重整化/正规化的数学方面的问题

[forecasting]

在物理重整化中， $\sum_{j=1}^{\infty}j=-\frac{1}{12}$ 见附图。我们可以通过两种方式获得结果：首先我们可以重新定义级数和 所以我们使用了两种数学体系，其和的定义不同，其次，我们可以通过解析开拓得到结果。 显然，第二个属于同一数学系统。 因此在这种情况下，重整化可以使用同一系统中的方法来获得结果。

但这里有一个问题。

是否存在重整化/正规化的情形，在这一或这些情形下，我们必须通过两个不同的数学系统来解决发散/无穷大问题？换言之，就是使用不同的数学系统来消除发散问题以得到那些符合物理事实的结果？

[TheMatrix]

在物理重整化中， $\sum_{j=1}^{\infty}j=-\frac{1}{12}$ 见附图。我们可以通过两种方式获得结果：首先我们可以重新定义级数和 所以我们使用了两种数学体系，其和的定义不同，其次，我们可以通过解析开拓得到结果。 显然，第二个属于同一数学系统。 因此在这种情况下，重整化可以使用同一系统中的方法来获得结果。

但这里有一个问题。

是否存在重整化/正规化的情形，在这一或这些情形下，我们必须通过两个不同的数学系统来解决发散/无穷大问题？换言之，就是使用不同的数学系统来消除发散问题以得到那些符合物理事实的结果？

如果说需要新的代数，或者新的分析，我认为是需要的。

但是新的系统和已有的系统不矛盾 - 必须能从已有的系统中推出来。

[forecasting]

如果说需要新的代数，或者新的分析，我认为是需要的。

但是新的系统和已有的系统不矛盾 - 必须能从已有的系统中推出来。

如果能推导出来，就还是一个系统。如果不能推导出来而又不矛盾，就是两个系统。我的意思其实就是，是不是有两个或者两个以上重整化的情形，我门必须使用两个系统来得到结果而不能统一为一个数学系统？我怀疑有这样的两个或者两个以上重整化/正规化的情景。如此一来，重整化/正规化就是很有意思的了，不仅在物理上有意思，而且在数学上也非常有趣，竟然要用两个数学系统处理物理理论！

[TheMatrix]

如果能推导出来，就还是一个系统。如果不能推导出来而又不矛盾，就是两个系统。我的意思其实就是，是不是有两个或者两个以上重整化的情形，我门必须使用两个系统来得到结果而不能统一为一个数学系统？我怀疑有这样的两个或者两个以上重整化/正规化的情景。如此一来，重整化/正规化就是很有意思的了，不仅在物理上有意思，而且在数学上也非常有趣，竟然要用两个数学系统处理物理理论！

我知道你的意思。我认为不应该“最终”有两个系统，可以暂时有，那就是还没想清楚，应该继续统一。

这属于一个哲学问题。

[FoxMe]

这个问题问得很好，我也有类似的疑惑。比如

1+2+4+8+...

如果看作2-adic number，它收敛到 - 1。
如果对1/(1-x)作解析延拓，代入x=2，也得到 - 1。

它们之间是什么关系？我不知道是不是你说的“两种数学体系”。它们属于现有的数学体系。

$\sum_{j=1}^{\infty}j=-\frac{1}{12}$是怎么得到的？我忘了。

在物理重整化中， $\sum_{j=1}^{\infty}j=-\frac{1}{12}$ 见附图。我们可以通过两种方式获得结果：首先我们可以重新定义级数和 所以我们使用了两种数学体系，其和的定义不同，其次，我们可以通过解析开拓得到结果。 显然，第二个属于同一数学系统。 因此在这种情况下，重整化可以使用同一系统中的方法来获得结果。

但这里有一个问题。

是否存在重整化/正规化的情形，在这一或这些情形下，我们必须通过两个不同的数学系统来解决发散/无穷大问题？换言之，就是使用不同的数学系统来消除发散问题以得到那些符合物理事实的结果？

[Caravel]

在物理重整化中， $\sum_{j=1}^{\infty}j=-\frac{1}{12}$ 见附图。我们可以通过两种方式获得结果：首先我们可以重新定义级数和 所以我们使用了两种数学体系，其和的定义不同，其次，我们可以通过解析开拓得到结果。 显然，第二个属于同一数学系统。 因此在这种情况下，重整化可以使用同一系统中的方法来获得结果。

但这里有一个问题。

是否存在重整化/正规化的情形，在这一或这些情形下，我们必须通过两个不同的数学系统来解决发散/无穷大问题？换言之，就是使用不同的数学系统来消除发散问题以得到那些符合物理事实的结果？

跟数学关系不大，说明无穷大处的物理是不对的，失效的。好比点电荷近似，不用积分到0，先积分到有限，把无穷大消除掉。

[forecasting]

这个问题问得很好，我也有类似的疑惑。比如

1+2+4+8+...

如果看作2-adic number，它收敛到 - 1。
如果对1/(1-x)作解析延拓，代入x=2，也得到 - 1。

它们之间是什么关系？我不知道是不是你说的“两种数学体系”。它们属于现有的数学体系。

$\sum_{j=1}^{\infty}j=-\frac{1}{12}$是怎么得到的？我忘了。

把$\sum_{j=1}^{\infty}j=-\frac{1}{12}$推广到$\sum_{j=1}^{\infty}j^{-s}=\zeta(s)$, 做解析延拓，代入s=-1就得到 -1/12.
还有其他方法，但没看到其他方法在数学上没问题。
在这里解析开拓，其实是重新定义了部分级数和（一些发散级数的和）。
如果重新定义级数和，则必须在每一个重整化实例中都要一致（即这些定义必须能互相推导，或者至少有一种定义能推导其他定义），如果不能互相推导或者甚至矛盾，就是用了两种数学系统。这样就有意思了。

[forecasting]

我知道你的意思。我认为不应该“最终”有两个系统，可以暂时有，那就是还没想清楚，应该继续统一。

这属于一个哲学问题。

这是一个涉及很广的问题，但应该不是哲学问题。哲学问题一般没有技术支撑，这问题牵涉很具体的技术，即，所用的数学定义都是能互相推导的吗？或者至少有一个能推导出其他的来？如果不是，就很有意思了，物理理论竟然用了两种数学来凑出数据以符合物理实验或现实。

[randomatrices]

我觉得...111这一2-adic数在定义valuation， absolute value解决收敛问题之前就可以有自洽的解释，即
-1 mod 2, 2^2, 2^3, ..., 2^n, ...是1, 3, 7, ..., 2^n-1, ..., 这一列数是自洽的， 即前一个数正好是后一数的尾数（2进制下），所以 ...111就是-1 这一数 mod 2, 2^2, 2^3, ...的一个表示。而1/(1-x)就是产生这一序列的generating function.

-1/12是zeta(-1)吧。

这个问题问得很好，我也有类似的疑惑。比如

1+2+4+8+...

如果看作2-adic number，它收敛到 - 1。
如果对1/(1-x)作解析延拓，代入x=2，也得到 - 1。

它们之间是什么关系？我不知道是不是你说的“两种数学体系”。它们属于现有的数学体系。

$\sum_{j=1}^{\infty}j=-\frac{1}{12}$是怎么得到的？我忘了。

[randomatrices]

赞同这个看法。

跟数学关系不大，说明无穷大处的物理是不对的，失效的。好比点电荷近似，不用积分到0，先积分到有限，把无穷大消除掉。

[forecasting]

换一个表述就是，重整化群（其实是半群）的生成元组成的最小的集合是可数有限的吗？答案应该是否定的。

[pinfish]

重整化和重整化群原则上是两个问题
不同问题里的重整化问题根源可能也不一样
最基本的一个，是场论最基本的"微扰"展开的收敛性问题
最简单的可积零维phi4场论的弱耦合展开都是不收敛的（收敛半径为0）
积分限的无穷大极限和级数求和的极限是不可交换的
QFT从day1开始，数学就是一团浆糊

换一个表述就是，重整化群（其实是半群）的生成元组成的最小的集合是可数有限的吗？答案应该是否定的。

[forecasting]

重整化和重整化群原则上是两个问题
不同问题里的重整化问题根源可能也不一样
最基本的一个，是场论最基本的"微扰"展开的收敛性问题
最简单的可积零维phi4场论的弱耦合展开都是不收敛的（收敛半径为0）
积分限的无穷大极限和级数求和的极限是不可交换的
QFT从day1开始，数学就是一团浆糊

因为我问的是重整化/正规化是不是用了至少两个数学系统，这个问题可以转化为重整化群的生成元问题，即群元素（半群）是否可由有限可数的生成元推导出来。
如此一来，一个问题用重整化和重整化群分别表述而已。当然用重整化群表述，更具体一些。

[弃婴千枝]

重整化和重整化群原则上是两个问题
不同问题里的重整化问题根源可能也不一样
最基本的一个，是场论最基本的"微扰"展开的收敛性问题
最简单的可积零维phi4场论的弱耦合展开都是不收敛的（收敛半径为0）
积分限的无穷大极限和级数求和的极限是不可交换的
QFT从day1开始，数学就是一团浆糊

现代物理学是一件爬满虱子的华服,只能远远地欣赏其伟大,

但是你根本不能细看,凑近一看,你妈,浑身都是吸饱了血的虱子,捉都捉不完

所以我不建议学数学的因为对物理学产生浓厚兴趣而专搞物理----那样你会很痛苦的

你以为物理圈的不知道重整化的问题?

其实谁都知道,只是谁都不想招惹这砣臭狗屎

[FoxMe]

我的疑惑是：2-adic number和对1/(1-x)作解析延拓有什么关系？感觉风马牛不相及。

我觉得...111这一2-adic数在定义valuation， absolute value解决收敛问题之前就可以有自洽的解释，即
-1 mod 2, 2^2, 2^3, ..., 2^n, ...是1, 3, 7, ..., 2^n-1, ..., 这一列数是自洽的， 即前一个数正好是后一数的尾数（2进制下），所以 ...111就是-1 这一数 mod 2, 2^2, 2^3, ...的一个表示。而1/(1-x)就是产生这一序列的generating function.

-1/12是zeta(-1)吧。

[forecasting]

因为我问的是重整化/正规化是不是用了至少两个数学系统，这个问题可以转化为重整化群的生成元问题，即群元素（半群）是否可由有限可数的生成元推导出来。
如此一来，一个问题用重整化和重整化群分别表述而已。当然用重整化群表述，更具体一些。

那虱子里都是现代物理学的血，捉一个捏死，就看到物理学的精髓了，至少一部分。

如果重整化用了至少两个数学系统，那么物理学就不能用数学统一（不是说物理学不统一）。这就很有趣很有趣了哇。

[forecasting]

现代物理学是一件爬满虱子的华服,只能远远地欣赏其伟大,

但是你根本不能细看,凑近一看,你妈,浑身都是吸饱了血的虱子,捉都捉不完

所以我不建议学数学的因为对物理学产生浓厚兴趣而专搞物理----那样你会很痛苦的

你以为物理圈的不知道重整化的问题?

其实谁都知道,只是谁都不想招惹这砣臭狗屎

用数理逻辑或元数学的角度看，经典数学也到处是gap。物理是实验科学，有实验支撑，不怕有虱子

[Caravel]

现代物理学是一件爬满虱子的华服,只能远远地欣赏其伟大,

但是你根本不能细看,凑近一看,你妈,浑身都是吸饱了血的虱子,捉都捉不完

所以我不建议学数学的因为对物理学产生浓厚兴趣而专搞物理----那样你会很痛苦的

你以为物理圈的不知道重整化的问题?

其实谁都知道,只是谁都不想招惹这砣臭狗屎

熟食，物理学本质上还是看了实验结果之后凑计算结果。自己异想天开去建模的，错的太多了。

[forecasting]

现代物理学是一件爬满虱子的华服,只能远远地欣赏其伟大,

但是你根本不能细看,凑近一看,你妈,浑身都是吸饱了血的虱子,捉都捉不完

所以我不建议学数学的因为对物理学产生浓厚兴趣而专搞物理----那样你会很痛苦的

你以为物理圈的不知道重整化的问题?

其实谁都知道,只是谁都不想招惹这砣臭狗屎

引丘老道的话，本来要找陈省身老先生的话以壮声威的，可找不到了。