TheMatrix 写了： ↑10月 13, 2023, 9:57 am
local fields在Elliptic Curve里用，就是因为要modulo p。以前我不理解local fields为什么是local，当时都是代数几何，太抽象。现在差不多理解了，确实是local。代数方程最初的目标是整数解，但是整数解太难，modulo p之后容易多了 - 有限的选择，一个一个试就行了。p只是一个素数，集中火力对付一个素数，就是localize at p。代数几何方面实际上这一点更明显，它是localize at a point，只研究一点附近的性质，所以是local，literally。
嗯，这个localization好像也是有两个方向。Elliptic Curve也是一个几何物体，也有localize at a point的需要。另一个方向是modulo p，这和localize at a point还不一样。
localize at a point，是研究曲线上的函数，全部函数，其中的在某一点不为0的那些。这个地方也是数学中的一个很有意思的手段 - 研究一个物体，就研究其上的全部的xxx - 这是以代数研究几何的标准手段，之一。
“研究其上的全部的xxx”，这是一种整体性研究，因为“全部的xxx”作为一个实体，肯定在每一个“物体”上都不一样。所以对它分类就是对物体本身分类。
“物体之上全部的xxx”，听起来就很大，实际上也很大 - 太大了，经常抡不动。这算这个方法的一个缺点吧。
但是，有的时候必须说，大则大矣，小又小矣。“大”是说它的集合大，里面的元素多。“小”是说我们关心的属性少，元素的性质少。就好像一只猫，黄色的，我要研究这只猫，我说：把全部黄色的物体给我集合起来，叫“黄色”。这个集合，大则大矣，小又小矣。
Elliptic Curve上全部的函数（代数函数，只有 + 和 *，也就是polynomial），叫coordinate ring，因为它是ring of polynomials of (x,y) up to getting same values on the curve。也就是全部二元polynomial，两个polynomial算同一个 - 如果它们相差等于elliptic curve defining polynomial的倍数，倍数可以是一个polynomial。
然后，coordinate ring元素之间相除，得到field of fraction，这个叫function field。这个和coordinate ring是一起得到的。
然后，固定elliptic curve上一点，coordinate ring R中，如果只研究在该点附近有定义的函数，就叫localize at a point。这相当于：
1，令M为coordinate ring中在该点为0的函数的集合。
2，令S=R\M，也就是在该点不为0的函数。
3，令R
0=R/S = {r/s: r in R, s in S}。
这个R
0就是一个local ring - 只有唯一的一个maximal ideal，是MR
0。
，厘清所有的关系。