2次的全导数公式，我写得对吗？（目的：已知f(x,y),想求y对x一阶二阶导数）

[FGH]

再请教一下。如果增加一个z=z(x)，且0=g_1(x,y(x),z(x)), 0=g_2(x,y(x),z(x))。求y', z'

那么我下面这些推导对吗？
求导对g_1和g_2形式上是一样的，然后列方程求解。由于形式上是一样的，为简洁计，我只写一个g。
一次求导，
0=g_x+g_y y'+g_z z' 联立对g_1, g_2得到的两个方程可以解出y', z'
二次求导，
0=d/dt(g_x+g_y y'+g_z z')
=g_{xx}+g_{xy} y' + g_{xz} z' (这些是对第一项g_x求全导数）
+y'(g_{xy}+g_{yy} y' + g_{zy} z') + g_y y'' (这些是对第二项g_y y'求全导数，chain rule）
+z'(g_{xz}+g_{yz} y' + g_{zz} z') + g_z z'' (这些是对第三项g_z z'求全导数，chain rule)
也是联立两个方程求得y'', z'', 其中用到y', z'的地方用上面接出来的代入。

问：我推得对吗，有没有漏掉什么项？谢谢！

看上去没错。只要（g_1,g_2）关于(y,z)的Jacobi非奇异，就可以求解。

[verdelite]

看上去没错。只要（g_1,g_2）关于(y,z)的Jacobi非奇异，就可以求解。

谢谢！

[rgg]

再请教一下。如果增加一个z=z(x)，且0=g_1(x,y(x),z(x)), 0=g_2(x,y(x),z(x))。求y', z'

那么我下面这些推导对吗？
求导对g_1和g_2形式上是一样的，然后列方程求解。由于形式上是一样的，为简洁计，我只写一个g。
一次求导，
0=g_x+g_y y'+g_z z' 联立对g_1, g_2得到的两个方程可以解出y', z'
二次求导，
0=d/dt(g_x+g_y y'+g_z z')
=g_{xx}+g_{xy} y' + g_{xz} z' (这些是对第一项g_x求全导数）
+y'(g_{xy}+g_{yy} y' + g_{zy} z') + g_y y'' (这些是对第二项g_y y'求全导数，chain rule）
+z'(g_{xz}+g_{yz} y' + g_{zz} z') + g_z z'' (这些是对第三项g_z z'求全导数，chain rule)
也是联立两个方程求得y'', z'', 其中用到y', z'的地方用上面接出来的代入。

问：我推得对吗，有没有漏掉什么项？谢谢！

不光这个是错的，最早的和FGH的都是错的。原因在于如果一次全导公式要成立， dx和dy就不再独立，而有一个泛函系数。这样取二次微分的话， d(dy)不等于d^2y,要用到链式法则，正是你原问题里担心的。你可以比较我上面的和FGH的结果，不应该有g_{yy}的项。

[verdelite]

不光这个是错的，最早的和FGH的都是错的。原因在于如果一次全导公式要成立， dx和dy就不再独立，而有一个泛函系数。这样取二次微分的话， d(dy)不等于d^2y,要用到链式法则，正是你原问题里担心的。你可以比较我上面的和FGH的结果，不应该有g_{yy}的项。

我觉得g定义在x,y,z上，意思就是g的表达式里面只出现x,y,z。而y,z分别是x的函数，y=y(x), z=z(x)。y和z是可能有关系，例如y=x^2, z=x^3,但是这种联系是通过x实现的，y(x)和z(x)的表达式里面只有x, 里面不会出现y(x,z)或者z(x,y)。

这样光看形式的话，d(dy)应该是等于d^2y。这是我的一点感觉。

[pseudo]

既不用外代数也不用f的“二次全导”：
dy/dx = -f_x/f_y, 这个用一次f的全微分。
d²y/dx² = d/dx(-f_x/f_y) = (f_xf_xy-f_xxf_y)/f_y²,就按定义求好了。

这样做可以，但是计算有些问题。f_x 对 x 求导的时候，还是需要全导公式来，而不能简单 f_xx。如果这样算下来，你的结果和FGH的是一样，都是

(2 f_xf_yf_xy-f²_xf_yy-f²_yf_xx) / f³_y

[Caravel]

g(x,y)这样的函数，求二次全导数。
先来一次的，
dg(x,y) = (∂g/∂x)dx+(∂g/∂y)dy
那么二次的，
d^2 g(x,y) = (∂/∂x)(dg(x,y))dx+(∂/∂y)(dg(x,y))dy
=(∂/∂x)((∂g/∂x)dx+(∂g/∂y)dy)dx+(∂/∂y)((∂g/∂x)dx+(∂g/∂y)dy)dy (*)
=(∂^2 g/∂x^2)dxdx + 2(∂^2 g/∂x∂y)dydx + (∂^2 g/∂y^2)dydy

(*)这一步我不是很确定，因为不知道
(∂((∂g/∂x)dx)/∂x)是不是等于(∂^2 g/∂x^2)dx ?
或许不止，是不是还要按照chain rule，考虑另外一个相加项，(∂g/∂x) ∂dx/∂x ?

如果去查书或者网，该用什么关键字？

发现你这个问题跟differential forms有关系