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帖子: 9745 注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am
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由 TheMatrix 楼主 » 1月 19, 2024, 5:50 pm
1,x2 +1中的素数。
2,Z[x]/(x2 +1),也就是 Z[ i ]中的素数。
这两个应该很不同。能不能互相借鉴一下?
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由 TheMatrix 楼主 » 1月 19, 2024, 7:22 pm
TheMatrix 写了: ↑ 1月 19, 2024, 5:50 pm
1,x
2 +1中的素数。
2,Z[x]/(x
2 +1),也就是 Z[ i ]中的素数。
这两个应该很不同。能不能互相借鉴一下?
这里面有这么几个事情:
(x
2 +1) ---> Z[x] ---> Z[x]/(x
2 +1) = Z[ i ]
每一个里面都有素数。
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由 TheMatrix 楼主 » 1月 19, 2024, 9:04 pm
TheMatrix 写了: ↑ 1月 19, 2024, 7:22 pm
这里面有这么几个事情:
(x
2 +1) ---> Z[x] ---> Z[x]/(x
2 +1) = Z[ i ]
每一个里面都有素数。
5是Z里的素数,但不是Z[ i ]里的素数,因为5=(1+2i)(1-2i),而1+2i和1-2i是Z[ i ]里的素数。
3是Z里的素数,也是Z[ i ]里的素数。
lift到Z[x]里是什么?
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由 TheMatrix 楼主 » 1月 19, 2024, 9:15 pm
TheMatrix 写了: ↑ 1月 19, 2024, 7:22 pm
这里面有这么几个事情:
(x
2 +1) ---> Z[x] ---> Z[x]/(x
2 +1) = Z[ i ]
每一个里面都有素数。
还有:
(x
2 +1) ---> Z[x] ---> Z[x]/(x
2 +1) = Z[ i ]
evaluation map: x=a,
(a
2 +1) ---> Z ---> Z/(a
2 +1)
有没有equivariant?考虑的是竖向箭头,有没有commutative diagram?
有无穷多个evaluation map: Z[x] ---> Z。记为 Hom(Z[x],Z)。
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帖子: 9745 注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am
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由 TheMatrix 楼主 » 1月 19, 2024, 9:55 pm
TheMatrix 写了: ↑ 1月 19, 2024, 9:15 pm
还有:
(x
2 +1) ---> Z[x] ---> Z[x]/(x
2 +1) = Z[ i ]
evaluation map: x=a,
(a
2 +1) ---> Z ---> Z/(a
2 +1)
有没有equivariant?考虑的是竖向箭头,有没有commutative diagram?
有无穷多个evaluation map: Z[x] ---> Z。记为 Hom(Z[x],Z)。
代一个数进去:x=4,x
2 +1=17,Z/(17)=Z/17Z,这是一个域。
所以我们得到了一个 Z[ i ] ---> Z/17Z 的一个map。surjective。
所以其kernel是一个maximal ideal of Z[ i ]。
也就是说我们要找全部的maximal ideal of Z[ i ], such that the quotient is finite.
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由 TheMatrix 楼主 » 1月 19, 2024, 10:03 pm
TheMatrix 写了: ↑ 1月 19, 2024, 9:55 pm
代一个数进去:x=4,x
2 +1=17,Z/(17)=Z/17Z,这是一个域。
所以我们得到了一个 Z[ i ] ---> Z/17Z 的一个map。surjective。
所以其kernel是一个maximal ideal of Z[ i ]。
也就是说我们要找全部的maximal ideal of Z[ i ], such that the quotient is finite.
但是Z[ i ]是principal ideal domain,那么Z[ i ] ---> Z/17Z的kernel是由单一元素生成的,irreducible, prime, and maximal。那么这个元素是什么?
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帖子: 9745 注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am
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由 TheMatrix 楼主 » 1月 19, 2024, 10:41 pm
TheMatrix 写了: ↑ 1月 19, 2024, 10:03 pm
但是Z[ i ]是principal ideal domain,那么Z[ i ] ---> Z/17Z的kernel是由单一元素生成的,irreducible, prime, and maximal。那么这个元素是什么?
哦。这个元素是i-4。这是一个prime in Z[ i ]。
YWY
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帖子: 9094 注册时间: 7月 22, 2022, 5:25 pm
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由 YWY » 1月 20, 2024, 2:57 am
学习了。
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由 TheMatrix 楼主 » 1月 20, 2024, 9:20 am
TheMatrix 写了: ↑ 1月 19, 2024, 9:15 pm
还有:
(x
2 +1) ---> Z[x] ---> Z[x]/(x
2 +1) = Z[ i ]
evaluation map: x=a,
(a
2 +1) ---> Z ---> Z/(a
2 +1)
有没有equivariant?考虑的是竖向箭头,有没有commutative diagram?
有无穷多个evaluation map: Z[x] ---> Z。记为 Hom(Z[x],Z)。
好像归结为这样一个问题:
令 φ: Z[x] ---> Z[ i ] be the canonical map,也就是Z[x] ---> Z[x]/(x
2 +1) = Z[ i ]。
令 p
13 : Z ---> Z/13Z be the map as showed.
2+3i 是 Z[ i ]里的prime,而且 Z[ i ]/(2+3i) = Z/13Z,令这个map为g
13 .
问:g
13 能不能lift到a map Ψ: Z[x] ---> Z,such that
p
13 .Ψ = g
13 .φ
?
YWY
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由 YWY » 1月 20, 2024, 11:39 am
TheMatrix 写了: ↑ 1月 20, 2024, 9:20 am
好像归结为这样一个问题:
令 φ: Z[x] ---> Z[ i ] be the canonical map,也就是Z[x] ---> Z[x]/(x
2 +1) = Z[ i ]。
令 p
13 : Z ---> Z/13Z be the map as showed.
2+3i 是 Z[ i ]里的prime,而且 Z[ i ]/(2+3i) = Z/13Z,令这个map为g
13 .
问:g
13 能不能lift到a map Ψ: Z[x] ---> Z,such that
p
13 .Ψ = g
13 .φ
?
你这个map Ψ可以是x --> 8的赋值映射;这个8的选择不唯一,所有13k+8的整数都可以,比如用x --> 21这个赋值映射也可以。至于怎么找8这个值,可以看g
13 .φ这个映射下x在Z/13Z里的函数值。
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帖子: 9745 注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am
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由 TheMatrix 楼主 » 1月 20, 2024, 12:16 pm
YWY 写了: ↑ 1月 20, 2024, 11:39 am
你这个map Ψ可以是x --> 8的赋值映射;这个8的选择不唯一,所有13k+8的整数都可以,比如用x --> 21这个赋值映射也可以。至于怎么找8这个值,可以看g
13 .φ这个映射下x在Z/13Z里的函数值。
嗯。确实。
13是4k+1素数。但不是x
2 +1素数。我还以为可能没有lift。不过同余映射有lift也可以理解。
如果选4k+3素数,比如3或者7,还有lift吗?也就是改成p
7 =Z/7Z,和g
7 =Z[ i ]/(7)。
YWY
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帖子: 9094 注册时间: 7月 22, 2022, 5:25 pm
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由 YWY » 1月 20, 2024, 12:32 pm
TheMatrix 写了: ↑ 1月 20, 2024, 12:16 pm
嗯。确实。
13是4k+1素数。但不是x
2 +1素数。我还以为可能没有lift。不过同余映射有lift也可以理解。
如果选4k+3素数,比如3或者7,还有lift吗?也就是改成p
7 =Z/7Z,和g
7 =Z[ i ]/(7)。
假如能找到 Ψ 使得 p
7 .Ψ = g
7 .φ。因为g
7 .φ是满射,所以p
7 必须是满射。但是p
7 是从Z/7Z到Z[
i ]/(7)的映射,不可能是满射(第一个域7个元素,第二个域49个元素)。所以Ψ不存在。
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帖子: 9745 注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am
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由 TheMatrix 楼主 » 1月 20, 2024, 2:58 pm
YWY 写了: ↑ 1月 20, 2024, 12:32 pm
假如能找到 Ψ 使得 p
7 .Ψ = g
7 .φ。因为g
7 .φ是满射,所以p
7 必须是满射。但是p
7 是从Z/7Z到Z[
i ]/(7)的映射,不可能是满射(第一个域7个元素,第二个域49个元素)。所以Ψ不存在。
哦。对。Z[ i ]/(7)是一个finite field,但是有7
2 =49个元素。
FoxMe
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帖子: 3253 注册时间: 7月 26, 2022, 4:46 pm
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由 FoxMe » 1月 20, 2024, 4:47 pm
思路很好,但是估计不大可能,否则人家早做了。
TheMatrix 写了: ↑ 1月 19, 2024, 5:50 pm
1,x
2 +1中的素数。
2,Z[x]/(x
2 +1),也就是 Z[ i ]中的素数。
这两个应该很不同。能不能互相借鉴一下?
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帖子: 9745 注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am
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由 TheMatrix 楼主 » 1月 20, 2024, 5:45 pm
FoxMe 写了: ↑ 1月 20, 2024, 4:47 pm
思路很好,但是估计不大可能,否则人家早做了。
是。x
2 +1中的素数,这样的问题不是代数方程就能解决的。肯定要超越代数方程。
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帖子: 9745 注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am
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由 TheMatrix 楼主 » 1月 21, 2024, 9:06 am
TheMatrix 写了: ↑ 1月 20, 2024, 12:16 pm
嗯。确实。
13是4k+1素数。但不是x
2 +1素数。我还以为可能没有lift。不过同余映射有lift也可以理解。
如果选4k+3素数,比如3或者7,还有lift吗?也就是改成p
7 =Z/7Z,和g
7 =Z[ i ]/(7)。
这个问题不合适。
应该是这样的:一方面,
Z[x] ---> Z ---> Z/(n
2 +1)
这里第一个map是evaluation at x=n。
另一方面,
Z[x] ---> Z[ i ] ---> Z/(n
2 +1)
这里第二个是induced by the commutative diagram。
也就是Z[x]到Z/(n
2 +1)要模去两个东西:x=n和n
2 +1,
写成ideal的话,应该是(x-n,n
2 +1), an ideal generated by 2 elements.
令一方面,Z[x]可以先模去x
2 +1,得到Z[ i ],然后再模去一个什么东西,得到Z/(n
2 +1)。两条路径相等。
Z[ i ]的好处是,它是二维的,希望以某种方式,把x
2 +1这个非线性的东西,变成二维上的线性。
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帖子: 9745 注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am
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由 TheMatrix 楼主 » 1月 21, 2024, 9:09 am
TheMatrix 写了: ↑ 1月 20, 2024, 5:45 pm
是。x
2 +1中的素数,这样的问题不是代数方程就能解决的。肯定要超越代数方程。
L-function就是超越代数方程的。无穷级数也是超越代数方程的。
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帖子: 9745 注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am
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由 TheMatrix 楼主 » 1月 21, 2024, 9:11 am
TheMatrix 写了: ↑ 1月 21, 2024, 9:06 am
也就是Z[x]到Z/(n
2 +1)要模去两个东西:x=n和n
2 +1,
写成ideal的话,应该是(x-n,n
2 +1), an ideal generated by 2 elements.
令一方面,Z[x]可以先模去x
2 +1,得到Z[ i ],然后再模去一个什么东西,得到Z/(n
2 +1)。两条路径相等。
也就是说,在Z[x]中,两个ideal相等:
(x-n,n
2 +1) = (x
2 +1,x-n)
TheMatrix 楼主
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帖子: 9745 注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am
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由 TheMatrix 楼主 » 1月 21, 2024, 10:22 am
TheMatrix 写了: ↑ 1月 21, 2024, 9:11 am
也就是说,在Z[x]中,两个ideal相等:
(x-n,n
2 +1) = (x
2 +1,x-n)
n=8的时候,n
2 +1=65不是素数。Z/65Z不是integral domain。
另一个方向看,x-8 ~ i-8也不是Z[ i ]中的素数:i-8 = (2+i)(-3+2i)。
所以这个问题变成了:是否有无穷多个n使得i-n为Z[ i ]中的素数。
....Well, of course, this is equivalent to the original problem.
YWY
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帖子: 9094 注册时间: 7月 22, 2022, 5:25 pm
昵称(选填): YWY(夜未央)
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由 YWY » 1月 21, 2024, 12:44 pm
TheMatrix 写了: ↑ 1月 21, 2024, 10:22 am
n=8的时候,n
2 +1=65不是素数。Z/65Z不是integral domain。
另一个方向看,x-8 ~ i-8也不是Z[ i ]中的素数:i-8 = (2+i)(-3+2i)。
所以这个问题变成了:是否有无穷多个n使得i-n为Z[ i ]中的素数。
....Well, of course, this is equivalent to the original problem.
难题啊
https://en.wikipedia.org/wiki/Landau%27s_problems
Near-square primes
Landau's fourth problem asked whether there are infinitely many primes which are of the form p=n^{2}+1} for integer n. (The list of known primes of this form is A002496.) The existence of infinitely many such primes would follow as a consequence of other number-theoretic conjectures such as the Bunyakovsky conjecture and Bateman–Horn conjecture. As of 2023, this problem is open.
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