Clifford algebra继续讨论

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我可以试试:

我: 有没有这种可能,Grassmann在研究梵文的时候发现了古印度的数学著作?

GPT-4(最新的版本,不是ChatGPT,是我让我司小朋友前天申请waiting list,今天刚得到的):

有这种可能。Hermann Grassmann在19世纪确实对梵文和古印度文化产生了浓厚的兴趣。他曾翻译过《梵书》(Rigveda)的一部分,并对梵文语法进行了深入研究。然而,关于Grassmann是否在研究梵文时发现了古印度的数学著作的确切证据,并没有明确的记录。不过,我们不能完全排除这种可能性。

古印度的数学家和哲学家在数学和几何方面的贡献是举世闻名的。尤其在代数、三角学和微积分等领域,古印度的数学家们取得了很多重要的成果。因此,Grassmann在研究梵文和古印度文化的过程中,很可能接触到了一些古印度的数学著作,并从中汲取灵感。然而,Grassmann代数的发展和成熟应归功于他自己对几何学的独立思考和探索。
TheMatrix 写了: 3月 16, 2023, 7:52 pm 能不能引导它(ChatGPT)直到让它说出或猜想出Grassman可能是看了梵文或东方古籍而得到线性代数扩张的灵感的?
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它就是个normie

如果你想出来了一个假设,它可以entertain,甚至可以让它帮你想办法验证。有点像教授与学生的关系。人做教授,他做RA。
上次由 hci 在 3月 16, 2023, 8:04 pm,总共编辑 1 次。
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hci 写了: 3月 16, 2023, 7:56 pm 我可以试试:

我: 有没有这种可能,Grassmann在研究梵文的时候发现了古印度的数学著作?

GPT-4(最新的版本,不是ChatGPT,是我让我司小朋友前天申请waiting list,今天刚得到的):

有这种可能。Hermann Grassmann在19世纪确实对梵文和古印度文化产生了浓厚的兴趣。他曾翻译过《梵书》(Rigveda)的一部分,并对梵文语法进行了深入研究。然而,关于Grassmann是否在研究梵文时发现了古印度的数学著作的确切证据,并没有明确的记录。不过,我们不能完全排除这种可能性。

古印度的数学家和哲学家在数学和几何方面的贡献是举世闻名的。尤其在代数、三角学和微积分等领域,古印度的数学家们取得了很多重要的成果。因此,Grassmann在研究梵文和古印度文化的过程中,很可能接触到了一些古印度的数学著作,并从中汲取灵感。然而,Grassmann代数的发展和成熟应归功于他自己对几何学的独立思考和探索。
这已经很接近想要引导出的结果了。哈哈。
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很好的RA。
TheMatrix 写了: 3月 16, 2023, 8:01 pm 这已经很接近想要引导出的结果了。哈哈。
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他还说我司是AI chatbot在教育行业的No 1.

哈哈。

我司倒是已经在产品中广泛使用它了。

相互抬轿子,挺好。哈哈。
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FoxMe 写了: 3月 15, 2023, 5:07 pm 貌似研究Clifford algebra的动机之一是spin group,这个群的作用就是旋转,用Clifford algebra来研究比较好。两个问题:

1. spin group在物理里面是干嘛用的?旋转粒子吗?
2. 为啥不直接研究正交群SO(n),它最多只有n^2个参数,而Clifford algebra有2^n个参数。这不是太复杂了吗?

为啥要用一个很大的东西(2^n维)作用在一个很小的东西(n维)上?百思不解,感觉像杀鸡用牛刀。
这是好问题。这两个东西我都不太熟悉,我也是在学习 - 跟着讨论学习。

spin group是一个群,基本上就是SO(n)。群的话,一般把它考虑成operator/operation的集合 - 里面全是operation,不是object。而n-维线性空间,包括扩张出来的Clifford algebra,都是object。Well,先把它看成object。这是一个角度。

考虑SO(n)所在的更大的空间的话,SL(n),GL(n),End(Vn),这都是operation的集合,直到End(V),本身是一个线性空间,但元素还是看成是operation,也就是 f:V -> V。而Clifford algebra这边,是多向量的外积,本质上就是a tuple of vectors,(v1, v2,...,vn)。这还是object,不是operation。这和上一段是一个意思。

这两者之间,首先不是同一类东西,那么目的应该就不一样。当然,这两类东西可以转化,就是张量代数中的covariant和contravariant的关系。

先说这么多。
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princeton 写了: 3月 16, 2023, 11:00 am 这是推广 norm identity: |x y|=|x| |y|, 如4元素体,8元素体 等等,后面叫 compositions of quadratic forms.
我认为:
代数:|x y|=|x||y| ---> numbers and fields etc.
分析:|x y|<= |x| |y| ---> norm/metric spaces, almost all inequalities can be casted to this norm inequality.
它们的区别就在于 等号还是不等号
这两个关系挺有深意的。我看到泛函分析中有人有过这种评论。但是不怎么能够把握。

另外这和Clifford algebra以及spin group好像看不出有什么关系。
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TheMatrix 写了: 3月 17, 2023, 1:47 pm 这是好问题。这两个东西我都不太熟悉,我也是在学习 - 跟着讨论学习。

spin group是一个群,基本上就是SO(n)。群的话,一般把它考虑成operator/operation的集合 - 里面全是operation,不是object。而n-维线性空间,包括扩张出来的Clifford algebra,都是object。Well,先把它看成object。这是一个角度。

考虑SO(n)所在的更大的空间的话,SL(n),GL(n),End(Vn),这都是operation的集合,直到End(V),本身是一个线性空间,但元素还是看成是operation,也就是 f:V -> V。而Clifford algebra这边,是多向量的外积,本质上就是a tuple of vectors,(v1, v2,...,vn)。这还是object,不是operation。这和上一段是一个意思。

这两者之间,首先不是同一类东西,那么目的应该就不一样。当然,这两类东西可以转化,就是张量代数中的covariant和contravariant的关系。

先说这么多。
Clifford algebra可以作用在n-维线性空间上:y = u x u^-1,这里x, y是线性空间的向量。共轭又出现了,可以证明这是一个旋转,长度不变。由u给出的这个群就叫spin group,很明显是SO(n)的二重覆盖,因为u和-u对应同样的旋转。
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FoxMe 写了: 3月 17, 2023, 4:50 pm Clifford algebra可以作用在n-维线性空间上:y = u x u^-1,这里x, y是线性空间的向量。共轭又出现了,可以证明这是一个旋转,长度不变。由u给出的这个群就叫spin group,很明显是SO(n)的二重覆盖,因为u和-u对应同样的旋转。
这是Clifford algebra中的group of unit,不是全部元素都可以这样。

Clifford algebra中的unit不知道什么样?是不是都是二元/二阶的?就是 u \tensor v 这样的?因为这样的话就和End(V)比较容易对应上了。
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TheMatrix 写了: 3月 17, 2023, 1:55 pm 这两个关系挺有深意的。我看到泛函分析中有人有过这种评论。但是不怎么能够把握。

另外这和Clifford algebra以及spin group好像看不出有什么关系。
这样的构造等价于一组方阵的构造,满足Clifford algebra条件。我觉得Clifford algebra 是从这个古老问题(quadratic forms)开始的。
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TheMatrix 写了: 3月 17, 2023, 5:13 pm 这是Clifford algebra中的group of unit,不是全部元素都可以这样。

Clifford algebra中的unit不知道什么样?是不是都是二元/二阶的?就是 u \tensor v 这样的?因为这样的话就和End(V)比较容易对应上了。
我不知道叫什么。unit是指可逆吗?可逆还是不够的。(为啥可逆元叫unit?)

长得什么样,要知道Clifford algebra的表示。很简单,就是个矩阵,没有一般的群表示论那么麻烦。我还在看。
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princeton 写了: 3月 17, 2023, 5:48 pm 这样的构造等价于一组方阵的构造,满足Clifford algebra条件。我觉得Clifford algebra 是从这个古老问题(quadratic forms)开始的。
是的,以前我问过Clifford algebra的表示,以及为啥要用Clifford algebra来研究二次型。
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先把wiki上Clifford algebra的定义部分copy在这里:

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再贴个手机版吧。

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FoxMe 写了: 3月 17, 2023, 6:03 pm 我不知道叫什么。unit是指可逆吗?可逆还是不够的。(为啥可逆元叫unit?)

长得什么样,要知道Clifford algebra的表示。很简单,就是个矩阵,没有一般的群表示论那么麻烦。我还在看。
unit是指可逆。可逆为什么叫unit?环里面的可逆元素就叫unit,不知道为什么叫这个名字。

可逆还是不够的?还要什么条件?
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TheMatrix 写了: 3月 17, 2023, 9:50 pm unit是指可逆。可逆为什么叫unit?环里面的可逆元素就叫unit,不知道为什么叫这个名字。

可逆还是不够的?还要什么条件?
各处unit都是叫一元,为啥这里可逆元素叫units? 我学Clifford algebra 的时候并没有发觉这里会有疑惑。
没有光子;也没有量子能级,量子跃迁,量子叠加,量子塌缩和量子纠缠。
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verdelite 写了: 3月 17, 2023, 10:10 pm 各处unit都是叫一元,为啥这里可逆元素叫units? 我学Clifford algebra 的时候并没有发觉这里会有疑惑。
这个是从环(ring)里出来的词汇。环里的可逆元素就叫unit。为什么叫这个名字是有原因的,我当时是觉得make sense的。

Clifford algebra也是环,有加法有乘法嘛。所以它的可逆元素就叫unit。构成群 - group of units.
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FoxMe 写了: 3月 17, 2023, 6:03 pm 长得什么样,要知道Clifford algebra的表示。很简单,就是个矩阵,没有一般的群表示论那么麻烦。我还在看。
哦我这个问题是这个意思:
假如一个V维度是3维,三个正交归一的向量为(x,y,z)。那么V的Clifford algebra的元素就是
{1,x,y,z,xy,yz,zx,xyz}
的线性组合。和多项式很类似。也可以有阶或次,比如5xy就是2阶或2次,3xyz就是3阶或3次。相当于graded algebra的grading。

我的问题是,可逆元是不是都是2阶或2次的。
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verdelite 写了: 3月 17, 2023, 10:10 pm 各处unit都是叫一元,为啥这里可逆元素叫units? 我学Clifford algebra 的时候并没有发觉这里会有疑惑。
取名有点无厘头,很容易混淆。

单位或幺元:{x | xx=1}
单位的另一个定义:{x | 存在y,使得xy=1}

感觉很牵强。根据第二种定义,所有不等于0的实数都是单位。
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TheMatrix 写了: 3月 17, 2023, 10:24 pm 哦我这个问题是这个意思:
假如一个V维度是3维,三个正交归一的向量为(x,y,z)。那么V的Clifford algebra的元素就是
{1,x,y,z,xy,yz,zx,xyz}
的线性组合。和多项式很类似。也可以有阶或次,比如5xy就是2阶或2次,3xyz就是3阶或3次。相当于graded algebra的grading。

我的问题是,可逆元是不是都是2阶或2次的。
可逆元不见得满足

y = u x u^-1,这里x, y是线性空间的向量。

由u给出的这个群就叫spin group, u就叫spinor,没看到其它的名称。我不知道可逆元是不是都是2阶或2次,感觉不大可能吧?可能要知道spin group的表示,又回到群表示论了。
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