TheMatrix 写了: ↑10月 13, 2023, 9:57 am
local fields在Elliptic Curve里用,就是因为要modulo p。以前我不理解local fields为什么是local,当时都是代数几何,太抽象。现在差不多理解了,确实是local。代数方程最初的目标是整数解,但是整数解太难,modulo p之后容易多了 - 有限的选择,一个一个试就行了。p只是一个素数,集中火力对付一个素数,就是localize at p。代数几何方面实际上这一点更明显,它是localize at a point,只研究一点附近的性质,所以是local,literally。
嗯,这个localization好像也是有两个方向。Elliptic Curve也是一个几何物体,也有localize at a point的需要。另一个方向是modulo p,这和localize at a point还不一样。
localize at a point,是研究曲线上的函数,全部函数,其中的在某一点不为0的那些。这个地方也是数学中的一个很有意思的手段 - 研究一个物体,就研究其上的全部的xxx - 这是以代数研究几何的标准手段,之一。
“研究其上的全部的xxx”,这是一种整体性研究,因为“全部的xxx”作为一个实体,肯定在每一个“物体”上都不一样。所以对它分类就是对物体本身分类。
“物体之上全部的xxx”,听起来就很大,实际上也很大 - 太大了,经常抡不动。这算这个方法的一个缺点吧。
但是,有的时候必须说,大则大矣,小又小矣。“大”是说它的集合大,里面的元素多。“小”是说我们关心的属性少,元素的性质少。就好像一只猫,黄色的,我要研究这只猫,我说:把全部黄色的物体给我集合起来,叫“黄色”。这个集合,大则大矣,小又小矣。
Elliptic Curve上全部的函数(代数函数,只有 + 和 *,也就是polynomial),叫coordinate ring,因为它是ring of polynomials of (x,y) up to getting same values on the curve。也就是全部二元polynomial,两个polynomial算同一个 - 如果它们相差等于elliptic curve defining polynomial的倍数,倍数可以是一个polynomial。
然后,coordinate ring元素之间相除,得到field of fraction,这个叫function field。这个和coordinate ring是一起得到的。
然后,固定elliptic curve上一点,coordinate ring R中,如果只研究在该点附近有定义的函数,就叫localize at a point。这相当于:
1,令M为coordinate ring中在该点为0的函数的集合。
2,令S=R\M,也就是在该点不为0的函数。
3,令R
0=R/S = {r/s: r in R, s in S}。
这个R
0就是一个local ring - 只有唯一的一个maximal ideal,是MR
0。