我们都习惯了整数中的素数很少,x/ln(x)的比例。但是一个striking fact是,Z[x]中的素元素很多,随便写下的一个整系数polynomial,大概率不能因式分解。Z[x,y]中,那就更多了。Z[x1,x2,x3,...]中,不是素元素的都寸步难行。
代数数域整数环中的素数,应该都比较少。但是阶数越高素数比例也应该越高。整数中的素数是最少的。我觉得。
素元素的个数
版主: verdelite, Tlexander
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#2 Re: 素元素的个数
伟大的发现! 。然后呢?
https://en.wikipedia.org/wiki/Generaliz ... hypothesis
在哪个方向上推广有关的定理,猜想?或者有新发现,然后倒回去解决Z上的素数问题?
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#5 Re: 素元素的个数
我这个是loosely speaking。
Z,Z[x],Z[x,y],...都是unique factorization domain,在UFD中,irreducible element产生prime ideal吧?所以也可以叫prime element。
number field不一定是UFD,irreducible和prime ideal什么关系?我说的也许应该是irreducible。
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#7 Re: 素元素的个数
没有明确的目标,就是周围扫听一下。forecasting 写了: ↑1月 22, 2024, 9:44 pm 伟大的发现! 。然后呢?
https://en.wikipedia.org/wiki/Generaliz ... hypothesis
在哪个方向上推广有关的定理,猜想?或者有新发现,然后倒回去解决Z上的素数问题?
也许整数是最难的。因为关系都耦合在一起,比如3和5,关系太多了:
3+2=5
32-4=5
33-2=52
....
但如果3和5是Z[x,y]中的x和y,那它俩的关系简单得多。
所以从Z[x],Z[x,y],等,降下来研究Z,也许更容易。
从天而降的掌法。
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#8 Re: 素元素的个数
1,任意写出两个整数,互素的概率是多少? 1/zeta(2)
2,任意写出n个整数,互素的概率是多少? 1/zeta(n)
3,任意写出一组(没说几个)整数,互素的概率是多少? 不好说
4,任意给定一个系数互素的polynomial,不可因式分解的概率是多少? good question!
2,任意写出n个整数,互素的概率是多少? 1/zeta(n)
3,任意写出一组(没说几个)整数,互素的概率是多少? 不好说
4,任意给定一个系数互素的polynomial,不可因式分解的概率是多少? good question!
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#9 Re: 素元素的个数
Hilbert’s Irreducibility Theorem states that a monic polynomial of degree d, where each coefficient is chosen uniformly and independently from integers in the interval [−K, K], is irreducible over the integers with probability tending to one as K goes to infinity. This statement of the theorem was proved by van der Waerden [25] in 1934.