关于椭圆曲线，听说这本书不错

[FoxMe]

好，若n不为零，[n]: E1(\bar{K})->E2(\bar{K})是满射。现在的问题是：

如果K不是代数封闭的，那么isogeny也是0或满射吗？

其实这个问题归结为：如果K不是代数封闭的，那么morphism也是0或满射吗？

[TheMatrix]

好，若n不为零，[n]: E1(\bar{K})->E2(\bar{K})是满射。现在的问题是：

如果K不是代数封闭的，那么isogeny也是0或满射吗？

其实这个问题归结为：如果K不是代数封闭的，那么morphism也是0或满射吗？

对。是这个问题。

Silverman那本书的convention，不提K的话，就是指代数闭包。但是他没提K的情况，也就是不是代数闭包的情况。

Bing Chat是说不需要代数封闭域的。

viewtopic.php?p=2169096#p2169096

changbaihou应该是对的。我又修正了几遍Bing chat的prompt。它是这么回答的：



但是它不会是[0]：

[TheMatrix]

对。是这个问题。

Silverman那本书的convention，不提K的话，就是指代数闭包。但是他没提K的情况，也就是不是代数闭包的情况。

Bing Chat是说不需要代数封闭域的。

viewtopic.php?p=2169096#p2169096

changbaihou应该是对的。我又修正了几遍Bing chat的prompt。它是这么回答的：



但是它不会是[0]：

来看看这个定理。有没有说K是不是algebraically closed？

从它下面提到\bar{K}来看，应该不是。而且这本书的convention是，如果不提K，那就是underlying field就是algebraically closed，如果显式提到K，比如E/K，那就是不要求algebraically closed，因为会提到\bar{K}/K。

所以从定理的叙述看，K不需要是algebraically closed。但是它的证明似乎又用到algebraically closed的性质。比如画红线的地方，二阶torsion points只能有有限个，所以隐含说一定有不是2阶的。他是不是隐含说曲线上有无穷多个点？后面证明奇数倍乘不为[0]的时候，用到\bar{K}了，然后它又没有降回K。

[changbaihou]

好，若n不为零，[n]: E1(\bar{K})->E2(\bar{K})是满射。现在的问题是：

如果K不是代数封闭的，那么isogeny也是0或满射吗？

其实这个问题归结为：如果K不是代数封闭的，那么morphism也是0或满射吗？

Isogeny所提到的满射和K没太多关系，因为只是在说它在K的代数闭包上是满射。当然K是代数闭的时候在K上就是满射，不是代数闭的时候很可能就不是满射(除了multiply by 1，by -1这些)。当然answer to your last question也是No了。

把在\bar{K}上isogeny是满射放在其定义里可以有，但如果用isogeny的具体形式(image 的components都K-rational functions的一个morphism)代替可能更直观。对了，大家说isogeny时一般都自动assume它不是0映射，有人把[0]当做一个isogeny只是为了方便描述isogeny集合的代数结构。就象矩阵里eigenvectors都不为0，但把0向量加进去就有了eigen-SPACE一样。

[TheMatrix]

Isogeny所提到的满射和K没太多关系，因为只是在说它在K的代数闭包上是满射。当然K是代数闭的时候在K上就是满射，不是代数闭的时候很可能就不是满射(除了multiply by 1，by -1这些)。当然answer to your last question也是No了。

嗯。对。Silverman书里在\bar{K}和K之间跳来跳去，把我弄糊涂了。

所以，一个number field，根据Mordell定理，椭圆曲线是finitely generated。所以torsion subgroup为有限。

这句话还是对的：[m]映射把torsion points映射成torsion points，把非torsion points映射成非torsion points。

而torsion points为有限，当m为torsion subgroup的阶的时候，[m]把所有的torsion points都映射为0。而这些torsion points本身不能被映射到，所以这个[m]不是满射。

[changbaihou]

嗯。对。Silverman书里在\bar{K}和K之间跳来跳去，把我弄糊涂了。

所以，一个number field，根据Mordell定理，椭圆曲线是finitely generated。所以torsion subgroup为有限。

这句话还是对的：[m]映射把torsion points映射成torsion points，把非torsion points映射成非torsion points。

而torsion points为有限，当m为torsion subgroup的阶的时候，[m]把所有的torsion points都映射为0。而这些torsion points本身不能被映射到，所以这个[m]不是满射。

对，K是个代数数域的话，E(K)的torsion part和rank都是有限的。如果|m|>1，那[m]: E(K)->E(K)是满射if and only if rank(E(K))=0，而且m和|E(K)|互素。所以只要rank(E(K))=0，还是有infinitely many m使得[m]: E(K)->E(K)是满射的。比如K=Q，如果rank(E(Q))=0，那么对任何素数p>7，[p]: E(Q)->E(Q)是满射。

[TheMatrix]

对，K是个代数数域的话，E(K)的torsion part和rank都是有限的。如果|m|>1，那[m]: E(K)->E(K)是满射if and only if rank(E(K))=0，而且m和|E(K)|互素。所以只要rank(E(K))=0，还是有infinitely many m使得[m]: E(K)->E(K)是满射的。比如K=Q，如果rank(E(Q))=0，那么对任何素数p>7，[p]: E(Q)->E(Q)是满射。

嗯。这是Mazur定理。我刚看到这里：



这个结论好像也是令人惊讶的 - E(Q)不存在很大的torsion group。

[FoxMe]

rank(E(K))>0会出现什么情况？[m]不是满射吗？那么“isogeny非零即满射”这个结论在代数数域上就不成立了。

对，K是个代数数域的话，E(K)的torsion part和rank都是有限的。如果|m|>1，那[m]: E(K)->E(K)是满射if and only if rank(E(K))=0，而且m和|E(K)|互素。所以只要rank(E(K))=0，还是有infinitely many m使得[m]: E(K)->E(K)是满射的。比如K=Q，如果rank(E(Q))=0，那么对任何素数p>7，[p]: E(Q)->E(Q)是满射。

[changbaihou]

rank(E(K))>0会出现什么情况？[m]不是满射吗？那么“isogeny非零即满射”这个结论在代数数域上就不成立了。

E(K)是个free abelian group。如果rank>0, E(K)有non-trivial的free part P_1Z+aP_2Z+..., 这里{P_1, P_2,...}是free part的一组generators。只要|m|>1，那P_1就不在m(E(K))里，所以[m]不可能是满射。

先前说过了，[m]: E(\bar(K))->E(\bar(K))才是满射，一般情况下[m]: E(K)->E(K)不是满射。

[FoxMe]

有限域上的椭圆曲线是另一种情况：所有的点都是torsion.

嗯。这是Mazur定理。我刚看到这里：



这个结论好像也是令人惊讶的 - E(Q)不存在很大的torsion group。

[FoxMe]

明白了，多谢。这里容易混淆，书上也不大明确。

E(K)是个free abelian group。如果rank>0, E(K)有non-trivial的free part P_1Z+P_2Z+..., 这里{P_1, P_2,...}是free part的一组generators。只要|m|>1，那P_1就不在m(E(K))时，所以[m]不可能是满射。

先前说过了，[m]: E(\bar(K))->E(\bar(K))才是满射，一般情况下[m]: E(K)->E(K)不是满射。

[TheMatrix]

最后应该怎么弄呢？在UTM那本书里，第17页，比较靠前了，呵呵。但是这页书也不好看：



这页书说的是这个意思：

1，用projective linear的方式，也就是非齐次方程的fractional linear的方式，可以把椭圆曲线最一般形式变成这个形式：



2，然后两边乘以x，变成

再用换元xy -> y，也可以说是 Y=a₂₁X'+a₂₂Y'+a₂₃Z' with a₂₂=X'，a₂₁=a₂₃=0，把它变为

注意这一步不是线性变换。

这一步是神来之笔。但是神来之笔又是怎么来的呢？是人家把椭圆曲线的几何研究清楚了，才有这么一个神来之笔。它的思路也在这一页里，就是第一段，和中间那个图。

3，再做一个简单的线性变换，就变成Weierstrass标准形式了。

4，再做一个线性变换，就变成Weierstrass最简形式了。

用sympy算了一下。

假设椭圆曲线是一个一般三次曲线：
x**3 + 9*x**2*y + 4*x**2 - 5*x*y**2 - 2*x*y - 9*x - 5*y**3 + 7*y**2 + y - 1

齐次化：
X**3 + 9*X**2*Y + 4*X**2*Z - 5*X*Y**2 - 2*X*Y*Z - 9*X*Z**2 - 5*Y**3 + 7*Y**2*Z + Y*Z**2 - Z**3

找到三个点，然后做如下的projective linear transformation，也就是换元法：
(X, x + 6983*y + 12786655623233*z)
(Y, x - 11207*y - 14559944854257*z)
(Z, x + 12440*y + 8189568859240*z)

得到这个方程：
128010669072400*x**2*z - 6018636259*x*y**2 - 11512137039155390218*x*y*z - 4920678109262728466907061459*x*z**2 - 3181797061512984297624468800000*y*z**2 - 6140495869762798292253643284262148800000*z**3

再去齐次化，得到：
128010669072400*x**2 - 6018636259*x*y**2 - 11512137039155390218*x*y - 4920678109262728466907061459*x - 3181797061512984297624468800000*y - 6140495869762798292253643284262148800000

这个方程乘以x，再做 xy --> y的替换，就基本上变成了Weierstrass形式。这一步不是线性的，而是有理的。

[TheMatrix]

用sympy算了一下。

假设椭圆曲线是一个一般三次曲线：
x**3 + 9*x**2*y + 4*x**2 - 5*x*y**2 - 2*x*y - 9*x - 5*y**3 + 7*y**2 + y - 1

齐次化：
X**3 + 9*X**2*Y + 4*X**2*Z - 5*X*Y**2 - 2*X*Y*Z - 9*X*Z**2 - 5*Y**3 + 7*Y**2*Z + Y*Z**2 - Z**3

找到三个点，然后做如下的projective linear transformation，也就是换元法：
(X, x + 6983*y + 12786655623233*z)
(Y, x - 11207*y - 14559944854257*z)
(Z, x + 12440*y + 8189568859240*z)

得到这个方程：
128010669072400*x**2*z - 6018636259*x*y**2 - 11512137039155390218*x*y*z - 4920678109262728466907061459*x*z**2 - 3181797061512984297624468800000*y*z**2 - 6140495869762798292253643284262148800000*z**3

再去齐次化，得到：
128010669072400*x**2 - 6018636259*x*y**2 - 11512137039155390218*x*y - 4920678109262728466907061459*x - 3181797061512984297624468800000*y - 6140495869762798292253643284262148800000

这个方程乘以x，再做 xy --> y的替换，就基本上变成了Weierstrass形式。这一步不是线性的，而是有理的。

不过这个只是为了证明一般三次曲线都能转化为Weierstrass标准形式。计算的话，应该不需要它。因为可以直接得到addition formula和duplication formula，比先转化为Weierstrass形式还简单。

[forecasting]

这个帖子可以继续刷，不要沉下去了。

[TheMatrix]

这个帖子可以继续刷，不要沉下去了。

我UTM那本书都看完了。确实比GTM那本好理解得多。

GTM那本看完了7，8，9章 - local fields, global fields, integral points. 很多地方要先看UTM那本书，才知道它要干什么。

GTM那本现在在看第10章，Computing Mordell-Weil group。越到后面越技术化，group cohomology这些都出来了。还有作者自己的paper。然后是最后一章第11章，Elliptic Curve cryptography。这章在UTM那本书里也是有的。

后面这几章我没什么感觉了，可能是脑袋被摩擦的厉害，找不到感觉了。

有意义的是这么几块：
Integral points - 这个和Rational Points的方法很不同。
Computing Mordell-Weil group - 也就是Rank。
Elliptic Curve cryptography.

还有一块是L函数，这个在UTM里面讲到了，很有意思。GTM里面好像还没有。

我还没看完，还要再沉淀一下。

[Caravel]

我UTM那本书都看完了。确实比GTM那本好理解得多。

GTM那本看完了7，8，9章 - local fields, global fields, integral points. 很多地方要先看UTM那本书，才知道它要干什么。

GTM那本现在在看第10章，Computing Mordell-Weil group。越到后面越技术化，group cohomology这些都出来了。还有作者自己的paper。然后是最后一章第11章，Elliptic Curve cryptography。这章在UTM那本书里也是有的。

后面这几章我没什么感觉了，可能是脑袋被摩擦的厉害，找不到感觉了。

有意义的是这么几块：
Integral points - 这个和Rational Points的方法很不同。
Computing Mordell-Weil group - 也就是Rank。
Elliptic Curve cryptography.

还有一块是L函数，这个在UTM里面讲到了，很有意思。GTM里面好像还没有。

我还没看完，还要再沉淀一下。

你们还在啃这本书啊。

[FoxMe]

我最近一段时间没看了，但是以后还是会看的。有几个问题还没弄懂。

[TheMatrix]

我UTM那本书都看完了。确实比GTM那本好理解得多。

GTM那本看完了7，8，9章 - local fields, global fields, integral points. 很多地方要先看UTM那本书，才知道它要干什么。

GTM那本现在在看第10章，Computing Mordell-Weil group。越到后面越技术化，group cohomology这些都出来了。还有作者自己的paper。然后是最后一章第11章，Elliptic Curve cryptography。这章在UTM那本书里也是有的。

后面这几章我没什么感觉了，可能是脑袋被摩擦的厉害，找不到感觉了。

有意义的是这么几块：
Integral points - 这个和Rational Points的方法很不同。
Computing Mordell-Weil group - 也就是Rank。
Elliptic Curve cryptography.

还有一块是L函数，这个在UTM里面讲到了，很有意思。GTM里面好像还没有。

我还没看完，还要再沉淀一下。

这本书确实有点难，后半部分很多无法领略。这两天和FoxMe，changbaihou讨论问题，才发现自己又miss一个点：

local-global principal
Tate–Shafarevich group
Hensel's lemma

local-global principal是说一个代数方程如果在所有的modulo p下有解，那么在Q下很可能有解。这里应该和Hensel's lemma也有关的 - 一个代数方程modulo p有解，那么modulo p²也应该有解，same for pⁿ，所以在p-adic number中有解，也就是local field中有解。这是local-global中的local。

而Tate–Shafarevich group，是一种度量 - local-global principal不好使，或者说距离local-global principal好使有多远的一种度量 - obstruction of local-global principal。一般来讲，度量obstruction都是某种商群 - quotient，商去某种已知原理一定成立的情况。这种已知一定成立的情况，通常作为一个子群或者说kernel存在，商群就是coset，每一个都在这个子群的外面。coset有多少，就是这个商群，也就是这个obstruction的度量。Tate–Shafarevich group作为商群，我是听来的，先留个线头，有机会再了解。

[FoxMe]

0 → B(K)/f(A(K)) → Sel(f)(A/K) → Ш(A/K)[f] → 0

Selmer, Tate–Shafarevich group的定义需要cohomology，没学过，所以就没法往下看了。

[forecasting]

你们俩结束这学科或者这书的学习了吗？