Clifford algebra继续讨论

STEM版,合并数学,物理,化学,科学,工程,机械。不包括生物、医学相关,和计算机相关内容。

版主: verdeliteTlexander

FoxMe楼主
论坛点评
论坛点评
帖子: 3192
注册时间: 7月 26, 2022, 4:46 pm
昵称(选填): 令狐

Clifford algebra继续讨论

帖子 FoxMe楼主 »

verdelite 写了: 11月 7, 2022, 9:27 am 总结一下:

1,为了能自由做减法,人们把自然数拓展到整数。为了能自由做除法,人们把整数拓展到有理数。为了能自由对正数的开方,人们把有理数拓展到实数。为了能自由对负数开方,人们把实数拓展到复数。

2,为了能对向量求乘积,和对向量求逆(倒数),Clifford把向量空间拓展到Clifford空间,在其上定义了Clifford algebra。所谓Algebra,就是乘积也在这个空间里(所谓封闭性),这个乘积满足双线性性(对两个相乘的东西都满足线性性),满足结合律,空间中还含有一元(任何东西乘了一元还是它自己,类似实数乘法里面的1)。

3,大家都学过向量内积,我就不说了。內积定义在度量(metric,例如大家熟悉的三维空间的欧几里德距离,其平方就是欧几里德度量)上,它满足双线性性、对称性(交换顺序后结果不变)。还有向量外积,这个可能需要额外去学习一下,两个向量相乘后得到带方向性的面积(例如两个二维向量外积)或者体积(例如三个三维向量外积)或者高维体积,它不依赖于metric。外积满足双线性性,和反对称性(交换前后顺序则结果乘以负1)。

3,Clifford 空间是一个由实数、一组正交向量基、和这组正交向量基的各级外积一起张成的空间。这个空间里面,乘积定义为内积加外积。他满足双线性性,结合律,有一元,可求逆。这个空间不依赖于选取的那组正交向量基。取同一向量空间别的正交向量基也可以。

4,二维向量空间,三维向量空间,民科斯基向量空间(狭义相对论那个)都可以这样拓展得到自己对应的Clifford空间和定义在这个空间上的Clifford代数。

5,这个Clifford代数里面有拓展前所没有想到的丰富的结构,有广泛的应用。就像拓展出复数前,可能没想到在复数空间里n次方程有n个根,还有留数定理这样的大杀器。

第一章完。

我学了一个多月(诺贝尔物理奖发布前一天决定开始学的)。是慢,我不在乎慢,我只想学得通透。
FoxMe楼主
论坛点评
论坛点评
帖子: 3192
注册时间: 7月 26, 2022, 4:46 pm
昵称(选填): 令狐

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 FoxMe楼主 »

上次讨论意犹未尽,我先提个问题:

n维向量空间的结构明了清晰,为啥还要去搞出Clifford algebra这个很复杂的东西?作为向量空间,它的维数是2^n。
头像
verdelite
论坛元老
论坛元老
帖子: 14921
注册时间: 7月 21, 2022, 11:33 pm
昵称(选填): 众傻之傻

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 verdelite »

FoxMe 写了: 3月 14, 2023, 6:45 pm 上次讨论意犹未尽,我先提个问题:

n维向量空间的结构明了清晰,为啥还要去搞出Clifford algebra这个很复杂的东西?作为向量空间,它的维数是2^n。
我觉得数学家有ego。如果你能构建出一个前所未有的algebra,你就成了一个厉害的数学家。所以数学家有动机。

弄好后就可以找理由为啥这个algebra有用。
没有光子;也没有量子能级,量子跃迁,量子叠加,量子塌缩和量子纠缠。
TheMatrix
论坛支柱
论坛支柱
TheMatrix 的博客
帖子: 9717
注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 TheMatrix »

FoxMe 写了: 3月 14, 2023, 6:45 pm 上次讨论意犹未尽,我先提个问题:

n维向量空间的结构明了清晰,为啥还要去搞出Clifford algebra这个很复杂的东西?作为向量空间,它的维数是2^n。
我没学过Clifford algebra,也想跟着讨论学习学习。

我从纯数学上推演一下。都是感想。引一下话题吧。

n维向量空间,有加法和数乘,但是没有别的关系了。结构太简单。

再往上加结构,也就是加向量之间的关系,二元关系,不管怎么添加,它们都叫乘法。也就是不止一种乘法。都是加法之上的乘法,必须和加法合拍,也就是必须有乘法分配律。

可以想象这些乘法之间还可以有相互关系。

第一层的乘法,就是张量乘法。张量乘法也是最free的乘法。稍微限制一下,就有对称张量乘法,和反对陈张量乘法 - 也就是外乘,外代数。

第二层的乘法,就要借助于第一层的乘法,再借助于其他东西,度量,内乘。这个内乘也要和外乘合拍。新定义的乘法,大概可以看成是对外乘的一种系统化的扭曲,parametrized deformation。
FoxMe楼主
论坛点评
论坛点评
帖子: 3192
注册时间: 7月 26, 2022, 4:46 pm
昵称(选填): 令狐

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 FoxMe楼主 »

貌似研究Clifford algebra的动机之一是spin group,这个群的作用就是旋转,用Clifford algebra来研究比较好。两个问题:

1. spin group在物理里面是干嘛用的?旋转粒子吗?
2. 为啥不直接研究正交群SO(n),它最多只有n^2个参数,而Clifford algebra有2^n个参数。这不是太复杂了吗?

为啥要用一个很大的东西(2^n维)作用在一个很小的东西(n维)上?百思不解,感觉像杀鸡用牛刀。
头像
hci
论坛精英
论坛精英
帖子: 6210
注册时间: 7月 22, 2022, 3:29 pm
昵称(选填): 海螺子

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 hci »

我高度怀疑这个东西是某本东方古书里的。grassmann 这个德国民科是专门研究东方古书的。

可能是用来计算我们这个虚拟现实后面的机理的。

古代道家什么都可以算,没有高深的数学,不太可能。

当你知道了虚拟现实的真相,对"物理"就失去了兴趣。都是可以算出来的东西,不必折腾了。修仙成神才是正道。
FoxMe 写了: 3月 15, 2023, 5:07 pm 貌似研究Clifford algebra的动机之一是spin group,这个群的作用就是旋转,用Clifford algebra来研究比较好。两个问题:

1. spin group在物理里面是干嘛用的?旋转粒子吗?
2. 为啥不直接研究正交群SO(n),它最多只有n^2个参数,而Clifford algebra有2^n个参数。这不是太复杂了吗?

为啥要用一个很大的东西(2^n维)作用在一个很小的东西(n维)上?百思不解,感觉像杀鸡用牛刀。
princeton
小有名气
小有名气
帖子: 30
注册时间: 10月 15, 2022, 5:20 pm
昵称(选填): wow

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 princeton »

这是推广 norm identity: |x y|=|x| |y|, 如4元素体,8元素体 等等,后面叫 compositions of quadratic forms.
我认为:
代数:|x y|=|x||y| ---> numbers and fields etc.
分析:|x y|<= |x| |y| ---> norm/metric spaces, almost all inequalities can be casted to this norm inequality.
它们的区别就在于 等号还是不等号
FoxMe楼主
论坛点评
论坛点评
帖子: 3192
注册时间: 7月 26, 2022, 4:46 pm
昵称(选填): 令狐

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 FoxMe楼主 »

hci 写了: 3月 15, 2023, 9:13 pm grassmann 这个德国民科。
还真是:
Hermann Günther Grassmann (German: Graßmann, pronounced [ˈhɛʁman ˈɡʏntɐ ˈɡʁasman]; 15 April 1809 – 26 September 1877) was a German polymath known in his day as a linguist and now also as a mathematician. He was also a physicist, general scholar, and publisher. His mathematical work was little noted until he was in his sixties. His work preceded and exceeded the concept which is now known as a vector space. He introduced the Grassmannian, the space which parameterizes all k-dimensional linear subspaces of an n-dimensional vector space V.

以前学Grassmannian觉得很高大上。看来很复杂的东西其实不复杂。
头像
verdelite
论坛元老
论坛元老
帖子: 14921
注册时间: 7月 21, 2022, 11:33 pm
昵称(选填): 众傻之傻

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 verdelite »

FoxMe 写了: 3月 16, 2023, 11:56 am 还真是:
Hermann Günther Grassmann (German: Graßmann, pronounced [ˈhɛʁman ˈɡʏntɐ ˈɡʁasman]; 15 April 1809 – 26 September 1877) was a German polymath known in his day as a linguist and now also as a mathematician. He was also a physicist, general scholar, and publisher. His mathematical work was little noted until he was in his sixties. His work preceded and exceeded the concept which is now known as a vector space. He introduced the Grassmannian, the space which parameterizes all k-dimensional linear subspaces of an n-dimensional vector space V.

以前学Grassmannian觉得很高大上。看来很复杂的东西其实不复杂。
科技进步都有来龙去脉。突然看一眼就觉得高大上,进去细看就知道,科学家都是普通人,他能做到我也能。
没有光子;也没有量子能级,量子跃迁,量子叠加,量子塌缩和量子纠缠。
TheMatrix
论坛支柱
论坛支柱
TheMatrix 的博客
帖子: 9717
注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 TheMatrix »

verdelite 写了: 3月 16, 2023, 2:43 pm 科技进步都有来龙去脉。突然看一眼就觉得高大上,进去细看就知道,科学家都是普通人,他能做到我也能。
同意。
头像
hci
论坛精英
论坛精英
帖子: 6210
注册时间: 7月 22, 2022, 3:29 pm
昵称(选填): 海螺子

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 hci »

这个人不是数学家。这是为什么当时的数学家都不鸟他的主要原因。他没有任何数学上的信用,除了这个东西,他没有任何其它数学上的工作。

一个非数学家,同时是以研究东方古文字闻名的人,没头没脑地提出一种划时代的数学体系,我高度怀疑他是研究了一些我们不知道的东方数学古籍,而整理出来的这个体系,很可能就是抄袭。

这个情况,在当时的欧洲很普遍。
verdelite 写了: 3月 16, 2023, 2:43 pm 科技进步都有来龙去脉。突然看一眼就觉得高大上,进去细看就知道,科学家都是普通人,他能做到我也能。
FoxMe楼主
论坛点评
论坛点评
帖子: 3192
注册时间: 7月 26, 2022, 4:46 pm
昵称(选填): 令狐

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 FoxMe楼主 »

hci 写了: 3月 16, 2023, 4:23 pm 这个人不是数学家。这是为什么当时的数学家都不鸟他的主要原因。他没有任何数学上的信用,除了这个东西,他没有任何其它数学上的工作。

一个非数学家,同时是以研究东方古文字闻名的人,没头没脑地提出一种划时代的数学体系,我高度怀疑他是研究了一些我们不知道的东方数学古籍,而整理出来的这个体系,很可能就是抄袭。

这个情况,在当时的欧洲很普遍。
奇怪,Grassmann研究梵文,和唐僧一样。

根据Wikipedia,他创造了线性代数,线性空间,外积,Grassmannian...
头像
hci
论坛精英
论坛精英
帖子: 6210
注册时间: 7月 22, 2022, 3:29 pm
昵称(选填): 海螺子

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 hci »

线性代数,线性空间,外积,Grassmannian,blah blah,...其实就是同一个体系里的东西。他除了这个体系之外没有任何其他数学贡献。而且他提的这个体系,是与当时的西方数学体系是没有任何关系的(现在不可想象,但线性代数在当时的确是不存在的)。

他是研究梵文的,很可能是研究了一些神族留在印度的古书。

根据西琴,印度是伊南娜的封国。

苏美尔人有伊南娜利用色相从伏羲那里骗书(其实不是书,而是类似于USB drive一样的东西,手掌上可以放好几个,苏美尔文叫MI)的故事,绘声绘色,非常精彩。哈哈。伊南娜穿得花枝招展,到伏羲家做客,把伏羲灌醉了,撒娇让伏羲给她几个MI,就放在手上看一下,伏羲就掏出几个,放她手上,然后她就飞跑了,伏羲回过神了去追,没追上。官司打到神王哪里,说算了,知识本来就应该分享,云云。

伏羲传八卦给华夏。八卦其实也是属于这个线性空间的体系的。八卦五行,其实是某种homomorphism理论。
FoxMe 写了: 3月 16, 2023, 4:56 pm 奇怪,Grassmann研究梵文,和唐僧一样。

根据Wikipedia,他创造了线性代数,线性空间,外积,Grassmannian...
头像
hci
论坛精英
论坛精英
帖子: 6210
注册时间: 7月 22, 2022, 3:29 pm
昵称(选填): 海螺子

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 hci »

很好理解呀,没有2^n,就不能刻画这个空间里面所有可能的变化呀。

这个东西其实与八卦是同一个理论体系里面的东西。

八卦为啥要一定要三个爻?四个不行么?因为八卦本来是用来算DNA的。DNA与八卦的一一对应,早有民科发现了。

伏羲传了八卦给华夏,在他看来,可能是把这个虚拟现实的本质都告诉人类了。

道家啥都能算,算命,算国运,算整个人类的命运,因为这个现实是虚拟的,是一个程序。

当你什么都能算的时候,你会怎么想?你还会对这个虚拟现实的细节感兴趣么?你是不是会想如何跳出去?你是不是会想如何修仙?自己来写程序,而不是做一个NPC?
FoxMe 写了: 3月 14, 2023, 6:45 pm 上次讨论意犹未尽,我先提个问题:

n维向量空间的结构明了清晰,为啥还要去搞出Clifford algebra这个很复杂的东西?作为向量空间,它的维数是2^n。
头像
hci
论坛精英
论坛精英
帖子: 6210
注册时间: 7月 22, 2022, 3:29 pm
昵称(选填): 海螺子

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 hci »

我反复说,训诂学很重要。一个文字,你得从字里行间里读出东西来。真相就在字里行间,都是可以读出来的。用分析,用逻辑,考虑当时写作的背景和情形。

而不是想当然,更不是自己脑补来合理化一个东西。
hci 写了: 3月 16, 2023, 5:22 pm 线性代数,线性空间,外积,Grassmannian,blah blah,...其实就是同一个体系里的东西。他除了这个体系之外没有任何其他数学贡献。而且他提的这个体系,是与当时的西方数学体系是没有任何关系的(现在不可想象,但线性代数在当时的确是不存在的)。

他是研究梵文的,很可能是研究了一些神族留在印度的古书。

根据西琴,印度是伊南娜的封国。

苏美尔人有伊南娜利用色相从伏羲那里骗书(其实不是书,而是类似于USB drive一样的东西,手掌上可以放好几个,苏美尔文叫MI)的故事,绘声绘色,非常精彩。哈哈。伊南娜穿得花枝招展,到伏羲家做客,把伏羲灌醉了,撒娇让伏羲给她几个MI,就放在手上看一下,伏羲就掏出几个,放她手上,然后她就飞跑了,伏羲回过神了去追,没追上。官司打到神王哪里,说算了,知识本来就应该分享,云云。

伏羲传八卦给华夏。八卦其实也是属于这个线性空间的体系的。八卦五行,其实是某种homomorphism理论。
头像
hci
论坛精英
论坛精英
帖子: 6210
注册时间: 7月 22, 2022, 3:29 pm
昵称(选填): 海螺子

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 hci »

GPT-4的回答:

虽然n维向量空间的结构相对简单,但是Clifford代数作为一种更高级的数学工具,能够更有效地解决一些涉及到空间变换和旋转的问题。因此,在物理学、计算机图形学、机器人学等领域,Clifford代数有着广泛的应用。
FoxMe 写了: 3月 14, 2023, 6:45 pm 上次讨论意犹未尽,我先提个问题:

n维向量空间的结构明了清晰,为啥还要去搞出Clifford algebra这个很复杂的东西?作为向量空间,它的维数是2^n。
头像
hci
论坛精英
论坛精英
帖子: 6210
注册时间: 7月 22, 2022, 3:29 pm
昵称(选填): 海螺子

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 hci »

我继续问:我是问提出Clifford Algebra最初的动机是什么?

GPT-4: 最初提出Clifford代数的动机可以追溯到19世纪英国数学家William Kingdon Clifford的研究。Clifford的目标是开发一种数学工具,可以更自然地描述几何对象之间的关系以及它们在欧几里得空间中的变换。为了达到这个目标,Clifford借鉴了现有的数学概念,如复数和四元数,并将这些概念扩展到更高维度的数学框架中。

Clifford代数的引入主要是为了解决以下问题:

1. 几何变换:在多维向量空间中,传统的线性代数方法并不能直观地描述几何变换。Clifford代数提供了一种统一的表示方法,可以更自然地描述旋转、反射等几何变换。

2. 统一表示:Clifford代数通过引入多向量的概念,可以将标量、向量、双向量以及更高阶的几何元素统一在一个框架中。这种统一表示有助于简化几何计算,提高效率。

3. 坐标无关的几何:Clifford代数提供了一种不依赖于特定坐标系的几何计算方法。这使得在不同空间中进行几何变换和计算变得更加通用和灵活。

总之,Clifford代数最初的动机是开发一种更自然、更高效的数学框架,以研究和解决多维空间中的几何问题。随着时间的推移,这个框架已经在物理学、计算机图形学、机器人学等领域得到了广泛的应用。

我: 但Clifford并不是提出人,他只是发现了Grassmann的理论。我问Grassmann提出这个理论的目的。

GPT-4: 抱歉刚刚的回答有误。你是对的,Hermann Grassmann确实是最早提出这种数学结构的人。Grassmann代数(也称外代数)是由德国数学家Hermann Grassmann在19世纪40年代提出的。他在1844年发表的论文《Die lineale Ausdehnungslehre》(线性扩张理论)中首次引入了这个概念。

Grassmann提出这个理论的目的主要有以下几点:

1. 研究几何学:Grassmann的目标是发展一种新的数学方法,可以更自然地描述几何对象之间的关系以及它们在欧几里得空间中的变换。为了达到这个目标,Grassmann引入了一种新的代数结构,将向量的数量乘积(点积)与向量的面积乘积(外积)结合起来。

2. 简化几何计算:Grassmann代数提供了一种简化几何计算的方法,例如计算多维空间中向量的线性组合、求解线性方程组等。这种方法使得处理复杂几何问题变得更加容易。

3. 坐标无关的几何:Grassmann代数提供了一种不依赖于特定坐标系的几何计算方法。这使得在不同空间中进行几何变换和计算变得更加通用和灵活。

4. 激发新的数学思想:Grassmann的工作激发了后来许多数学家的研究,包括William Kingdon Clifford, Josiah Willard Gibbs,和其他学者。这些研究导致了Clifford代数、向量分析等数学领域的发展。

总之,Grassmann最初提出这个理论的目的是为了发展一种更自然、更高效的数学框架,以研究和解决多维空间中的几何问题。后来,这个理论成为了许多数学家和理论家的研究基础,并在物理学、计算机图形学、机器人学等领域得到了广泛应用。
头像
hci
论坛精英
论坛精英
帖子: 6210
注册时间: 7月 22, 2022, 3:29 pm
昵称(选填): 海螺子

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 hci »

我: 可Grassmann并不是一个数学家,他是研究梵文的。

GPT-4: 对不起,我在回答中的描述有误。Hermann Grassmann确实是一位多面手的学者,他的研究领域涉及语言学、物理学和数学。他的主要职业是教育家,担任过高中数学和物理老师。

尽管如此,Grassmann在数学领域的贡献仍然非常重要。他在1844年发表的论文《Die lineale Ausdehnungslehre》(线性扩张理论)中首次引入了Grassmann代数的概念。这个理论后来成为了许多数学家和理论家的研究基础,并在物理学、计算机图形学、机器人学等领域得到了广泛应用。

Grassmann的目标是发展一种新的数学方法,可以更自然地描述几何对象之间的关系以及它们在欧几里得空间中的变换。为了达到这个目标,Grassmann引入了一种新的代数结构,将向量的数量乘积(点积)与向量的面积乘积(外积)结合起来。这一理论对后来的数学发展产生了深远的影响。
头像
hci
论坛精英
论坛精英
帖子: 6210
注册时间: 7月 22, 2022, 3:29 pm
昵称(选填): 海螺子

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 hci »

所以,GPT-4与一般人一样,不具备从字里行间读出问题的能力。它就是一个普通人。不能指望AI能有创造性。

AI可以做一个学者的助手,但做不了学者。

不会提问题,想假设。
TheMatrix
论坛支柱
论坛支柱
TheMatrix 的博客
帖子: 9717
注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 TheMatrix »

hci 写了: 3月 16, 2023, 7:37 pm 所以,GPT-4与一般人一样,不具备从字里行间读出问题的能力。它就是一个普通人。不能指望AI能有创造性。

AI可以做一个学者的助手,但做不了学者。

不会提问题,想假设。
能不能引导它(ChatGPT)直到让它说出或猜想出Grassman可能是看了梵文或东方古籍而得到线性代数扩张的灵感的?
回复

回到 “STEM”