牛逼了,美帝高中生证明了勾股定理!

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赖美豪中
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Re: 牛逼了,美帝高中生证明了勾股定理!

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更牛b的,这两位还是抄袭的chatgpt
Pythagoras's theorem states that in a right triangle, the square of the length of the hypotenuse (the side opposite the right angle) is equal to the sum of the squares of the lengths of the other two sides. That is, for a right triangle with sides of length a, b, and c (where c is the hypotenuse), we have:

c^2 = a^2 + b^2

To prove this using trigonometry, we can use the definitions of sine, cosine, and tangent in a right triangle:

sin(theta) = opposite/hypotenuse
cos(theta) = adjacent/hypotenuse
tan(theta) = opposite/adjacent

First, consider a right triangle ABC with angle A being the right angle, and sides of length a, b, and c as shown in the diagram below.

css
Copy code
A
/|
/ |
c / | b
/ |
/____|
B a
From the definition of sine, we have:

sin(A) = b/c

Rearranging this equation, we get:

b = c*sin(A)

Similarly, from the definition of cosine, we have:

cos(A) = a/c

Rearranging this equation, we get:

a = c*cos(A)

Now, consider the square of the length of the hypotenuse c^2. Using the Pythagorean identity for sine and cosine, we have:

sin^2(A) + cos^2(A) = 1

Multiplying both sides by c^2, we get:

c^2sin^2(A) + c^2cos^2(A) = c^2

Substituting the expressions for a and b that we derived earlier, we get:

(csin(A))^2 + (ccos(A))^2 = c^2

Expanding the squares and simplifying, we get:

c^2*(sin^2(A) + cos^2(A)) = c^2

Using the Pythagorean identity again, we have:

sin^2(A) + cos^2(A) = 1

Substituting this back into the equation above, we get:

c^2 = a^2 + b^2

which is Pythagoras's theorem. Therefore, we have proved Pythagoras's theorem using trigonometry.
Danaus 写了: 3月 25, 2023, 12:36 am US teens say they have new proof for 2,000-year-old mathematical theorem

New Orleans students Calcea Johnson and Ne’Kiya Jackson recently presented their findings on the Pythagorean theorem

https://www.theguardian.com/us-news/202 ... etry-prove

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Re: 牛逼了,美帝高中生证明了勾股定理!

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holy shit, 三角函数相似性和勾股定理是一个东西,有相似性就有勾股定理。again, 你用三角函数证明勾股定理就好比买回来一辆汽车装两个脚踏板自己踩
YWY 写了: 3月 25, 2023, 9:20 pm 只用相似三角形等比的关系就能推出和差角公式,三角函数的定义也只依赖于相似三角形的同比关系。
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Re: 牛逼了,美帝高中生证明了勾股定理!

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赖美豪中 写了: 3月 25, 2023, 9:29 pm holy shit, 三角函数相似性和勾股定理是一个东西,有相似性就有勾股定理。again, 你用三角函数证明勾股定理就好比买回来一辆汽车装两个脚踏板自己踩
勾股定理可以通过相似三角形证出。流行的不同证法,大都也依赖于相似三角形(或全等三角形)。通过相似三角形,定义三角函数,然后通过导数性质,得出恒等式,也没毛病。属不属于拔得头筹,就不知道了。
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Re: 牛逼了,美帝高中生证明了勾股定理!

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相似三角形和勾股定理的升级版,你用相似三角形比用勾股定理更循环
YWY 写了: 3月 25, 2023, 9:35 pm 勾股定理可以通过相似三角形证出。流行的不同证法,大都也依赖于相似三角形(或全等三角形)。通过相似三角形,定义三角函数,然后通过导数性质,得出恒等式,也没毛病。属不属于拔得头筹,就不知道了。
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Re: 牛逼了,美帝高中生证明了勾股定理!

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赖美豪中 写了: 3月 25, 2023, 9:29 pm holy shit, 三角函数相似性和勾股定理是一个东西,有相似性就有勾股定理。again, 你用三角函数证明勾股定理就好比买回来一辆汽车装两个脚踏板自己踩
老钟家的小孩找到一个新证法,你可以不屑一顾,但名贵孩子证出来,还是要鼓励的。
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Re: 牛逼了,美帝高中生证明了勾股定理!

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抬头,就连这个都是从chatgpt抄来的
YWY 写了: 3月 25, 2023, 9:39 pm 老钟家的小孩找到一个新证法,你可以不屑一顾,但名贵孩子证出来,还是要鼓励的。
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Re: 牛逼了,美帝高中生证明了勾股定理!

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赖美豪中 写了: 3月 25, 2023, 9:37 pm 相似三角形和勾股定理的升级版,你用相似三角形比用勾股定理更循环
用相似三角形证勾股定理可不算循环,只是证法太普通没新意而已。比较常见的方法是在直角三角形的直角顶点向斜边划垂线,通过相似三角形,就能得出勾股定理。
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Re: 牛逼了,美帝高中生证明了勾股定理!

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赖美豪中 写了: 3月 25, 2023, 9:41 pm 抬头,就连这个都是从chatgpt抄来的
你看到人家高中生的证明了吗?怎么知道是从chatGPT抄的?你从chatGPT那里问到的答案确实有循环。
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Re: 牛逼了,美帝高中生证明了勾股定理!

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他们的证明新闻里不写了?
YWY 写了: 3月 25, 2023, 9:47 pm 你看到人家高中生的证明了吗?怎么知道是从chatGPT抄的?你从chatGPT那里问到的答案确实有循环。
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Re: 牛逼了,美帝高中生证明了勾股定理!

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https://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200925.pdf
你这套也都是早就发表过得了
YWY 写了: 3月 25, 2023, 9:45 pm 用相似三角形证勾股定理可不算循环,只是证法太普通没新意而已。比较常见的方法是在直角三角形的直角顶点向斜边划垂线,通过相似三角形,就能得出勾股定理。
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Re: 牛逼了,美帝高中生证明了勾股定理!

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赖美豪中 写了: 3月 25, 2023, 9:48 pm 他们的证明新闻里不写了?
新闻里也没说具体证法,只是说用三角函数。
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Re: 牛逼了,美帝高中生证明了勾股定理!

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赖美豪中 写了: 3月 25, 2023, 9:53 pm https://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200925.pdf
你这套也都是早就发表过得了
所以,我的观点是,确实可以通过三角函数证出勾股定理,至于是不是创新就的另说了。不过,高中生能花时间琢磨勾股定理,值得鼓励。
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Re: 牛逼了,美帝高中生证明了勾股定理!

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人新闻里专门说,一般认为用三角函数是循环证明,她们的创新就在于虽然用了三角函数,还是仔细地规避了循环证明。这里拿一个chatgpt的naive循环证明安到人中学生身上,是不会读新闻么?
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Re: 牛逼了,美帝高中生证明了勾股定理!

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我老认真看了一下视频,我承认我误解人家了。
rgg 写了: 3月 25, 2023, 10:01 pm 人新闻里专门说,一般认为用三角函数是循环证明,她们的创新就在于虽然用了三角函数,还是仔细地规避了循环证明。这里拿一个chatgpt的naive循环证明安到人中学生身上,是不会读新闻么?
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huangchong
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Re: 牛逼了,美帝高中生证明了勾股定理!

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rgg 写了: 3月 25, 2023, 10:01 pm 人新闻里专门说,一般认为用三角函数是循环证明,她们的创新就在于虽然用了三角函数,还是仔细地规避了循环证明。这里拿一个chatgpt的naive循环证明安到人中学生身上,是不会读新闻么?
我觉得他是规避了明显的循环证明。但是可能本质还是循环证明。
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huangchong 写了: 3月 25, 2023, 10:30 pm 我觉得他是规避了明显的循环证明。但是可能本质还是循环证明。
你要说直角坐标系的度量基于勾股定理,那我没话可说。

但从另一个角度看,数字化的平面(空间)通过引入度量(灵感确实源于勾股定理),也可看作是自成体系,通过度量(内积),可以定义角度,包括正交(垂直)的概念,然后可以有勾股定理:如果向量a和向量b正交,那么向量a+b的模长平方等于向量a和向量b的模长平方和。

算不算循环?
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Re: 牛逼了,美帝高中生证明了勾股定理!

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菲儿子奖肯定是跑不了,羡慕中。
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Re: 牛逼了,美帝高中生证明了勾股定理!

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黑人把十八世纪以来的所有数学定理,都证一遍。一千年够不够
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Re: 牛逼了,美帝高中生证明了勾股定理!

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YWY 写了: 3月 25, 2023, 9:35 pm 勾股定理可以通过相似三角形证出。流行的不同证法,大都也依赖于相似三角形(或全等三角形)。通过相似三角形,定义三角函数,然后通过导数性质,得出恒等式,也没毛病。属不属于拔得头筹,就不知道了。
我仔细看了一下,摘要说的是基于 Sine Law,

a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)

Sine Law的证明和 sin^2(x)+cos^2(x)=1 独立, 因此没有循环论证。
我大约能猜出她们是怎么用Sine Law 来证明的

我不觉得她们两个的证明会有问题。

这个就和 https://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200925.pdf 用三角函数和差公式结果,而三角函数和差公式的证明和 sin^2(x)+cos^2(x)=1 独立。

现在看来,至少有两种方法来用三角函数的结果来证明勾股定理。

可能还会有更多三角函数的结果来证明勾股定理。只需要这个三角函数公式的证明和sin^2(x)+cos^2(x)=1 独立就行。

其实好多时候用三角函数结果来证明,主要就是用了三角形相似的东西。这样就可以找到一个基于三角函数公式的证明,而没有循环论证。但其实这些证明就是换一个标签而已,因为所有的这样证明可以直接用三角形相似来证会简化很多。
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Re: 牛逼了,美帝高中生证明了勾股定理!

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证明来了,给美帝高中生点赞!

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