Re: 关于椭圆曲线,听说这本书不错
发表于 : 2023年 10月 2日 14:39
嗯。很好。确实,用Weierstrass P-函数这么一映射,零点和极点以及阶数都清楚了。
嗯。很好。确实,用Weierstrass P-函数这么一映射,零点和极点以及阶数都清楚了。
GTM第三章终于看完了。第三章很长。
这个应该这样看:中心是齐次化坐标(X,Y,Z),这个具有不变性。可以以不同的方向dehomogenize,一般是以Z方向,也就是Z变成1。这样的话,标准椭圆曲线的无穷远点在[0,1,0]方向。如果想把它变换到普通平面里的话,可以以Y方向dehomogenize。这样就有这么一个关系:
这些大词就往上整:
所以代数是什么?就是
Elliptic Curve over Complex是最具体的,尤其是还有一个Lefschetz Principle,也就是说基本上所有的域(?)上的Elliptic Curve,都可以嵌入Elliptic Curve over complex。
这个地方有点乱,又看了一下,好像是对的。
最后,还有个Uniformization,说所有的形如TheMatrix 写了: ↑2023年 10月 8日 09:03 这个地方有点乱,又看了一下,好像是对的。
也就是说,两个lattice,如果之间的关系是旋转缩放的话,这个叫homothetic,那么从P-函数过去,到elliptic curve那边,得到的两个elliptic curve之间是同构的。同构的就是相同的。但是相同的也可以有自映射,endomorphism。自映射的集合也比较简单,基本上是倍乘,也可能有complex multiplication,决定于lattice两个边之间的比例。这个比例如果是quadratic代数数的话,就有complex multiplication。反之,比如这个比例是transcendental的话,那就只有倍乘。
这里有这些东西:TheMatrix 写了: ↑2023年 10月 8日 09:16 最后,还有个Uniformization,说所有的形如
y2=4x3-Ax-B
的elliptic curve,都可以通过一个lattice,然后P-函数的方法搞出来。
这就是(应该是)elliptic curve的全部,up to isomorphism。
up to isomorphism,实际上里面的东西也很多。因为它指的是elliptic curve这个物体,那还有方程呢 - 两个cubic方程定义相同的elliptic curve,这两个方程之间也可以相差很大,两个方程之间可以有怎样的形变?
而且elliptic curve是有一个O点的,O点的变化对方程的影响很大,这都是up to isomorphism里的。