新未名空间

FoxMe 写了： 2022年 12月 22日 12:18 那么，共轭类和不可约表示是怎么一一对应的？我没搞懂。

没有一一对应。只是数目相同，到此为止。

噢，那为啥相等？能简要地说说吗？

FoxMe 写了： 2022年 12月 22日 12:54 噢，那为啥相等？能简要地说说吗？

我是看到结论。为啥相等我也想听听。

FoxMe 写了： 2022年 12月 22日 12:54 噢，那为啥相等？能简要地说说吗？

哦我前面是想这么说的，但是少打了“没有”两字：

数目相同。能叫一一对应吗？内部应该是有一个比较深刻的一一对应关系。但是可能没有显而易见的。

TheMatrix 写了： 2022年 12月 22日 13:38 哦我前面是想这么说的，但是少打了“没有”两字：

数目相同。能叫一一对应吗？内部应该是有一个比较深刻的一一对应关系。但是可能没有显而易见的。

character还有另外一个正交定理，关于不同的不可约表示也是正交的。看那个character table， row和column一样多

Caravel 写了： 2022年 12月 22日 14:31 character还有另外一个正交定理，关于不同的不可约表示也是正交的。看那个character table， row和column一样多

对啊。你主贴第3条不就是吗？

在每一个不可约表示下，每一个等价类（共轭类）的character是一个数，不同共轭类的character构成一个类函数，这是在同一个不可约表示的情况下。在不同的不可约表示下，这些类函数正交。

TheMatrix 写了： 2022年 12月 22日 15:12 对啊。你主贴第3条不就是吗？

在每一个不可约表示下，每一个等价类（共轭类）的character是一个数，不同共轭类的character构成一个类函数，这是在同一个不可约表示的情况下。在不同的不可约表示下，这些类函数正交。

哦，这个是column正交，还有一个是row 正交，character table的 row 是class，column是不可约表示。如果贴个图就清楚了。从那个历史文章看，character是个很重要的量，但是他的作用还需要再体会体会。

FoxMe 写了： 2022年 12月 22日 12:54 噢，那为啥相等？能简要地说说吗？

不可约表示的迹函数正交，所以它们的个数要少于等于类函数空间的维数，就是共轭类的个数；所以只要说明等号成立。假如有其他一个类函数和所有不可约表示的迹函数正交，根据舒尔引理那这个函数只能是零，所以等号成立。

rgg 写了： 2022年 12月 22日 15:34 不可约表示的迹函数正交，所以它们的个数要少于等于类函数空间的维数，就是共轭类的个数；所以只要说明等号成立。假如有其他一个类函数和所有不可约表示的迹函数正交，根据舒尔引理那这个函数只能是零，所以等号成立。

下面有两个舒尔引理。你说的是哪个？我没看出来怎么推出这个函数只能是零。

TheMatrix 写了： 2022年 12月 22日 16:18 下面有两个舒尔引理。你说的是哪个？我没看出来怎么推出这个函数只能是零。

我也没看出来。舒尔引理的证明极其简单，几乎trivial：



应该是第一部分吧？

TheMatrix 写了： 2022年 12月 22日 16:18 下面有两个舒尔引理。你说的是哪个？我没看出来怎么推出这个函数只能是零。

这么严谨。转帖个完整证明。lemma 2.5 and theorem 2.6 on page 4 and 5. https://www.win.tue.nl/~aeb/2WF02/fgreps.pdf

TheMatrix 写了： 2022年 12月 21日 15:47 哦。不错。我找到了它的英文版：

https://www.ams.org/notices/199803/lam.pdf
https://www.ams.org/notices/199804/lam2.pdf

不长。存在这，有空读一下。

第二篇文章结尾提到对degree的更多约束：

the degree of an irreducible (complex) representation of a group G divides the order N of G .
Issai Schur, a student of Frobenius, proved later that the degree of an irreducible representation divides the index of the center of G, and N.
Itô was to prove eventually that this degree in fact divides the index of any abelian normal subgroup.

文章还提到去南方科大的杰曼诺夫因研究Burside问题而获得菲尔兹奖。

rgg 写了： 2022年 12月 22日 17:11 这么严谨。转帖个完整证明。lemma 2.5 and theorem 2.6 on page 4 and 5. https://www.win.tue.nl/~aeb/2WF02/fgreps.pdf

谢谢。

严谨肯定是严谨的 - 至少知道哪里不知道。 ：）但是很懒惰 - 就喜欢听别人醍醐灌顶一句话。你给的那个reference虽然7，8页纸，看还是需要一点精力的。累啊。- 但是我看了。看到定理2.6。我信了。哈哈。

这个证明很巧，作者水平很高，能在几页纸之内把表示论的核心讲清楚。

如果直接证明不可约表示的个数，要好多页。

FoxMe 写了： 2022年 12月 22日 17:18 第二篇文章结尾提到对degree的更多约束：

the degree of an irreducible (complex) representation of a group G divides the order N of G .
Issai Schur, a student of Frobenius, proved later that the degree of an irreducible representation divides the index of the center of G, and N.
Itô was to prove eventually that this degree in fact divides the index of any abelian normal subgroup.

文章还提到去南方科大的杰曼诺夫因研究Burside问题而获得菲尔兹奖。

嗯。有比center还大的abelian normal subgroup吗？

TheMatrix 写了： 2022年 12月 22日 17:53 谢谢。

严谨肯定是严谨的 - 至少知道哪里不知道。 ：）但是很懒惰 - 就喜欢听别人醍醐灌顶一句话。你给的那个reference虽然7，8页纸，看还是需要一点精力的。累啊。- 但是我看了。看到定理2.6。我信了。哈哈。

你老这也太惜力了，昨天我为了找一个sign的diffrence奋斗了一个小时。

Caravel 写了： 2022年 12月 22日 18:32 你老这也太惜力了，昨天我为了找一个sign的diffrence奋斗了一个小时。

能花得下力气，那是好事啊。我也能 - 要在合适的机缘下。一般来讲，种下的种子都不会跑，早晚因缘成熟。可惜人生太短啊。这就是为什么苦行僧能出成绩 - 实在找不到其他任何有兴趣的东西。

TheMatrix 写了： 2022年 12月 22日 18:09 嗯。有比center还大的abelian normal subgroup吗？

有。比如Dihedral group D8的四阶循环子群（而中心只有两个元素）。所以不可约表示中
8 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2^2
只有1和2，没有4（当然没有4......）

直接从不可约表示证明：对第一个同构取中心，左边C[G]的中心就是class function，其维数等于共轭类的个数；右边的每一个中心必然是单位阵的（标量）倍数（需要用到舒尔引理），所以右边的维数等于m。所以m等于共轭类的个数。

这个证明没有用到character，其实也很简单。

个人感受：代数里面的证明大部分很简单，理解了概念就能推出来，只需要简单几步。比如舒尔引理，只需要kernal/image的概念，就能一眼看出来。困难是概念太多，初学者不易掌握，学完后时间长了又忘了。

FoxMe 写了： 2022年 12月 23日 15:52

直接从不可约表示证明：对第一个同构取中心，左边C[G]的中心就是class function，其维数等于共轭类的个数；右边的每一个中心必然是单位阵的（标量）倍数（需要用到舒尔引理），所以右边的维数等于m。所以m等于共轭类的个数。

这个证明没有用到character，其实也很简单。

个人感受：代数里面的证明大部分很简单，理解了概念就能推出来，只需要简单几步。比如舒尔引理，只需要kernal/image的概念，就能一眼看出来。困难是概念太多，初学者不易掌握，学完后时间长了又忘了。

这是多次Polish的结果，我看到的物理群论书上的证明要复杂很多。搞这种证明感觉需要很强的直觉，某种意识上已经搞清楚了，最后写出来很短