出个和黎曼猜想相关的题

[TheMatrix]

zeta级数有无穷多项，它怎么能贫瘠呢？应该无穷丰富才对啊。

这是一个深刻的矛盾 - 无穷丰富和无穷贫瘠可以在一个物体上同时发生。

无穷贫瘠是作为一个整体。而无穷丰富是要进去。

作为一个整体，它是一个原子 - 原子的本意就是没有结构，irreducible。

就像一个表面为无限光滑镜面的金属球，你怎么知道它是否在转动？- 知乎上看到的一个问题。

有两种方法：
1，把它砸开 - crack it open。
2，诱导法 - 拿各种各样的东西来作用它，看反应。

zeta级数的两种办法是：
1，partial sum - 这是把它砸开的一种方法。
2，L-function - 这是诱导法。

[TheMatrix]

比较一下zeta series和power series。

最简单的power series:
x⁰+x¹+x²+x³+...

最简单的zeta series:
0^x+1^x+2^x+3^x+...

power series是最简单的级数。而zeta series之所以难，因为它是指数级数。

[TheMatrix]

比较一下zeta series和power series。

最简单的power series:
x⁰+x¹+x²+x³+...

最简单的zeta series:
0^x+1^x+2^x+3^x+...

power series是最简单的级数。而zeta series之所以难，因为它是指数级数。

这里的data只有一个 - 就是x。幂级数是p(x)，指数级数是zeta(x)。

power series怎么扩展？也就是把它(THE power series)装在一个什么空间里来看一看它的周边。

最简单的，是加一个sequence，作为系数：
a₀x⁰+a₁x¹+a₂x²+a₃x³+...

而THE power series在这个扩展中是(a₀,a₁,a₂,a₃,...)=(1,1,1,1,...)

这么看的话，实际上看的是这个sequence - 它的data是一个sequence (a₀,a₁,a₂,a₃,...)。Well，加上x，两个。

这是老路。这不是唯一一种扩展方法。

[TheMatrix]

这里的data只有一个 - 就是x。幂级数是p(x)，指数级数是zeta(x)。

power series怎么扩展？也就是把它(THE power series)装在一个什么空间里来看一看它的周边。

最简单的，是加一个sequence，作为系数：
a₀x⁰+a₁x¹+a₂x²+a₃x³+...

而THE power series在这个扩展中是(a₀,a₁,a₂,a₃,...)=(1,1,1,1,...)

这么看的话，实际上看的是这个sequence - 它的data是一个sequence (a₀,a₁,a₂,a₃,...)。Well，加上x，两个。

这是老路。这不是唯一一种扩展方法。

所以相类比，指数级数(zeta series)要扩展的话，也要加一个sequence作为系数。但是这个sequence要和指数合拍，所以应该具有乘性，也就是它必须是character。。。这个地方推理有点快了。可以慢下来。

character就是一个sequence (a₀,a₁,a₂,a₃,...)：a_m*a_n=a_mn。也可以写成 a(m)*a(n)=a(mn)。

[TheMatrix]

比较一下zeta series和power series。

最简单的power series:
x⁰+x¹+x²+x³+...

最简单的zeta series:
0^x+1^x+2^x+3^x+...

power series是最简单的级数。而zeta series之所以难，因为它是指数级数。

指数太难了。因为你定义一个指数函数本身，都难得一塌糊涂。

指数函数本身就不在加和乘的范围内。它本身，就已经打包了无穷多的加和乘。

[TheMatrix]

指数太难了。因为你定义一个指数函数本身，都难得一塌糊涂。

指数函数本身就不在加和乘的范围内。它本身，就已经打包了无穷多的加和乘。

嗯。但是我们可以给它解包：

n^x = e^xln(n)
= (xln(n))⁰/0!+ (xln(n))¹/1!+ (xln(n))²/2!+ (xln(n))³/3!+...

所以，
zeta(x)
=(xln(0))⁰/0!+ (xln(0))¹/1!+ (xln(0))²/2!+ (xln(0))³/3!+...
+(xln(1))⁰/0!+ (xln(1))¹/1!+ (xln(1))²/2!+ (xln(1))³/3!+...
+(xln(2))⁰/0!+ (xln(2))¹/1!+ (xln(2))²/2!+ (xln(2))³/3!+...
+(xln(3))⁰/0!+ (xln(3))¹/1!+ (xln(3))²/2!+ (xln(3))³/3!+...
+....

好多了。

[TheMatrix]

比较一下zeta series和power series。

最简单的power series:
x⁰+x¹+x²+x³+...

最简单的zeta series:
0^x+1^x+2^x+3^x+...

power series是最简单的级数。而zeta series之所以难，因为它是指数级数。

这个划分还是很根本的。哲学上来讲，“不可约无穷”的层数，就是一个物体的复杂级别，也是一个问题的难度级别。

选定了x，那么幂函数就是第一层。有限的加和乘就可以得到。

而指数函数要高一层，因为以幂函数来表示的话，必须是无穷多项 - 不可约。

而zeta函数，又要以无穷多的指数函数来表示，所以在第三层。

[TheMatrix]

这个划分还是很根本的。哲学上来讲，“不可约无穷”的层数，就是一个物体的复杂级别，也是一个问题的难度级别。

选定了x，那么幂函数就是第一层。有限的加和乘就可以得到。

而指数函数要高一层，因为以幂函数来表示的话，必须是无穷多项 - 不可约。

而zeta函数，又要以无穷多的指数函数来表示，所以在第三层。

而不同层之间可能跨越。

比如sin(x)和cos(x)，以幂函数来表示的话，都必须是无穷多项，所以都在第二层。

但是一个函数f(x)，“很多情况下”既可以以幂函数表示，也可以以三角函数表示：
f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...
f(x)=b₀+b₁sin/cos(x)+b₂sin/cos(2x)+b₃sin/cos(3x)+...

傅里叶变换，就是层级跨越的连接。

层级之间必须跨越 - 所谓问题解决了，事物“理解”了，就是指层级跨越了 - 降下来了。

[TheMatrix]

而不同层之间可能跨越。

比如sin(x)和cos(x)，以幂函数来表示的话，都必须是无穷多项，所以都在第二层。

但是一个函数f(x)，“很多情况下”既可以以幂函数表示，也可以以三角函数表示：
f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...
f(x)=b₀+b₁sin/cos(x)+b₂sin/cos(2x)+b₃sin/cos(3x)+...

傅里叶变换，就是层级跨越的连接。

层级之间必须跨越 - 所谓问题解决了，事物“理解”了，就是指层级跨越了 - 降下来了。

哲学上说的话，每一层的整体，都和上一层的整体相差无穷多倍，不可能存在整体的跨越。

然而人类关注的问题，在每一层之内，永远都是特殊的点，可标记的，感兴趣的。珍珑。

所以我可以说两句话，都成立，看似矛盾，但是不矛盾：

1，层级之间没有整体的跨越连接。
2，层中每一个可标记的物体都能降解 - 到下一层。

这里有 P=NP 的意思。P=NP 也应该这么理解。

[TheMatrix]

而不同层之间可能跨越。

比如sin(x)和cos(x)，以幂函数来表示的话，都必须是无穷多项，所以都在第二层。

但是一个函数f(x)，“很多情况下”既可以以幂函数表示，也可以以三角函数表示：
f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...
f(x)=b₀+b₁sin/cos(x)+b₂sin/cos(2x)+b₃sin/cos(3x)+...

傅里叶变换，就是层级跨越的连接。

层级之间必须跨越 - 所谓问题解决了，事物“理解”了，就是指层级跨越了 - 降下来了。

三角函数为什么这么好理解？好像已经把它们叫为“初等函数”了吧？elementary functions。

因为它们有丰富的functional equations。比如：
sin(x+2π)=sin(x)
这就是functional equation。

还有：
sin(x+π)=-sin(x)
sin(π/2-x)=cos(x)
sin²(x)+cos²(x)=1
sin(2x)=2 sin(x)cos(x)
...

而zeta函数的functional equation太少了。

[TheMatrix]

三角函数为什么这么好理解？好像已经把它们叫为“初等函数”了吧？elementary functions。

因为它们有丰富的functional equations。比如：
sin(x+2π)=sin(x)
这就是functional equation。

还有：
sin(x+π)=-sin(x)
sin(π/2-x)=cos(x)
sin²(x)+cos²(x)=1
sin(2x)=2 sin(x)cos(x)
...

而zeta函数的functional equation太少了。

但是functional equation不容易找 - 没有系统性的办法找。它们也像珍珑。

能系统性探索的就是级数。partial sum，formal series，这些。这些也联系上了combinatorics，我觉得方向是正确的。

我觉得不能拘泥于级数是否收敛。要研究formal series。或者说要研究的是the mode of the convergence or divergence of the partial sum。这个mode要把它看成是一个“mode空间”中的物体。这个mode空间什么样还不清楚，但是我们知道zeta函数的这个formal series，在Re(x)=0.5的时候，它的mode of divergence可以以一个复数来代表。

这和实数到复数的扩展类似：最开始我们观察到有些二次方程有解，有些二次方程无解。但是即使无解，它也有一个formal的表达形式，比如 x²+1=0。只研究这些formal的表达形式，我们也可以得出一些结论。当然最后和 i 是对应的。

[TheMatrix]

但是functional equation不容易找 - 没有系统性的办法找。它们也像珍珑。

能系统性探索的就是级数。partial sum，formal series，这些。这些也联系上了combinatorics，我觉得方向是正确的。

我觉得不能拘泥于级数是否收敛。要研究formal series。或者说要研究的是the mode of the convergence or divergence of the partial sum。这个mode要把它看成是一个“mode空间”中的物体。这个mode空间什么样还不清楚，但是我们知道zeta函数的这个formal series，在Re(x)=0.5的时候，它的mode of divergence可以以一个复数来代表。

这和实数到复数的扩展类似：最开始我们观察到有些二次方程有解，有些二次方程无解。但是即使无解，它也有一个formal的表达形式，比如 x²+1=0。只研究这些formal的表达形式，我们也可以得出一些结论。当然最后和 i 是对应的。

L-function，Σ a_nn^x，也就是给zeta级数加一个sequence of coefficient，也是系统性的探索。而且探索的空间很大。这也是为什么这个方向这么热。

[FoxMe]

L函数与modular form的联系，是最近几十年才发现的。

modular form是周期函数，可以用傅立叶级数展开。而一般L函数并非幂级数，但是在一些特殊情况下，L函数也是modular form --- 这就是费马大定理的证明。

[TheMatrix]

还有扩大range of convergence的zeta级数：



甚至global convergent的：



可能用处不大。

[TheMatrix]

嗯。但是我们可以给它解包：

n^x = e^xln(n)
= (xln(n))⁰/0!+ (xln(n))¹/1!+ (xln(n))²/2!+ (xln(n))³/3!+...

所以，
zeta(x)
=(xln(0))⁰/0!+ (xln(0))¹/1!+ (xln(0))²/2!+ (xln(0))³/3!+...
+(xln(1))⁰/0!+ (xln(1))¹/1!+ (xln(1))²/2!+ (xln(1))³/3!+...
+(xln(2))⁰/0!+ (xln(2))¹/1!+ (xln(2))²/2!+ (xln(2))³/3!+...
+(xln(3))⁰/0!+ (xln(3))¹/1!+ (xln(3))²/2!+ (xln(3))³/3!+...
+....

好多了。

我觉得还得继续这个方向。

L-function那个方向，虽然空间也很大 - 系数随便加 - 但是它毕竟还是一个指数级数。

L(x)=Σa_nn^x

n^x还在，这还是一个指数级数。

无穷多个指数放在一起 - 指数级数 - 形成的一个物体。很多个这样的物体，parametrized on the space of sequences。但是每一个元素打不开。有点像研究物理，打不开原子，靠各种关系来诱导亚原子层面的知识。

[randomatrices]

看到一个说法，所有的L-function是一个Hilbert space(现在还属于Langlands program的猜测）， Riemann zeta 函数是真空态。

我觉得还得继续这个方向。

L-function那个方向，虽然空间也很大 - 系数随便加 - 但是它毕竟还是一个指数级数。

L(x)=Σa_nn^x

n^x还在，这还是一个指数级数。

无穷多个指数放在一起 - 指数级数 - 形成的一个物体。很多个这样的物体，parametrized on the space of sequences。但是每一个元素打不开。有点像研究物理，打不开原子，靠各种关系来诱导亚原子层面的知识。

[TheMatrix]

比较一下zeta series和power series。

最简单的power series:
x⁰+x¹+x²+x³+...

最简单的zeta series:
0^x+1^x+2^x+3^x+...

power series是最简单的级数。而zeta series之所以难，因为它是指数级数。

这回3个放在一起比较一下，指数上加一个 i 变成纯角度：
1，Σ xⁿ = Σ e^{i n ln(x)}
2，Σ n^x = Σ e^{i x ln(n)}
3，Σ e^{i n x}

一个“好”的级数，component单元随级数的变化量，也就是 n，的变化，必须要清楚可分离，discrete的程度越高越好，互相之间形成某种程度的“正交”，这样才容易考虑某单元上的分量。

从这个角度看的话，
1，幂级数旋转角度的变化是n的线性量。
2，n^x级数的旋转角度的变化是n的对数关系。
3，傅里叶级数旋转角度的变化也是n的线性量。

也就是说，n^x级数单元角度的变化太慢了，都糊在一起了。这不是一个“好”的级数。

这么看的话，傅里叶级数是最好的级数 - 角度随x的变化也是线性。

[TheMatrix]

这回3个放在一起比较一下，指数上加一个 i 变成纯角度：
1，Σ xⁿ = Σ e^{i n ln(x)}
2，Σ n^x = Σ e^{i x ln(n)}
3，Σ e^{i n x}

一个“好”的级数，component单元随级数的变化量，也就是 n，的变化，必须要清楚可分离，discrete的程度越高越好，互相之间形成某种程度的“正交”，这样才容易考虑某单元上的分量。

从这个角度看的话，
1，幂级数旋转角度的变化是n的线性量。
2，n^x级数的旋转角度的变化是n的对数关系。
3，傅里叶级数旋转角度的变化也是n的线性量。

也就是说，n^x级数单元角度的变化太慢了，都糊在一起了。这不是一个“好”的级数。

这么看的话，傅里叶级数是最好的级数 - 角度随x的变化也是线性。

所以n^x级数必须想办法一定程度把级数分开 - 不要糊在一起。

可以聚类，一簇一簇的。。。不知道怎么聚。

Dirichlet character，是不是某种程度上也是把n^x级数分开的方法？Dirichlet character，可以看成是把自然数集合分成m份：Z/mZ，以每一份为单元研究，arithmetic progression。但是linear progression还是有n^x级数的毛病 - 就是当n大的时候很多项都糊在一起。所以可能要研究quadratic progression，这样会分得更开一些。

[TheMatrix]

所以n^x级数必须想办法一定程度把级数分开 - 不要糊在一起。

可以聚类，一簇一簇的。。。不知道怎么聚。

Dirichlet character，是不是某种程度上也是把n^x级数分开的方法？Dirichlet character，可以看成是把自然数集合分成m份：Z/mZ，以每一份为单元研究，arithmetic progression。但是linear progression还是有n^x级数的毛病 - 就是当n大的时候很多项都糊在一起。所以可能要研究quadratic progression，这样会分得更开一些。

所以首先要问n²+1中有没有无穷多的prime。据说这也是open problem。

结果几乎是肯定的。就差一个证明。:)

[TheMatrix]

所以首先要问n²+1中有没有无穷多的prime。据说这也是open problem。

结果几乎是肯定的。就差一个证明。:)