新未名空间

meiyoumajia 写了： 2023年 2月 13日 01:10 我先前没有看出（c，d）表达式也对应解，而白费了不少时间。因那还痛苦了一会儿。：-）是我不好，但这题还是挺好的。

这个归纳法有些特殊。我第一次碰到。要严格叙述其实有点啰嗦，因此 把FGH/网上的方法按自己的思维整理一下，也算是给自己加深印象。

|𝑎^2−2𝑏^2|= 1

Only consider the cases when both a and b are non-negative integers.

Let u = a + b*√2

1.1 If a = 0, there is no solution.

1.2 If b = 0, then a = 1, and
u is u0 = 1 or (1+√2)^0.

Based on the above parts, we can conclude this is the only a+b*√2 value which is less than 1+√2 for all possible solution (a, b) pairs,

2. If 𝑏 > 0, then 𝑏 ≤ 𝑎 <2𝑏.

Assume that (a, b) is any solution, then
(𝑎+𝑏√2)/(√2+1)
= (𝑎+𝑏√2)(√2−1)
=(2𝑏−𝑎)+(𝑎−𝑏)√2
generates two numbers c = 2𝑏−𝑎 >0, and d = a-b >= 0.
It is easy to confirm that (c, d) satisfies the original equation, so it is also a solution.

If still possible, we keep dividing (a+b√2) by one more (√2+1), till we, for the first time, get a resulting value less than (√2+1). That value must be u0 (or 1). At each dividing step, we have generated a new solution pair. If we have done the division by a certain total of m times,
a+b√2 = (√2+1)^m and
each (√2+1)^i (0 =< i <=m ) corresponds to a solution

It is easy to show that，for any solution (a, b),
(a+b √2)*(√2+1) also generates a solution.

Therefore,
(√2+1)^i (i can be any non-negative integer) corresponds to the complete solution set

meiyoumajia 写了： 2023年 2月 13日 01:10 我先前没有看出（c，d）表达式也对应解，而白费了不少时间。因那还痛苦了一会儿。：-）是我不好，但这题还是挺好的。

这个归纳法有些特殊。我第一次碰到。要严格叙述其实有点啰嗦，因此 把FGH/网上的方法按自己的思维整理一下，也算是给自己加深印象。

|𝑎^2−2𝑏^2|= 1

Only consider the cases when both a and b are non-negative integers.

Let u = a + b*√2

1.1 If a = 0, there is no solution.

1.2 If b = 0, then a = 1, and
u is u0 = 1 or (1+√2)^0.

Based on the above parts, we can conclude this is the only a+b*√2 value which is less than 1+√2 for all possible solution (a, b) pairs,

2. If 𝑏 > 0, then 𝑏 ≤ 𝑎 <2𝑏.

Assume that (a, b) is any solution, then
(𝑎+𝑏√2)/(√2+1)
= (𝑎+𝑏√2)(√2−1)
=(2𝑏−𝑎)+(𝑎−𝑏)√2
generates two numbers c = 2𝑏−𝑎 >0, and d = a-b >= 0.
It is easy to confirm that (c, d) satisfies the original equation, so it is also a solution.

If still possible, we keep dividing (a+b√2) by one more (√2+1), till we, for the first time, get a resulting value less than (√2+1). That value must be u0 (or 1). At each dividing step, we have generated a new solution pair. If we have done the division by a certain total of m times,
a+b√2 = (√2+1)^m and
each (√2+1)^i (0 =< i <=m ) corresponds to a solution

It is easy to show that，for any solution (a, b),
(a+b √2)*(√2+1) also generates a solution.

Therefore,
(√2+1)^i (i can be any non-negative integer) corresponds to the complete solution set

meiyoumajia 写了： 2023年 2月 13日 13:39 我马虎地看了下面那个很简单的介绍。给非数学专业出身不太了解此类方程的同仁们介绍一下我的所得。：-）


Pell's equation的基本形式是
x^2 - k y^2 = 1

还是不理睬正负号的问题，只考虑非负数解。

k = i^2 时只有对所有k都有的平凡解(1，0)。
其它的k总有前面讨论的那种解族。也就是找到最小的 y=b 使得 a+b*√k对应着一个特解，然后通过它的任何正整数次方产生出所有的解。下文排除了m和m+1之间没有任何解，证明了全覆盖性。（用前面的归纳方法也许也可得出这些结果和结论。对前面的k=2，用（3，2）可做。）

x^2 - k y^2 = L对有些（k，L）无解。如果有非平凡解（c，d），任何此类解对应的 c+d*√k 与 x^2 - k y^2 = 1的任何非平凡解（a，b）对应的表示相乘可以产生更多的解，也有无穷多解。

x^2 - k y^2 = -1对有些k无解。 （如前所述，k=2时，可从（1，1）的表述式的奇次方产生出所有解。）


我感觉我此生知道这些就够用了。下辈子一定去学数学（里面好玩的东西挺多：-）。


https://kconrad.math.uconn.edu/math3240 ... lleqn1.pdf

YWY 写了： 2023年 2月 13日 14:02 谢科普，学习了。PDF文件最后有这么一幅画，我在网上找出来贴到这里

verdelite 写了： 2023年 2月 13日 14:16 看着像俄罗斯的穷孩子

TheMatrix 写了： 2023年 2月 11日 12:33 对。这是个重要猜想。x²-2是不是有无穷多质数 - 而且是open的。我也奇怪，这么一个小东西还是open的。

这个事情wsnren总结过。除了一次的这种表达式，5x+3这种，被证明了（Dirichlet），二次和以上的都没有被证明。

TheMatrix 写了： 2023年 2月 11日 17:44 嗯，对。只有n取奇数才能得到整数解。

YWY 写了： 2023年 2月 12日 20:09 只是由于Z[\sqrt 2]的特殊性造成的，高斯整数环Z[\sqrt{-1}]也有此性质，想找可逆元（unit）就和共轭（或对偶）相乘看等不等于1。这可能和在整数环上添加的元素是二次方跟有关吧，我猜。但对一般的环就不适用了。

meiyoumajia 写了： 2023年 2月 12日 19:34 那个所谓的“unit”的概念大概是同一个意思吧？“假若（a，b）满足，那么a+b*2_root除1+2_root后得到的表达式(c,d)可验证正好也满足“？

san721 写了： 2023年 2月 13日 21:51 这里unit就是可逆的(代数)整数，也就是reciprocal也是整数的整数。具体到二次域Q(sqrt{2})，就是那些满足a, b为整数，a^2-2b^2等于正负1的a+b\sqrt{2}。这些数一定是正负(\sqrt{2}+1)^n的形式。