新未名空间

Lang，Algebraic number theory, 2nd edition, p. 29, Prop 26.

没看懂。Serge Lang的书很难懂，基本没看过。

FoxMe 写了： 2025年 11月 9日 17:14

Lang，Algebraic number theory, 2nd edition, p. 29, Prop 26.

没看懂。Serge Lang的书很难懂，基本没看过。

这本应该是我试着读的最多的一本 Lang 的书，也读的不多。好像他写书从不考虑读者，原因也不细说，所以不到懂的差不多的时候是没法读的。

FoxMe 写了： 2025年 11月 6日 17:21

到了椭圆曲线，Selmer group, 山群出现了。原先不知所云，现在知道是咋回事了，需要上同调来定义，但是还没懂。

找了一圈，包括：chatgpt, gemini, deepseek, wiki，Silverman。还没有完全搞懂。有点乱，需要理一理。

FoxMe 写了： 2025年 11月 6日 17:21

到了椭圆曲线，Selmer group, 山群出现了。原先不知所云，现在知道是咋回事了，需要上同调来定义，但是还没懂。

我感觉切入的方式可能有点不对。Selmer group是为计算用的，目标是E(Q)的rank，步骤本应该是简单的。但是为了每一步都在数学上可靠，为了严谨，才搞出Galois cohomology这么一大套。其实计算步骤本身是不需要Galois cohomology的。又因为这套理论比较难，所以网上汗牛充栋的都是讲解这套理论的。你问chatgpt, gemini，它也是从这套理论开始讲，因为它训练的材料就是从网上来的。

实际上应该从计算切入。计算就那么几步，其路径就代表了第一个人的brilliant idea。而且为一个已经计算成功的步骤找成立的理由，就没那么难了，至少没那么别扭了。

不过我既然已经从Galois cohomology切入，我就继续磕它了。磕完之后我估计我也累了，计算反而没力气了。

FoxMe 写了： 2025年 11月 6日 17:21

到了椭圆曲线，Selmer group, 山群出现了。原先不知所云，现在知道是咋回事了，需要上同调来定义，但是还没懂。

Selmer group定义中的
H¹(K,E[n]) --> direct sum H¹(K_v, E[n])

就是拆开看每一个
H¹(K,E[n]) --> H¹(K_v, E[n])

理解为
H¹(G_K, E[n]) --> H¹(G_K_v, E[n])

G_K = Cal(K^*/K)
G_K_v = Cal(K_v^*/K_v)

G_K_v是G_K的subgroup。所以上面cohomology之间的映射就是：群的cohomology可以映射入子群的cohomology中。这是因为cohomology是contravariant的。最开始的projective resolution是子群映射入群的，但是apply Hom(-,M)之后就反过来了。

K_v相当于K_p，p-adic number，K ⊆ K_p，这个有点反直觉。K_p实际上和Z/pZ有关，Z/pZ是有限域，但是搞出来的K_p不仅无限，而且比K还大，不仅大，而且是uncountable的，大多了。

虽然大，但它还不是algebraically closed，它只是topologically complete。所以和K一样，K_p也可以take algebraic closure，K-->K^* ，K_p --> K_p^* 。take closure之后就更大了。G_K_v是G_K的subgroup，是因为Galois群是fix base field的，base field越大，能fix它的群越小。

这就是Selmer group定义中的这个cohomology之间的map。

FoxMe 写了： 2025年 11月 6日 17:21

到了椭圆曲线，Selmer group, 山群出现了。原先不知所云，现在知道是咋回事了，需要上同调来定义，但是还没懂。

然后就到了
E(K)/nE(K) --> Sel(E/K)

这个是从
E(K)/nE(K) --> H¹(K, E[n])
来的，

而它又是从

0 --> E[n] --> E ----[n]----> E --> 0

来的。

这里没有写K，要理解为over K^* ，也就是考虑的是algebraically closed field。[n]是乘以n的map。E是elliptic curve，它是一个abelian group，乘以n的操作是well defined。而且乘以n是E到E之间的满射。这个非常重要。如果写上over K的话

E(K) ------[n]-------->E(K)

就不再是满射了。只有over K^* ，它才是满射。这用到了K^* 是algebraically closed的性质。相当于一个群元素不管多小，它还能继续除，变得更小。这个叫infinitely divisible。

前面那个 E[n] 就是这个[n] map的kernel，也就是n-torsion points，注意，也是over K^* 的。这是一个有限群，个数为n² 。

所以这是一个short exact sequence。而且是G-module sequence，因为每一个E[n]和E都有Galois group action，是G-module。

所以就可以对整个short exact sequence 做 cohomology。这和对单个G-module做cohomology不完全一样，因为要考虑之间的三个sequence之间的连接。这里有一个著名的lemma叫snake lemma。这个我复习了一下。结果就是long exact sequence

0 --> H⁰(E[n]) --> H⁰(E) --> H⁰(E) -----δ------>
----> H¹(E[n]) --> H¹(E) --> H¹(E) -----δ------>
----> H²(E[n]) --> H²(E) --> H²(E) -----δ------>

H⁰(E[n])是E[n]中fixed by G=Gal(K^*/K)，也就是E[n]在K中的部分。注意E[n]本身是over K^* 的。它在K中的部分就是 E[n] (K)。

H⁰(E)是E在K中的部分，也就是E(K)。

H¹(E[n])就是H¹(K,E[n])，也就是Selmer group定义中的第一项。

然后下一项，H¹(E)，也就是H¹(K,E)，据说根据Hilbert theorem 90，等于0.

所以long exact sequence又变成shorter exact sequence：

0 --> E[n] (K) --> E(K) ---[n]---> E(K) ----δ----> H¹(K,E[n]) --> 0

看δ map，modulo kernel之后它就变成一个injection。叫\bar{δ}。而δ的kernel等于前一个map ([n])的image，也就是nE(K)。所以有injection：

0 --> E(K)/nE(K) ----> H¹(K,E[n])

TheMatrix 写了： 2025年 11月 10日 14:01

然后下一项，H¹(E)，也就是H¹(K,E)，据说根据Hilbert theorem 90，等于0.

所以long exact sequence又变成shorter exact sequence：

0 --> E[n] (K) --> E(K) ---[n]---> E(K) ----δ----> H¹(K,E[n]) --> 0

看δ map，modulo kernel之后它就变成一个injection。叫\bar{δ}。而δ的kernel等于前一个map ([n])的image，也就是nE(K)。所以有injection：

0 --> E(K)/nE(K) ----> H¹(K,E[n])

Hilbert 90这个地方好像有点问题。我没有仔细看什么是Hilbert 90。但是好像有的地方并不说 H¹(E)= H¹(K,E)=0. 因为如果它是0的话，最后的

E(K)/nE(K) ----> H¹(K,E[n])

就变成了isomorphism。而Selmer group是H¹(K,E[n])的subgroup，就不能
0 ---> E(K)/nE(K) --> Selmer(E/K)了。

哦，snake lemma就是从群的关系退出cohomology的关系

TheMatrix 写了： 2025年 11月 10日 14:01

然后就到了
E(K)/nE(K) --> Sel(E/K)

这个是从
E(K)/nE(K) --> H¹(K, E[n])
来的，

而它又是从

0 --> E[n] --> E ----[n]----> E --> 0

来的。

这里没有写K，要理解为over K^* ，也就是考虑的是algebraically closed field。[n]是乘以n的map。E是elliptic curve，它是一个abelian group，乘以n的操作是well defined。而且乘以n是E到E之间的满射。这个非常重要。如果写上over K的话

E(K) ------[n]-------->E(K)

就不再是满射了。只有over K^* ，它才是满射。这用到了K^* 是algebraically closed的性质。相当于一个群元素不管多小，它还能继续除，变得更小。这个叫infinitely divisible。

前面那个 E[n] 就是这个[n] map的kernel，也就是n-torsion points，注意，也是over K^* 的。这是一个有限群，个数为n² 。

所以这是一个short exact sequence。而且是G-module sequence，因为每一个E[n]和E都有Galois group action，是G-module。

所以就可以对整个short exact sequence 做 cohomology。这和对单个G-module做cohomology不完全一样，因为要考虑之间的三个sequence之间的连接。这里有一个著名的lemma叫snake lemma。这个我复习了一下。结果就是long exact sequence

0 --> H⁰(E[n]) --> H⁰(E) --> H⁰(E) -----δ------>
----> H¹(E[n]) --> H¹(E) --> H¹(E) -----δ------>
----> H²(E[n]) --> H²(E) --> H²(E) -----δ------>

H⁰(E[n])是E[n]中fixed by G=Gal(K^*/K)，也就是E[n]在K中的部分。注意E[n]本身是over K^* 的。它在K中的部分就是 E[n] (K)。

H⁰(E)是E在K中的部分，也就是E(K)。

H¹(E[n])就是H¹(K,E[n])，也就是Selmer group定义中的第一项。

然后下一项，H¹(E)，也就是H¹(K,E)，据说根据Hilbert theorem 90，等于0.

所以long exact sequence又变成shorter exact sequence：

0 --> E[n] (K) --> E(K) ---[n]---> E(K) ----δ----> H¹(K,E[n]) --> 0

看δ map，modulo kernel之后它就变成一个injection。叫\bar{δ}。而δ的kernel等于前一个map ([n])的image，也就是nE(K)。所以有injection：

0 --> E(K)/nE(K) ----> H¹(K,E[n])

原来如此：A finitely generated module over a Dedekind domain is a direct sum of a projective module and a torsion module.

和PID差不多，只是free变成projective.

三农 写了： 2025年 11月 9日 11:39

是的，你这句话正好是 Lang，Algebraic number theory, 2nd edition, p. 29, Prop 26.

这个是上面Dedekind domain f.g. modules分类结果的一个特例。其实有很多例子可以检验，应该都不平凡。

https://math.stackexchange.com/question ... nd-domains

我是在想怎么找到 一个理想 的complementary summand，

https://math.stackexchange.com/question ... 70_5107732

没人回我。

FoxMe 写了： 2025年 11月 10日 17:04

原来如此：A finitely generated module over a Dedekind domain is a direct sum of a projective module and a torsion module.

和PID差不多，只是free变成projective.

而且这里的 projective = R^{n-1} + I, 这里 I 是个ideal。

你好像上个帖子说了，就差那么一点，因为 free = R^{n}.

然后衍生出： K（PID）= Z， K（Dedekind domain） = Z + ideal class group.

这里K（R）= free abelian group on projective modules over R / (equivalence relationship). 这是Grothendieck 最开始的algebraic K_0，然后Atiyah，Hirzebruch 模仿地定义了 topological K-theory，用vector bundles。

高阶代数 K-理论 一直到 Qullien 才定义出来。

FoxMe 写了： 2025年 11月 9日 10:56

这就非常接近free module，就差这一点还不是projective module？

我明白你的迷惑了，我是说torsion 部分不变，free 部分把 一个R 变成ideal。我没说清楚。

TheMatrix 写了： 2025年 11月 10日 12:52

Selmer group定义中的
H¹(K,E[n]) --> direct sum H¹(K_v, E[n])

就是拆开看每一个
H¹(K,E[n]) --> H¹(K_v, E[n])

理解为
H¹(G_K, E[n]) --> H¹(G_K_v, E[n])

G_K = Cal(K^*/K)
G_K_v = Cal(K_v^*/K_v)

G_K_v是G_K的subgroup。所以上面cohomology之间的映射就是：群的cohomology可以映射入子群的cohomology中。这是因为cohomology是contravariant的。最开始的projective resolution是子群映射入群的，但是apply Hom(-,M)之后就反过来了。

K_v相当于K_p，p-adic number，K ⊆ K_p，这个有点反直觉。K_p实际上和Z/pZ有关，Z/pZ是有限域，但是搞出来的K_p不仅无限，而且比K还大，不仅大，而且是uncountable的，大多了。

虽然大，但它还不是algebraically closed，它只是topologically complete。所以和K一样，K_p也可以take algebraic closure，K-->K^* ，K_p --> K_p^* 。take closure之后就更大了。G_K_v是G_K的subgroup，是因为Galois群是fix base field的，base field越大，能fix它的群越小。

这就是Selmer group定义中的这个cohomology之间的map。

哦不对，这个地方还没完。

H¹(K,E[n]) --> H¹(K_v, E[n]) 只是 restriction to local，后面还有一个 H¹(K_v, E)。Selmer group 最后的定义是 H¹(K,E[n]) --> H¹(K_v, E) 外面再套一个kernel。

我再重新来一遍。

还是从这个开始：

0 --> E[n] --> E ----[n]----> E --> 0

这个是over K^* 的，所以乘以n操作 [n]:E --> E 是满射。E[n]是这个操作的kernel，n-torsion group，是一个有限群，数量为n² .

这是一个short exact sequence of G-module。每一个单元上都有Galois group action。所以可以做Galois cohomology 操作。这个操作把short exact sequence of G-module，变成一个long exact sequence of cohomology groups:

0 --> H⁰(K,E[n]) --> H⁰(K,E) --> H⁰(K,E) -----δ------>
----> H¹(K,E[n]) --> H¹(K,E) --> H¹(K,E) -----δ------>
----> H²(K,E[n]) --> H²(K,E) --> H²(K,E) -----δ------>

用了snake lemma，产生了δ叫connecting homomorphism，用于连接不同层级的cohomology。

第一层H⁰ 是elements fixed by Galois group，它变成了：
0 --> E[n] (K) --> E(K) ---[n]---> E(K)

这里带上了K，也就是说从over K^* 变成了over K的。E(K) ---[n]---> E(K) 不再是满射了。E[n] (K)也不一定是n² 个了。

第二层H¹ 不变。这里好像没有什么Hilbert 90。什么情况下可以有我不清楚。先不考虑它。

所以前两层变成了：

0 --> E[n] (K) --> E(K) ---[n]---> E(K) -----δ------> H¹(K,E[n]) ---(i)---> H¹(K,E) ---[n]---> H¹(K,E)

看δ，

0 --> kernel(δ) --> E(K) -----δ------> H¹(K,E[n]) --> image(i) --> 0

kernel(δ)=image([n])=nE(K)，这里的[n]是前面一个[n]。
image(i)=kernel([n])=H¹(K,E)[n]，这里的[n]是后面一个[n]。而H¹(K,E)[n]是一个记法，就是指[n]的kernel。

所以有

0 --> nE(K) --> E(K) -----δ------> H¹(K,E[n]) --> H¹(K,E)[n] --> 0

δ modulo nE(K)，

0 --> E(K)/nE(K) -----δ------> H¹(K,E[n]) --> H¹(K,E)[n] --> 0

这里的δ应该写成\bar{δ}，是模去nE(K)之后的δ，但是，by abuse of notation，仍然写成δ。

所以有了

0 --> E(K)/nE(K) --> H¹(K,E[n]) --> H¹(K,E)[n] --> 0

很多地方把这个叫fundamental short exact sequence。

接着来。

目标是E(K)/nE(K)，要对它说点什么。这个东西是考察E(K) rank的关键。

下一步是restriction to local。也就是 K --> K_v，K_v是基本上相当于考察每个素数，也就是K_p。v代表valuation，还包括K_∞。

K --> K_v是一个 inclusion： K ⊆ K_v，比如 K ⊆ K_p。K_p是K的completion，是在p-adic metric下的completion，所以是一种拓扑completion，所以K_p一定是uncountable的，比可数无穷还大。但是它在代数上还不是closed的。还可以取closure：K_v --> K_v^* ，类似于 K --> K^* 。

restriction相当于换系数，原来是在K系数下考虑，现在换为K_v系数，比如K_p系数，也就是在mod p下考察原椭圆曲线。所以一切还在：

0 --> E(K_v)/nE(K_v) --> H¹(K_v,E[n]) --> H¹(K_v,E)[n] --> 0

这里只是做了一个 K --> K_v的替换，因为K本身是general的，它可以换成任意一个其他域。

把它俩写在一起：

0 --> E(K)/nE(K) --> H¹(K,E[n]) --> H¹(K,E)[n] --> 0
0 --> E(K_v)/nE(K_v) --> H¹(K_v,E[n]) --> H¹(K_v,E)[n] --> 0

这两个之间有map。

K上有解，K_v上一定有解。相当于有整数解就一定有mod p解。整数解mod p，就变成了mod p方程的解。域上应该也对。这个地方我不确定。

所以有第一项之间的关系 E(K)/nE(K) --> E(K_v)/nE(K_v)。这肯定不是injection的关系。应该也不是surjection的关系。因为有mod p解不一定有不mod p解。

第二项之间也有关系： H¹(K,E[n]) --> H¹(K_v,E[n])。这里的E[n]是over K^* 和 over K_v^* 的。所以都是n² 个。考察的是Galois group cohomology，第一个group是 G_K=Gal(K^*/K)，第二个group是 G_K_v = Gal(K_v^*/K_v)。这两个group之间的关系是：G_K_v ⊆ G_K，也就是 G_K_v 是 G_K的子群。这是因为base field之间 K ⊆ K_v，而Galois群是fix base field之后的域自变换，要fix的东西越大，自变换的数量就越少。然后上升到cohomology，大群的cohomology的元素，一定是小群cohomology的元素，这个叫restriction map。是不是injection？应该不是。是不是surjection？应该也不是。

第三项之间应该也有关系：H¹(K,E)[n] --> H¹(K_v,E)[n]。先不管。

所以这两排之间有关系，整个diagram是commute的：

0 --> E(K)/nE(K) --> H^1(K,E[n]) --> H^1(K,E)[n] --> 0
          |               |                 |
          |               |                 |
          |               |                 |
          v               v                 v

0 --> E(K_v)/nE(K_v) --> H^1(K_v,E[n]) --> H^1(K_v,E)[n] --> 0

这个为什么是commute的，我还没仔细想。

考察第一排第一项中的一个元素 p ∈ E(K)/nE(K)，它先沿着第一排向右走，到H¹(K,E[n]) ，再沿着箭头向下走，到第二排的H¹(K_v,E[n])，再沿着第二排向右走，到H¹(K_v,E)[n]，它一定变成0。因为根据commutative diagram，它等于先沿着箭头向下走到第二排 E(K_v)/nE(K_v)，再沿着第二排一直向右走，走到底，它等于0，因为沿着第二排的exact sequence走两步一定是0.

现在把第一排的前两步，接着第二排的后两步，写在一起：

0 --> E(K)/nE(K) --> H¹(K,E[n]) --> H¹(K_v,E[n]) --> H¹(K_v,E)[n] --> 0

这个sequence是不是exact我不知道，因为中间那个从第一排到第二排向下的箭头，也就是restriction map，是不是exact，不好说。

这个sequence除了0之外有4项。现在把第三项拿掉，也就是合并两个箭头，从第二项直接到第四项：

0 --> E(K)/nE(K) --> H¹(K,E[n]) ----?---> H¹(K_v,E)[n] ---?--> 0

exact应该是成问题的了，但是箭头是在的。

而且我们知道 E(K)/nE(K) 一定在 H¹(K,E[n]) ----?---> H¹(K_v,E)[n] 的 kernel 之中，因为前面说了，p ∈ E(K)/nE(K) 沿着箭头走完会到0。

所以 E(K)/nE(K) ⊆ kernel of (H¹(K,E[n]) ---> H¹(K_v,E)[n]) for all v。

所以Selmer group 来了：

Selmer(E/K) := kernel of all (H¹(K,E[n]) ---> H¹(K_v,E)[n])。

不对。等一下。最后我为什么会有个[n]呢？我是H¹(K_v,E)[n]，定义中应该是H¹(K_v,E)。

不过，technically 应该也是可以的，因为 H¹(K_v,E)[n] 是后面 map的kernel
H¹(K_v,E) ----[n]-----> H¹(K_v,E)

也就是 H¹(K_v,E)[n] ⊆ H¹(K_v,E)，所以最后定义到H¹(K_v,E)[n] 或者是 H¹(K_v,E)，mapping应该是一样的，值域扩大了一些。

所以Selmer group 又来了：

Selmer(E/K) := kernel of all (H¹(K,E[n]) ---> H¹(K_v,E))

sorry for the long post.

K理论一直没搞懂是啥意思。K代表class，是啥class,不明白。

三农 写了： 2025年 11月 11日 00:33

而且这里的 projective = R^{n-1} + I, 这里 I 是个ideal。

你好像上个帖子说了，就差那么一点，因为 free = R^{n}.

然后衍生出： K（PID）= Z， K（Dedekind domain） = Z + ideal class group.

这里K（R）= free abelian group on projective modules over R / (equivalence relationship). 这是Grothendieck 最开始的algebraic K_0，然后Atiyah，Hirzebruch 模仿地定义了 topological K-theory，用vector bundles。

高阶代数 K-理论 一直到 Qullien 才定义出来。

赞专业精神

拜读了，知道为啥要搞restriction/inflation这些东东了。

“K上有解，K_v上一定有解。”这是肯定的，因为前者被后者包含。不肯定的是，如果在所有K_v上有解，在K上是否有解？

问题是Selmer，山群是干啥用的？代表了什么？

TheMatrix 写了： 2025年 11月 11日 08:32

哦不对，这个地方还没完。

H¹(K,E[n]) --> H¹(K_v, E[n]) 只是 restriction to local，后面还有一个 H¹(K_v, E)。Selmer group 最后的定义是 H¹(K,E[n]) --> H¹(K_v, E) 外面再套一个kernel。

我再重新来一遍。

还是从这个开始：

0 --> E[n] --> E ----[n]----> E --> 0

这个是over K^* 的，所以乘以n操作 [n]:E --> E 是满射。E[n]是这个操作的kernel，n-torsion group，是一个有限群，数量为n² .

这是一个short exact sequence of G-module。每一个单元上都有Galois group action。所以可以做Galois cohomology 操作。这个操作把short exact sequence of G-module，变成一个long exact sequence of cohomology groups:

0 --> H⁰(K,E[n]) --> H⁰(K,E) --> H⁰(K,E) -----δ------>
----> H¹(K,E[n]) --> H¹(K,E) --> H¹(K,E) -----δ------>
----> H²(K,E[n]) --> H²(K,E) --> H²(K,E) -----δ------>

用了snake lemma，产生了δ叫connecting homomorphism，用于连接不同层级的cohomology。

第一层H⁰ 是elements fixed by Galois group，它变成了：
0 --> E[n] (K) --> E(K) ---[n]---> E(K)

这里带上了K，也就是说从over K^* 变成了over K的。E(K) ---[n]---> E(K) 不再是满射了。E[n] (K)也不一定是n² 个了。

第二层H¹ 不变。这里好像没有什么Hilbert 90。什么情况下可以有我不清楚。先不考虑它。

所以前两层变成了：

0 --> E[n] (K) --> E(K) ---[n]---> E(K) -----δ------> H¹(K,E[n]) ---(i)---> H¹(K,E) ---[n]---> H¹(K,E)

看δ，

0 --> kernel(δ) --> E(K) -----δ------> H¹(K,E[n]) --> image(i) --> 0

kernel(δ)=image([n])=nE(K)，这里的[n]是前面一个[n]。
image(i)=kernel([n])=H¹(K,E)[n]，这里的[n]是后面一个[n]。而H¹(K,E)[n]是一个记法，就是指[n]的kernel。

所以有

0 --> nE(K) --> E(K) -----δ------> H¹(K,E[n]) --> H¹(K,E)[n] --> 0

δ modulo nE(K)，

0 --> E(K)/nE(K) -----δ------> H¹(K,E[n]) --> H¹(K,E)[n] --> 0

这里的δ应该写成\bar{δ}，是模去nE(K)之后的δ，但是，by abuse of notation，仍然写成δ。

所以有了

0 --> E(K)/nE(K) --> H¹(K,E[n]) --> H¹(K,E)[n] --> 0

很多地方把这个叫fundamental short exact sequence。

接着来。

目标是E(K)/nE(K)，要对它说点什么。这个东西是考察E(K) rank的关键。

下一步是restriction to local。也就是 K --> K_v，K_v是基本上相当于考察每个素数，也就是K_p。v代表valuation，还包括K_∞。

K --> K_v是一个 inclusion： K ⊆ K_v，比如 K ⊆ K_p。K_p是K的completion，是在p-adic metric下的completion，所以是一种拓扑completion，所以K_p一定是uncountable的，比可数无穷还大。但是它在代数上还不是closed的。还可以取closure：K_v --> K_v^* ，类似于 K --> K^* 。

restriction相当于换系数，原来是在K系数下考虑，现在换为K_v系数，比如K_p系数，也就是在mod p下考察原椭圆曲线。所以一切还在：

0 --> E(K_v)/nE(K_v) --> H¹(K_v,E[n]) --> H¹(K_v,E)[n] --> 0

这里只是做了一个 K --> K_v的替换，因为K本身是general的，它可以换成任意一个其他域。

把它俩写在一起：

0 --> E(K)/nE(K) --> H¹(K,E[n]) --> H¹(K,E)[n] --> 0
0 --> E(K_v)/nE(K_v) --> H¹(K_v,E[n]) --> H¹(K_v,E)[n] --> 0

这两个之间有map。

K上有解，K_v上一定有解。相当于有整数解就一定有mod p解。整数解mod p，就变成了mod p方程的解。域上应该也对。这个地方我不确定。

所以有第一项之间的关系 E(K)/nE(K) --> E(K_v)/nE(K_v)。这肯定不是injection的关系。应该也不是surjection的关系。因为有mod p解不一定有不mod p解。

第二项之间也有关系： H¹(K,E[n]) --> H¹(K_v,E[n])。这里的E[n]是over K^* 和 over K_v^* 的。所以都是n² 个。考察的是Galois group cohomology，第一个group是 G_K=Gal(K^*/K)，第二个group是 G_K_v = Gal(K_v^*/K_v)。这两个group之间的关系是：G_K_v ⊆ G_K，也就是 G_K_v 是 G_K的子群。这是因为base field之间 K ⊆ K_v，而Galois群是fix base field之后的域自变换，要fix的东西越大，自变换的数量就越少。然后上升到cohomology，大群的cohomology的元素，一定是小群cohomology的元素，这个叫restriction map。是不是injection？应该不是。是不是surjection？应该也不是。

第三项之间应该也有关系：H¹(K,E)[n] --> H¹(K_v,E)[n]。先不管。

所以这两排之间有关系，整个diagram是commute的：

代码： 全选

0 --> E(K)/nE(K) --> H^1(K,E[n]) --> H^1(K,E)[n] --> 0
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          v               v                 v

0 --> E(K_v)/nE(K_v) --> H^1(K_v,E[n]) --> H^1(K_v,E)[n] --> 0

这个为什么是commute的，我还没仔细想。

考察第一排第一项中的一个元素 p ∈ E(K)/nE(K)，它先沿着第一排向右走，到H¹(K,E[n]) ，再沿着箭头向下走，到第二排的H¹(K_v,E[n])，再沿着第二排向右走，到H¹(K_v,E)[n]，它一定变成0。因为根据commutative diagram，它等于先沿着箭头向下走到第二排 E(K_v)/nE(K_v)，再沿着第二排一直向右走，走到底，它等于0，因为沿着第二排的exact sequence走两步一定是0.

现在把第一排的前两步，接着第二排的后两步，写在一起：

0 --> E(K)/nE(K) --> H¹(K,E[n]) --> H¹(K_v,E[n]) --> H¹(K_v,E)[n] --> 0

这个sequence是不是exact我不知道，因为中间那个从第一排到第二排向下的箭头，也就是restriction map，是不是exact，不好说。

这个sequence除了0之外有4项。现在把第三项拿掉，也就是合并两个箭头，从第二项直接到第四项：

0 --> E(K)/nE(K) --> H¹(K,E[n]) ----?---> H¹(K_v,E)[n] ---?--> 0

exact应该是成问题的了，但是箭头是在的。

而且我们知道 E(K)/nE(K) 一定在 H¹(K,E[n]) ----?---> H¹(K_v,E)[n] 的 kernel 之中，因为前面说了，p ∈ E(K)/nE(K) 沿着箭头走完会到0。

所以 E(K)/nE(K) ⊆ kernel of (H¹(K,E[n]) ---> H¹(K_v,E)[n]) for all v。

所以Selmer group 来了：

Selmer(E/K) := kernel of all (H¹(K,E[n]) ---> H¹(K_v,E)[n])。

不对。等一下。最后我为什么会有个[n]呢？我是H¹(K_v,E)[n]，定义中应该是H¹(K_v,E)。

不过，technically 应该也是可以的，因为 H¹(K_v,E)[n] 是后面 map的kernel
H¹(K_v,E) ----[n]-----> H¹(K_v,E)

也就是 H¹(K_v,E)[n] ⊆ H¹(K_v,E)，所以最后定义到H¹(K_v,E)[n] 或者是 H¹(K_v,E)，mapping应该是一样的，值域扩大了一些。

所以Selmer group 又来了：

Selmer(E/K) := kernel of all (H¹(K,E[n]) ---> H¹(K_v,E))

sorry for the long post.

这个性质特牛，但是不明所以：

FoxMe 写了： 2025年 11月 11日 13:24

赞专业精神

拜读了，知道为啥要搞restriction/inflation这些东东了。

“K上有解，K_v上一定有解。”这是肯定的，因为前者被后者包含。不肯定的是，如果在所有K_v上有解，在K上是否有解？

问题是Selmer，山群是干啥用的？代表了什么？

Matrix 的帖子太长，太专业，我就着你的问题讨论一些。

K_v 是K 的localization，所以 K_v 上的问题会简单。

如果在所有K_v上有解，在K上是否有解？这个问题是所谓的 local-global principle，不总是对的。好像对quadrics 总是对的，而Yuri Manin 找到了些obstruction，一些cohomology class 来刻画这些。

这些elliptic curves的我也不懂，是将来要看的内容。如果Selmer group 跟这个有关就好了。

FoxMe 写了： 2025年 11月 11日 17:13

这个性质特牛，但是不明所以：

这个是标准的，所有cohomology theory 都有这样的性质。

简单来说，就是

short exact sequence of cochain complexes

gives rise to

long exact sequence of cohomology.

关键是构造这个 connecting homomorphism delta. 其实和snake lemma 一样，就是diagram chasing。

FoxMe 写了： 2025年 11月 11日 13:24

赞专业精神

拜读了，知道为啥要搞restriction/inflation这些东东了。

“K上有解，K_v上一定有解。”这是肯定的，因为前者被后者包含。不肯定的是，如果在所有K_v上有解，在K上是否有解？

问题是Selmer，山群是干啥用的？代表了什么？

据说Selmer群是为了限制E(K)/nE(K)的数量的，因为Selmer群是有限群。而E(K)/nE(K)的数量，是限制E(K) rank的。这个我也不懂。我看了deepseek说的。

三农 写了： 2025年 11月 11日 18:47

Matrix 的帖子太长，太专业，我就着你的问题讨论一些。

K_v 是K 的localization，所以 K_v 上的问题会简单。

如果在所有K_v上有解，在K上是否有解？这个问题是所谓的 local-global principle，不总是对的。好像对quadrics 总是对的，而Yuri Manin 找到了些obstruction，一些cohomology class 来刻画这些。

这些elliptic curves的我也不懂，是将来要看的内容。如果Selmer group 跟这个有关就好了。

Selmer group 和 Shafarevich-Tate group 就是跟这个local-global principle有关啊。我也是正在学。以前看过Silverman的书，看到Galois cohomology就看不懂了。所以相关的几个定理就不懂。现在又试一下。

FoxMe 写了： 2025年 11月 11日 17:13

这个性质特牛，但是不明所以：

这个是我问Gemini，它给我的视频链接。

Snake lemma我很早就学过，但是从来没有认真chase diagram过一次。