解，而白费了不少时间。因那还痛苦了一会儿。：-）是我不好，但这题还是挺好的。
这个归纳法有些特殊。我第一次碰到。要严格叙述其实有点啰嗦，因此 把FGH/网上的方法按自己的思维整理一下，也算是给自己加深印象。
|𝑎^2−2𝑏^2|= 1
Only consider the cases when both a and b are non-negative integers.
Let u = a + b*√2
1.1 If a = 0, there is no solution.
1.2 If b = 0, then a = 1, and
u is u0 = 1 or (1+√2)^0.
Based on the above parts, we can conclude this is the only a+b*√2 value which is less than 1+√2 for all possible solution (a, b) pairs,
2. If 𝑏 > 0, then 𝑏 ≤ 𝑎 <2𝑏.
Assume that (a, b) is any solution, then
(𝑎+𝑏√2)/(√2+1)
= (𝑎+𝑏√2)(√2−1)
=(2𝑏−𝑎)+(𝑎−𝑏)√2
generates two numbers c = 2𝑏−𝑎 >0, and d = a-b >= 0.
It is easy to confirm that (c, d) satisfies the original equation, so it is also a solution.
If still possible, we keep dividing (a+b√2) by one more (√2+1), till we, for the first time, get a resulting value less than (√2+1). That value must be u0 (or 1). At each dividing step, we have generated a new solution pair. If we have done the division by a certain total of m times,
a+b√2 = (√2+1)^m and
each (√2+1)^i (0 =< i <=m ) corresponds to a solution
It is easy to show that，for any solution (a, b),
(a+b √2)*(√2+1) also generates a solution.
Therefore,
(√2+1)^i (i can be any non-negative integer) corresponds to the complete solution set
学数学就得有这股劲：清楚 - 至少清楚什么地方不清楚。
Re: 找数字
我马虎地看了下面那个很简单的介绍。给非数学专业出身不太了解此类方程的同仁们介绍一下我的所得。：-）
Pell's equation的基本形式是
x^2 - k y^2 = 1
还是不理睬正负号的问题，只考虑非负数解。
k = i^2 时只有对所有k都有的平凡解(1，0)。
其它的k总有前面讨论的那种解族。也就是找到最小的 y=b 使得 a+b*√k对应着一个特解，然后通过它的任何正整数次方产生出所有的解。下文排除了m和m+1之间有任何其它解，从而证明了全覆盖性。（用前面的归纳方法也许也可得出这些结果和结论。对前面的k=2，用（3，2）可做。）
x^2 - k y^2 = L对有些（k，L）无解。如果有非平凡解（c，d），任何此类解对应的 c+d*√k 与 x^2 - k y^2 = 1的任何非平凡解（a，b）对应的表示相乘可以产生更多的解，也有无穷多解。
x^2 - k y^2 = -1对有些k无解。 （如前所述，k=2时，可从（1，1）的表述式的奇次方产生出所有解。）
我感觉我此生知道这些就够用了。下辈子一定去学数学（里面好玩的东西挺多：-）。
https://kconrad.math.uconn.edu/math3240 ... lleqn1.pdf
Pell's equation的基本形式是
x^2 - k y^2 = 1
还是不理睬正负号的问题，只考虑非负数解。
k = i^2 时只有对所有k都有的平凡解(1，0)。
其它的k总有前面讨论的那种解族。也就是找到最小的 y=b 使得 a+b*√k对应着一个特解，然后通过它的任何正整数次方产生出所有的解。下文排除了m和m+1之间有任何其它解，从而证明了全覆盖性。（用前面的归纳方法也许也可得出这些结果和结论。对前面的k=2，用（3，2）可做。）
x^2 - k y^2 = L对有些（k，L）无解。如果有非平凡解（c，d），任何此类解对应的 c+d*√k 与 x^2 - k y^2 = 1的任何非平凡解（a，b）对应的表示相乘可以产生更多的解，也有无穷多解。
x^2 - k y^2 = -1对有些k无解。 （如前所述，k=2时，可从（1，1）的表述式的奇次方产生出所有解。）
我感觉我此生知道这些就够用了。下辈子一定去学数学（里面好玩的东西挺多：-）。
https://kconrad.math.uconn.edu/math3240 ... lleqn1.pdf
上次由 meiyoumajia 在 2023年 2月 13日 14:06 修改。
Re: 找数字
谢科普，学习了。PDF文件最后有这么一幅画，我在网上找出来贴到这里meiyoumajia 写了： 2023年 2月 13日 13:39 我马虎地看了下面那个很简单的介绍。给非数学专业出身不太了解此类方程的同仁们介绍一下我的所得。：-）
Pell's equation的基本形式是
x^2 - k y^2 = 1
还是不理睬正负号的问题，只考虑非负数解。
k = i^2 时只有对所有k都有的平凡解(1，0)。
其它的k总有前面讨论的那种解族。也就是找到最小的 y=b 使得 a+b*√k对应着一个特解，然后通过它的任何正整数次方产生出所有的解。下文排除了m和m+1之间没有任何解，证明了全覆盖性。（用前面的归纳方法也许也可得出这些结果和结论。对前面的k=2，用（3，2）可做。）
x^2 - k y^2 = L对有些（k，L）无解。如果有非平凡解（c，d），任何此类解对应的 c+d*√k 与 x^2 - k y^2 = 1的任何非平凡解（a，b）对应的表示相乘可以产生更多的解，也有无穷多解。
x^2 - k y^2 = -1对有些k无解。 （如前所述，k=2时，可从（1，1）的表述式的奇次方产生出所有解。）
我感觉我此生知道这些就够用了。下辈子一定去学数学（里面好玩的东西挺多：-）。
https://kconrad.math.uconn.edu/math3240 ... lleqn1.pdf
上次由 YWY 在 2023年 2月 13日 14:27 修改。
持仓抄底锁利，你钱你定
看牛观猪喊熊，自娱自乐
股市变幻莫测，不作不死
赌途曲折无常，吃枣药丸
看牛观猪喊熊，自娱自乐
股市变幻莫测，不作不死
赌途曲折无常，吃枣药丸
Re: 找数字
这里unit就是可逆的(代数)整数，也就是reciprocal也是整数的整数。具体到二次域Q(sqrt{2})，就是那些满足a, b为整数，a^2-2b^2等于正负1的a+b\sqrt{2}。这些数一定是正负(\sqrt{2}+1)^n的形式。meiyoumajia 写了： 2023年 2月 12日 19:34 那个所谓的“unit”的概念大概是同一个意思吧？“假若（a，b）满足，那么a+b*2_root除1+2_root后得到的表达式(c,d)可验证正好也满足“？
Re: 找数字
后面那些其实是这里复述的证明的结论，是在定义了这个环的情况下。san721 写了： 2023年 2月 13日 21:51 这里unit就是可逆的(代数)整数，也就是reciprocal也是整数的整数。具体到二次域Q(sqrt{2})，就是那些满足a, b为整数，a^2-2b^2等于正负1的a+b\sqrt{2}。这些数一定是正负(\sqrt{2}+1)^n的形式。
环的定义是：所有元素在加/减法和对其定义了的任意两个元素乘法的结果仍是环内的元素。
（只用乘法，不用加啊法，类似地定义了群的概念。二维里360/i和它的任何整数倍的旋转对应的2x2矩阵是有i个元素的群。抽象代数是在群的概念上引入加法，进一步定义了环。所有的2x2矩阵构成一个环。）
定义identity。然后定义 u，and its inverse r：
r*u= u*r = Identity
（r因而也是个unit）
现在的这个环定义：所有整数与k_root后用加/减法和乘法（仍是普通的加法和乘法）构成的集合，identity是+1或-1。
显然，环中任何元素都能约化成L+M*k_root （L和M都是整数）的形式，而且对每个元素/数只有唯一的形式。
u=a+b*k_root （u是任何unit）
r=x+y*k_root
+/-1 = +/-1 + 0*k_root
= ur = (ax+2by) + (ay+bx)*k_root
根据表示的唯一性
ax+kby=+/-1
ay+bx = 0
x=+/- a/(a^2-kb^2)
y=-/+ b/(a^2-kb^2)
从而整数
x^2-ky^2= 1/(a^2-kb^2)
因此分母必须是+1或-1。从而unit满足那个pell equation：
a^2-kb^2 =+/-1 （对非平方的正整数都成立）
而其解正是前面各位（对k=2情况）要求的。而得出的结论就是那个。
而原题/第一贴涉及的只是-1的情况（与2_root环的问题有点不同)。
上次由 meiyoumajia 在 2023年 2月 15日 01:38 修改。
Re: 找数字
对实数引入虚数i后的环，应用显然是最广的。能把很多常见问题转化成了1个经典的代数问题。（这个环有个特殊性：对除法也自我封闭。而有理数引入i的情况类似。）
因此，虽然我没学抽象代数，但我感觉它一定很有意思。它肯定也是把很多类问题都总结归类甚至升华了。
我没有看后面的场和矢量空间的概念。但我们非数学专业的很多理工专业出身的都有经典的那类概念。应该也涉及了旋转类型之外更多的东西，引入了叉乘？
把有些问题简化后，若用计算，算法都可能会变得简单有效得多。也许搞某些数学方向（尤其数论领域）的人再很通计算机/数学计算（方法），那也许会有很大的帮助？（对x^2- k * y^2 = 1的某个k的问题，在开始有此类问题2000多年后曾经有个古代印度人很晚（几百年前？）才找到了y最小的那个解。这在今天，应该会很快找到那个。）
因此，虽然我没学抽象代数，但我感觉它一定很有意思。它肯定也是把很多类问题都总结归类甚至升华了。
我没有看后面的场和矢量空间的概念。但我们非数学专业的很多理工专业出身的都有经典的那类概念。应该也涉及了旋转类型之外更多的东西，引入了叉乘？
把有些问题简化后，若用计算，算法都可能会变得简单有效得多。也许搞某些数学方向（尤其数论领域）的人再很通计算机/数学计算（方法），那也许会有很大的帮助？（对x^2- k * y^2 = 1的某个k的问题，在开始有此类问题2000多年后曾经有个古代印度人很晚（几百年前？）才找到了y最小的那个解。这在今天，应该会很快找到那个。）
上次由 meiyoumajia 在 2023年 2月 14日 16:02 修改。