关于椭圆曲线，听说这本书不错

[TheMatrix]

想了一下，可以用P(z)函数来解释：x=P(z), y=0.5P'(z).

可以看出x-1=P(z)-1在x=1处有二阶零点，因为P(z)-1=0，P'(z)=0；y有一阶零点，因为P'(z)=0（P'(z)不为0，待核实）。
无穷处可以用z=0来处理，P(z)-1在z=0处有二阶极点，y=0.5P'(z)有三阶极点（从P(z)定义可看出）。

这么做的好处是不用理想，那个没有太大必要。但是怎么理解椭圆曲线上的函数，怎么把两者串通，我还差一点点。

嗯。很好。确实，用Weierstrass P-函数这么一映射，零点和极点以及阶数都清楚了。

[FoxMe]

证明我以前都略去没看，实在太麻烦。要用很多技巧：height, descent, 代数数论，反证法...

UTM考虑特例，绕过了代数数论，还是很麻烦。

最后，反证法只能说明存在性，不能算出rank，Mordell留出了BSD猜想。Mordell相当厉害。

GTM还在第三章，UTM又看了两章 - 第二章和第三章。

领略了Mordell定理的证明。确实很复杂。使我想起Dirichlet的那个nx+y中有无穷多素数的证明。都必须构建新概念，才能把事情说清楚。

[TheMatrix]

在椭圆曲线y²=(x-1)(x-2)(x-3)上，函数x-1在无穷远点是二阶极点。

1，从分析的角度看，椭圆曲线（假设是over complex number）在P_∞附近complex拓扑同构于一个复平面（w变量），而x-1这个函数应该可以展开成1/w²+1/w+c₀+...的形式，所以是二阶极点。但是是以什么方式做的拓扑同构，这个没有说明。应该有一定的不变性，但还是有要求的。

这个问题在GTM第四章的第一节里有：



它差不多是把椭圆曲线坐标旋转一下：(x,y)先齐次化为[X,Y,Z]，然后不看Z=1，而是看Y=1。这样原来的无穷远点在新的坐标下就变成了(0,0)点，然后在(0,0)点附近展开。我也是这么想的，但是x和y函数在新坐标下变成了什么，没有完全想清楚。应该按它这里的处理方法。

[TheMatrix]

证明我以前都略去没看，实在太麻烦。要用很多技巧：height, descent, 代数数论，反证法...

UTM考虑特例，绕过了代数数论，还是很麻烦。

最后，反证法只能说明存在性，不能算出rank，Mordell留出了BSD猜想。Mordell相当厉害。

对。他这里是特例。好像是over Q。没考虑一般数域。

[TheMatrix]

GTM还在第三章，UTM又看了两章 - 第二章和第三章。

领略了Mordell定理的证明。确实很复杂。使我想起Dirichlet的那个nx+y中有无穷多素数的证明。都必须构建新概念，才能把事情说清楚。

GTM第三章终于看完了。第三章很长。

领略了不少东西 - 只能说领略 - 因为跳过了大部分证明。但是构造还是领略了不少。

Tate module，这个基本上类似于p-adic number，我一直不是很熟悉。但是这次增加了一些熟悉度。以inverse limit的方式定义，我觉得我还是能接受的。

isogeny，这个本来就是一个rational mapping between varieties，但是在椭圆曲线上，突然又变成了group homomorphism.

invariant differential，这应该是从微分几何中借鉴来的概念。看起来复杂的很，但是他说了，实际计算起来，比直接用椭圆曲线上的group law还是要简单，因为differential的作用是linearization。他说的对。:)

endomorphism ring of 椭圆曲线，也就是椭圆曲线自映射，主体是倍乘操作。不是倍乘操作的就叫complex multiplication。

[FoxMe]

differential我还是没看懂，不过貌似主要用在Riemann-Roch的证明过程中。我接受Riemann-Roch，differential暂时略过...

此外，pairing还在看。

[FoxMe]

第四章的目的是什么？我没看懂，虽然以前学过p-adic，Hensel's lemma等等。

所谓的formal group比Weierstrass P-function好在哪里？

这个问题在GTM第四章的第一节里有：



它差不多是把椭圆曲线坐标旋转一下：(x,y)先齐次化为[X,Y,Z]，然后不看Z=1，而是看Y=1。这样原来的无穷远点在新的坐标下就变成了(0,0)点，然后在(0,0)点附近展开。我也是这么想的，但是x和y函数在新坐标下变成了什么，没有完全想清楚。应该按它这里的处理方法。

[TheMatrix]

这个问题在GTM第四章的第一节里有：



它差不多是把椭圆曲线坐标旋转一下：(x,y)先齐次化为[X,Y,Z]，然后不看Z=1，而是看Y=1。这样原来的无穷远点在新的坐标下就变成了(0,0)点，然后在(0,0)点附近展开。我也是这么想的，但是x和y函数在新坐标下变成了什么，没有完全想清楚。应该按它这里的处理方法。

这个应该这样看：中心是齐次化坐标(X,Y,Z)，这个具有不变性。可以以不同的方向dehomogenize，一般是以Z方向，也就是Z变成1。这样的话，标准椭圆曲线的无穷远点在[0,1,0]方向。如果想把它变换到普通平面里的话，可以以Y方向dehomogenize。这样就有这么一个关系：

(x,y,z) <---> (X,Y,Z) <---> (x',y',z')

其中
x=X/Z, y=Y/Z, z=1
x'=X/Y, y'=1, z'=Z/Y

所以(x,y,z)和(x',y',z')的关系就是：
x'=x/y, z'=1/y

[TheMatrix]

第四章的目的是什么？我没看懂，虽然以前学过p-adic，Hensel's lemma等等。

所谓的formal group比Weierstrass P-function好在哪里？

我也不知道。可能处理无穷远点容易一些？

[TheMatrix]

第四章的目的是什么？我没看懂，虽然以前学过p-adic，Hensel's lemma等等。

所谓的formal group比Weierstrass P-function好在哪里？

这些大词就往上整：
1, local ring R with unique maximal ideal M,
2, also a principal ideal domain, so M=zR,
3, complete - with respect to the filtration Mⁱ,
4, with K being the fraction field of R.

哈哈。

[TheMatrix]

这些大词就往上整：
1, local ring R with unique maximal ideal M,
2, also a principal ideal domain, so M=zR,
3, complete - with respect to the filtration Mⁱ,
4, with K being the fraction field of R.

哈哈。

所以代数是什么？就是
1，抽取结构，
2，剥离物体的“意义”，
3，符号规则。
这三点互相之间不矛盾，可以说是一体两面，一体三面。1好像是个好词，2，3有点机械化。但实际上是一样的 - 都往好里理解就对了。

比如分析中有求导，derivative。代数中为了模拟它，提出了一个derivation：
a derivation d on a k-algebra A, is a k-linear operator on A, such that for f,g in A, d(f*g)=df*g+f*dg.

这个是典型的代数抽取分析的结构。derivation能代表derivative的全部吗？肯定不能。但是也不好说。

为什么说肯定不能又不好说呢？因为“分析”的对象，可以说是一个真实世界中的物体。它的属性，是永远也说不完的，所以说肯定不能穷尽。但是又不好说，因为真实世界中的物体，的属性，具有模糊性，你也不知道有没有说完，说不定就说完了。所以就不好说。

[FoxMe]

多谢解释，我再看看。

代数中求导，我的理解是一种形式化的东西。比如有限域上的多项式求导，显然没法用极限去求，只是符号规则。

[FoxMe]

椭圆函数f的divisor (f) = n₁(P₁) + n₂(P₂) + ...有特殊性质：
n₁ + n₂ + ... = 0
n₁P₁ + n₂P₂ + ... = 0 （mod L)
这里L是椭圆函数对应的格。

一般的meromorphic函数只满足第一条，因为它没有周期性。

[TheMatrix]

椭圆函数f的divisor (f) = n₁(P₁) + n₂(P₂) + ...有特殊性质：
n₁ + n₂ + ... = 0
n₁P₁ + n₂P₂ + ... = 0 （mod L)
这里L是椭圆函数对应的格。

一般的meromorphic函数只满足第一条，因为它没有周期性。

哦这是第六章，我也刚开始看。第四章第五章比较短，我看完了。

[TheMatrix]

一个是第六章，Elliptic Curve over Complex的，一个是第三章over general field的：

[TheMatrix]

终于把这个清理了：

[TheMatrix]

哦这是第六章，我也刚开始看。第四章第五章比较短，我看完了。

Elliptic Curve over Complex是最具体的，尤其是还有一个Lefschetz Principle，也就是说基本上所有的域(?)上的Elliptic Curve，都可以嵌入Elliptic Curve over complex。

这里概念和关系不少，虽然都很具体，但是也很微妙，有很多isomorphism up to xxx，这个up to xxx就很微妙，容易搞糊涂。我有一些地方也不是很确定。我复述一下，看看能不能把不确定的地方定下来。

迂回开始的点是elliptic function，也就是复变双周期函数，necessarily meromorphic。双周期的话，它就有一个周期的lattice - L。有一个C/L，是一个周期的平行四边形模块。Elliptic function相当于定义在C/L模块上，对边还要能衔接，所以相当于定义在一个torus上。这是清楚的。

然后Weierstrass P-函数，是直接从lattice L，以无穷级数的方式，定义的一个很明显是双周期的函数，所以很明显就是一个elliptic function。

接下来分叉了，一方面，同一个lattice L上可以有不同的elliptic function，另一方面，lattice可以变化。

第一方面，同一个lattice上，结论是，所有的elliptic function，都是从Weierstrass P-函数，以及P'函数有理生成的。注意P'函数也是一个elliptic function，因为它是P-函数的导数，显然也是双周期的。有理生成是说F(P,P')/G(P,P')，其中F和G都是双变量polynomial。这也是清楚的。

另一方面，lattice 可以变化。这又有两方面：一方面，两个lattice，其中一个旋转和等比例延展缩放，可以变成的另一个lattice（或者子lattice，这两个不知道等不等价）。这里就有一个up to xxx。另一方面，两个lattice之间没有这个关系。可以旋转缩放互相变化的两个lattice，其上可以定义的elliptic function之间，也有简单的关系。反之就没有简单的关系。

然后开始和elliptic curve建立关系了。给定一个lattice，其上有一个P-函数，depend on the lattice，令x=P, y=P'的话，就可以搞出一个elliptic curve：y²=4x³+ax+b，其中a,b都是depend on lattice的常数。这建立了一个从elliptic function到elliptic curve的关系。然后就是要看，这个关系在多大程度上，穷尽了elliptic function，也穷尽了elliptic curve。

Elliptic function这边，固定一个lattice，每一个elliptic function f，都是由Weierstrass P-函数，（和P'函数），有理生成的：f=F(P,P')，F是有理函数。但是它们能不能通过 f,f'的关系，直接联系到一个elliptic curve，这个好像没有。只有P-函数可以直接过去。

然后lattice可以变化。Elliptic function这边，每一个lattice都有一个P-函数。如果lattice是旋转缩放变化的话，P-函数过去之后，elliptic curve那边，好像是同一个elliptic curve之间endomorphism的关系。这个地方有点疑问。

[TheMatrix]

然后lattice可以变化。Elliptic function这边，每一个lattice都有一个P-函数。如果lattice是旋转缩放变化的话，P-函数过去之后，elliptic curve那边，好像是同一个elliptic curve之间endomorphism的关系。这个地方有点疑问。

这个地方有点乱，又看了一下，好像是对的。

也就是说，两个lattice，如果之间的关系是旋转缩放的话，这个叫homothetic，那么从P-函数过去，到elliptic curve那边，得到的两个elliptic curve之间是同构的。同构的就是相同的。但是相同的也可以有自映射，endomorphism。自映射的集合也比较简单，基本上是倍乘，也可能有complex multiplication，决定于lattice两个边之间的比例。这个比例如果是quadratic代数数的话，就有complex multiplication。反之，比如这个比例是transcendental的话，那就只有倍乘。

[TheMatrix]

这个地方有点乱，又看了一下，好像是对的。

也就是说，两个lattice，如果之间的关系是旋转缩放的话，这个叫homothetic，那么从P-函数过去，到elliptic curve那边，得到的两个elliptic curve之间是同构的。同构的就是相同的。但是相同的也可以有自映射，endomorphism。自映射的集合也比较简单，基本上是倍乘，也可能有complex multiplication，决定于lattice两个边之间的比例。这个比例如果是quadratic代数数的话，就有complex multiplication。反之，比如这个比例是transcendental的话，那就只有倍乘。

最后，还有个Uniformization，说所有的形如
y²=4x³-Ax-B
的elliptic curve，都可以通过一个lattice，然后P-函数的方法搞出来。

这就是(应该是)elliptic curve的全部，up to isomorphism。

up to isomorphism，实际上里面的东西也很多。因为它指的是elliptic curve这个物体，那还有方程呢 - 两个cubic方程定义相同的elliptic curve，这两个方程之间也可以相差很大，两个方程之间可以有怎样的形变？

而且elliptic curve是有一个O点的，O点的变化对方程的影响很大，这都是up to isomorphism里的。

[TheMatrix]

最后，还有个Uniformization，说所有的形如
y²=4x³-Ax-B
的elliptic curve，都可以通过一个lattice，然后P-函数的方法搞出来。

这就是(应该是)elliptic curve的全部，up to isomorphism。

up to isomorphism，实际上里面的东西也很多。因为它指的是elliptic curve这个物体，那还有方程呢 - 两个cubic方程定义相同的elliptic curve，这两个方程之间也可以相差很大，两个方程之间可以有怎样的形变？

而且elliptic curve是有一个O点的，O点的变化对方程的影响很大，这都是up to isomorphism里的。

这里有这些东西：
1，C上的lattice。
2，lattice上的P-函数，这个和lattice是一一对应的。
3，lattice上的elliptic function，双周期函数，一个lattice上可以有很多，都可以从P-函数有理生成。
4，(P,P') ------> (x,y) 到了elliptic curve那边，这就是uniformization的变换。
5，elliptic curve的方程。