证明
Σn=1 1/(1+n2) = ζ(2)-ζ(4)+ζ(6)-ζ(8)+...
Σ 1/(1+n^2)
版主: verdelite, Tlexander
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#3 Re: Σ 1/(1+n^2)
那不是差不多嘛?
另外,你这个好像相减的方向不对吧?ζ(4k+2) < ζ(4k),你这个减出来是负的,而 Σ 1/(1+n2) 是正的。
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#4 Re: Σ 1/(1+n^2)
Start with
1/(1-x)=1+x+x2+...
1/(1+x)=1-x+x2-x3+...
1/(1+x2)=1-x2+x4-x6+...
令 x=1/y,这样y的收敛区间从 x<1 变为等价的 y>1:
1/(1+1/y2) = 1-1/y2+1/y4-1/y6+...
1/(1+y2) = 1/y2-1/y4+1/y6-...
所以
1/(1+n2) = 1/n2-1/n4+1/n6-...
写出阵列:
1/(1+12) = 1/12-1/14+1/16-...
1/(1+22) = 1/22-1/24+1/26-...
1/(1+32) = 1/32-1/34+1/36-...
全部加起来,竖着看,就得到:
Σn=1 1/(1+n2) = ζ(2)-ζ(4)+ζ(6)-ζ(8)+...
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#5 Re: Σ 1/(1+n^2)
哦。刚明白你这个是对的。我那个差了1/2,刚好是-ζ(0)。
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