i和1正交吗?
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Re: i和1正交吗?
你这是混淆了数域和向量空间。 当你做了同构变换 i-e_y, 1-e_x以后,在实数域上的由正交基(e_x,e_y)张成的向量空间里,e_x和e_y正交。
在复数域上,就不能做这样的同构变换,i和1都只能映射为一维向量,它们平行。
在复数域上,就不能做这样的同构变换,i和1都只能映射为一维向量,它们平行。
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Re: i和1正交吗?
那么考虑向量(i, i)和(1, 2),在实空间正交,在复空间不正交,又怎么解释?
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Re: i和1正交吗?
我觉得这个矛盾是Hermitian inner product的一个缺陷。如果把内积定义为Hermitian inner product的实部:
Re{<x,y>}
就能消除这个矛盾。但是,这个内积定义又会导致其它的问题。
Re{<x,y>}
就能消除这个矛盾。但是,这个内积定义又会导致其它的问题。
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Re: i和1正交吗?
Hermitian inner product的定义是很特殊。首先它是一个bilinear form。
但是它不是symmetric的,也不是anti-symmetric的,而是sesquilinear form。这里糅合了一个conjugation,也是一个involution。把这些糅合在一起,也是很精妙的,不能说是缺陷,我觉得。
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Re: i和1正交吗?
这和“1和i在实数域上线性无关、但在复数域上线性相关”是同一个性质吧。
正交的概念也好,线性相关的概念也好,都取决于定义。涉及到线性空间的话,也取决于是哪一个数域上的。
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Re: i和1正交吗?
我在想quadratic form的时候,好像有一个问题和你这里的类似。
quadratic form,我除了正定的情况,其他的没怎么细想过。今天想Real Clifford algebra的时候,突然出现一个困惑。
就是一个二维Real vector space,假设上面有一个quadratic form Q,nondegenerate,signature 为 (1,-1)。也就是有一个basis (e1, e2),Q(e1)=1,Q(e2)=-1。
那么Q(e1+e2)应该等于多少?
我开始把它想成复数空间了,e1对应1,e2对应i,Q想象成了z2,但是这就不是Real quadratic space了。
后来发现Q(e1+e2)应该等于0。你觉得这个对不对?
那么对于一个非正定nondegenerate的quadratic form Q,可以有v !=0 but Q(v)=0。
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Re: i和1正交吗?
展开Q(e_1+e_2, e_1+e_2)就可以算了。TheMatrix 写了: ↑3月 30, 2023, 9:31 pm 我在想quadratic form的时候,好像有一个问题和你这里的类似。
quadratic form,我除了正定的情况,其他的没怎么细想过。今天想Real Clifford algebra的时候,突然出现一个困惑。
就是一个二维Real vector space,假设上面有一个quadratic form Q,nondegenerate,signature 为 (1,-1)。也就是有一个basis (e1, e2),Q(e1)=1,Q(e2)=-1。
那么Q(e1+e2)应该等于多少?
我开始把它想成复数空间了,e1对应1,e2对应i,Q想象成了z2,但是这就不是Real quadratic space了。
后来发现Q(e1+e2)应该等于0。你觉得这个对不对?
那么对于一个非正定nondegenerate的quadratic form Q,可以有v !=0 but Q(v)=0。
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Re: i和1正交吗?
Quadratic form Q两个变量。说一个变量,一般是指两个变量相等的情况:Q(e) = Q(e, e)。
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Re: i和1正交吗?
非正定二次型的著名例子:闵可夫斯基时空x^2+y^2+z^3-ct^2
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Re: i和1正交吗?
This is all fine.
However, in my mind, I like to start with Q(x, y) = x^TAy, where A is symmetric matrix. Then, a quadratic form is Q(x) = Q(x, x). Thus, Q(x+y) = Q(x+y, x+y) = Q(x, x) + Q(x, y) + Q(y, x) + Q(y, y).
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